海外工程UTM坐標(biāo)投影變形的特點(diǎn)及消除方法

孫洪瑞，吳衛(wèi)平

(中交第三航務(wù)工程勘察設(shè)計(jì)院有限公司，上海 201612)

隨著中國(guó)綜合國(guó)力和工程技術(shù)水平的不斷提高，以及一帶一路倡議規(guī)劃的需要，海外工程測(cè)量越來(lái)越多，尤其是在亞非拉等欠發(fā)達(dá)地區(qū)。有些國(guó)家甚至沒(méi)有大中比例尺地形圖和國(guó)家控制網(wǎng)，給坐標(biāo)系的建立和選擇帶來(lái)一定的難度。目前世界上有一百多個(gè)國(guó)家與地區(qū)在使用通用橫墨卡托(universal transverse Mercator，UTM)投影的坐標(biāo)，如剛果(布)的國(guó)家坐標(biāo)系統(tǒng)為CONGO60，參考橢球?yàn)榭死?880 IGN，為UTM投影坐標(biāo)；加蓬國(guó)家坐標(biāo)系采用UTM投影坐標(biāo)，參考橢球?yàn)镚RS80；東南亞的孟加拉國(guó)、緬甸、菲律賓等國(guó)家坐標(biāo)系也是采用UTM投影坐標(biāo)。了解UTM坐標(biāo)的特點(diǎn)，采取有效方法消除投影后的長(zhǎng)度變形，確保測(cè)量成果滿(mǎn)足設(shè)計(jì)與施工規(guī)范的要求，即投影長(zhǎng)度變形值小于2.5 cmkm[1]，變形因子小于140 000，這對(duì)今后海外工程建設(shè)具有非常重要的參考意義。

1 UTM坐標(biāo)的定義

UTM坐標(biāo)是指采用通用橫軸墨卡托投影方式得到的坐標(biāo)。UTM投影的坐標(biāo)，角度沒(méi)有變形，中央子午線(xiàn)為直線(xiàn)，且為投影的對(duì)稱(chēng)軸，按經(jīng)度分為60個(gè)帶，每帶6°，從180°W起算，兩條標(biāo)準(zhǔn)子午線(xiàn)距離中央子午線(xiàn)180 km左右[2]。UTM坐標(biāo)系統(tǒng)是美國(guó)編制世界各地軍用地圖和地球資源衛(wèi)星圖像所采用的坐標(biāo)系統(tǒng)，是世界上常用的地圖投影方式，有別于我國(guó)的高斯投影坐標(biāo)系統(tǒng)。

2 UTM投影與高斯投影的區(qū)別

UTM投影與高斯投影都是橫軸墨卡托投影演變而成的投影方式，但兩者之間卻有明顯的區(qū)別，其主要區(qū)別包括4點(diǎn)：

1)投影法則不同。UTM投影采用等角橫軸割圓柱投影，而高斯投影采用等角橫切圓柱投影。

2)中央子午線(xiàn)長(zhǎng)度比不同。UTM投影中央子午線(xiàn)的投影長(zhǎng)度比為0.999 6，中央子午線(xiàn)長(zhǎng)度直接縮小0.000 4；而高斯投影中央子午線(xiàn)投影長(zhǎng)度比為1，投影后尺寸未變。UTM投影變形比例因子為1的地方是在割線(xiàn)上(距離中央經(jīng)線(xiàn)約±1°40′)，即距離中央子午線(xiàn)約±180 km。

UTM投影坐標(biāo)與高斯投影坐標(biāo)可采用近似的換算關(guān)系：xUTM=0.999 6x高斯，yUTM=0.999 6y高斯，換算誤差約為1 m左右[3]。

3)分帶編號(hào)(Zone)不同。UTM投影帶號(hào)是從180°W開(kāi)始起記，間隔6°為一帶，由西向東計(jì)數(shù)，故第1帶的中央經(jīng)度L0=-177°W；高斯投影自零子午線(xiàn)起每隔6°為一帶，第1帶的中央經(jīng)度L0=3°。

4)平面坐標(biāo)加常數(shù)不同。高斯投影的平面坐標(biāo)x不變，y坐標(biāo)統(tǒng)一加上500 km，即x實(shí)=x，y實(shí)=y+500；而UTM投影的平面坐標(biāo)對(duì)于南北半球區(qū)別對(duì)待，換算關(guān)系如下：

(1)

3 UTM投影變形分析

3.1 變形原理

地圖投影是將橢球面各元素(包括坐標(biāo)、方向和長(zhǎng)度)按一定的數(shù)字法則投影到平面上。這一數(shù)學(xué)法則的方程式表示為[4]：

(2)

式中：(L，B)為橢球面上某點(diǎn)的大地坐標(biāo)，其中L、B分別為經(jīng)度、緯度；(x,y)為該點(diǎn)投影后的平面直角坐標(biāo)。

等角投影滿(mǎn)足的特征方程為：

(3)

式中：r為參考橢球面卯酉圈曲率半徑；M為參考橢球面子午圈曲率半徑。

由于UTM投影的中央子午線(xiàn)投影長(zhǎng)度比m0=0.999 6，UTM投影長(zhǎng)度比m、長(zhǎng)度變形量V的實(shí)用簡(jiǎn)化計(jì)算公式如下[5]：

(4)

式中：ym為測(cè)量邊橫坐標(biāo)的平均值；Rm為參考橢球面的平均曲率半徑。

3.2 變形定量分析

長(zhǎng)度投影變形值由以下兩部分組成：

1)地面實(shí)際邊長(zhǎng)AB歸算到參考橢球面邊長(zhǎng)的改正(高程歸化改正)，見(jiàn)圖1，其改正值為：

(5)

式中：Hm為測(cè)量邊的平均高程值；H0為投影面的高程值；R為地球半徑。

圖1 高程歸化改正原理

2)參考橢球面投影至平面的改正(投影改正)，其改正值為：

(6)

(7)

綜上，測(cè)量邊長(zhǎng)按照UTM投影后的長(zhǎng)度總變形量為：

(8)

3.3 消除投影變形的基本原則

為消除或降低投影變形，通常通過(guò)建立合適的坐標(biāo)系來(lái)解決，其基本原則為:

1)在滿(mǎn)足測(cè)繪行業(yè)規(guī)范要求的基礎(chǔ)上，為使測(cè)量結(jié)果一測(cè)多用，應(yīng)采用國(guó)家統(tǒng)一的平面坐標(biāo)系，即建設(shè)工程的測(cè)量控制網(wǎng)應(yīng)同國(guó)家測(cè)量系統(tǒng)一致。

2)當(dāng)長(zhǎng)度的歸算改正不能滿(mǎn)足上述要求時(shí)，為確保測(cè)量結(jié)果可以直接利用或方便計(jì)算，可采用任意帶的獨(dú)立平面坐標(biāo)系。

3.4 解決變形的兩種方法

1)工程測(cè)量規(guī)范中給的消除投影變形的基本方法，即通過(guò)選擇合適的高程參考面和中央子午線(xiàn)來(lái)建立獨(dú)立坐標(biāo)系，具體做法為：

①通過(guò)調(diào)整Hm從而選擇合適的高程參考面，抵償分帶投影變形，但是一般高程參考面不得高于測(cè)區(qū)平均高程。

施工流程為：土方開(kāi)挖、回填→土工布鋪設(shè)→土工籠袋鋪設(shè)→土工籠袋裝填→土工籠袋封蓋。鉛絲石籠在施工區(qū)域外成型后運(yùn)至鋪設(shè)區(qū)域內(nèi)。人工將岸坡鉛絲石籠從護(hù)腳處開(kāi)始至坡頂依次錯(cuò)縫向上碼放，并用鉛絲將籠體與相鄰籠體進(jìn)行固定。成品土工石籠袋放入鉛絲石籠內(nèi)時(shí)將袋口處先拉高10cm，將底部四方平均撐開(kāi)，袋口用綁絲與鉛絲石籠簡(jiǎn)單連接加固，防止填料時(shí)袋子變形。采用長(zhǎng)臂挖掘機(jī)進(jìn)行土料袋填，完成后人工將機(jī)械未填滿(mǎn)的袋子進(jìn)行補(bǔ)填，土工石籠袋封口前，填充較小石料使袋頂高出8cm再封口。

②調(diào)整ym，即平移中央子午線(xiàn)，以抵償由高程面的邊長(zhǎng)歸算至參考橢球面上的投影變形。

③不僅調(diào)整Hm(改變高程參考面)，而且調(diào)整ym(移動(dòng)中央子午線(xiàn))，綜合抵消兩項(xiàng)改正變形。

根據(jù)上述做法，假設(shè)R=6 371 km，在高差變化較小的平坦地區(qū)，選擇測(cè)區(qū)平均高程面作為投影面時(shí)(即Hm=H0)，如果要使投影變形的絕對(duì)值小于2.5 cmkm，即變形比例小于140 000，通過(guò)式(8)可算出橫坐標(biāo)ym的經(jīng)差取值范圍為[1°42′,1°49′]或[-1°49′,-1°42′]，即在中央子午線(xiàn)東西兩旁各有一塊帶狀區(qū)域滿(mǎn)足長(zhǎng)度投影變形限值。

對(duì)于港口與航道工程，由于港址大多選擇在沿海近岸地區(qū)，盡管部分區(qū)域位于島嶼上(如洋山港與舟山港等)，但碼頭與后方堆場(chǎng)的高差基本很小，為消除投影變形不能采用抵償面(改變Hm)的方法，而是只能采用平移中央子午線(xiàn)(改變ym)的方法來(lái)消除投影變形的影響。至于航道工程高差變化更小，也只能采用平移中央子午線(xiàn)來(lái)建立坐標(biāo)系。

2)本文根據(jù)工程范圍中心點(diǎn)的地面比例因子，整體縮放測(cè)量控制網(wǎng)，獲得近似于國(guó)家坐標(biāo)系的獨(dú)立坐標(biāo)，從而消除投影變形。

采用工程測(cè)量規(guī)范消除投影變形方法所建立的坐標(biāo)系，雖然消除了投影變形，使施工放線(xiàn)能夠滿(mǎn)足規(guī)范的精度要求，但其坐標(biāo)數(shù)值與國(guó)家坐標(biāo)系的數(shù)值相差較大，與已有規(guī)劃圖紙拼接使用麻煩(經(jīng)圖紙換算)，也不容易被非專(zhuān)業(yè)人士理解和使用。本文提出一種更為容易消除變形的方法，就是采用工程范圍中心點(diǎn)的地面比例因子對(duì)整個(gè)控制網(wǎng)進(jìn)行縮放(控制網(wǎng)必須覆蓋整個(gè)工程范圍)。選定控制網(wǎng)的中心控制點(diǎn)為投影中心，其地面比例因子m的計(jì)算公式[6]為：

m=DD0

(9)

通過(guò)式(9)計(jì)算所得m，或通過(guò)軟件獲取(如天寶的TBC軟件)，結(jié)合其他邊長(zhǎng)在參考橢球面的投影長(zhǎng)度，縮放計(jì)算出各控制點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然各控制點(diǎn)位置較國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)有一定的偏差，甚至達(dá)到數(shù)米級(jí)，但是整體坐標(biāo)數(shù)據(jù)變化不大，滿(mǎn)足工程施工的規(guī)范要求，且與鄰近小比例尺圖拼接時(shí)誤差可以忽略不計(jì)。

4 工程案例分析

4.1 實(shí)例1

剛果(布)黑角新港一期工程位于剛果(布)西部沿海的南端，瀕臨大西洋的東側(cè)，在原黑角港西北側(cè)，測(cè)圖采用的平面坐標(biāo)系統(tǒng)為CONGO 60坐標(biāo)系，中央子午線(xiàn)經(jīng)度為9°E(Zone-32)，投影方式采用UTM投影，參考橢球?yàn)榭死?1 880 IGN，測(cè)區(qū)中心位置概略經(jīng)度為11°48′(與中央子午線(xiàn)經(jīng)差為2°48′)，測(cè)區(qū)平均高程約5 m。按上述參數(shù)進(jìn)行UTM投影建立平面坐標(biāo)系統(tǒng)，根據(jù)式(8)計(jì)算可得測(cè)區(qū)中心位置邊長(zhǎng)平均變形量為73 cmkm，遠(yuǎn)大于規(guī)范要求投影變形限差2.5 cmkm的要求，可直接判定采用國(guó)家坐標(biāo)系不能滿(mǎn)足設(shè)計(jì)與施工的精度要求，必須進(jìn)行換帶計(jì)算或采用獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)。調(diào)閱資料發(fā)現(xiàn)，2013年承接的剛果(布)黑角新港一期工程建立了一套港區(qū)獨(dú)立坐標(biāo)系(北向坐標(biāo)為A，東向坐標(biāo)為B)，并提供港區(qū)獨(dú)立坐標(biāo)系與CONGO 60坐標(biāo)系(北向坐標(biāo)為X,東向坐標(biāo)為Y)之間的換算關(guān)系，通過(guò)使用該港區(qū)的獨(dú)立坐標(biāo)系以及其與CONGO 60坐標(biāo)系換算關(guān)系，確保測(cè)量成果能夠滿(mǎn)足設(shè)計(jì)與施工的精度要求。

4.2 實(shí)例2

圣多美集裝箱碼頭一期工程可行性研究階段測(cè)量，目的是為港址選擇、碼頭設(shè)計(jì)提供高精度的地形圖資料?？紤]到非洲地區(qū)普遍采用UTM投影方式建立坐標(biāo)系統(tǒng)，故本工程也優(yōu)選UTM投影。在選擇UTM標(biāo)準(zhǔn)分帶投影時(shí)，中央子午線(xiàn)應(yīng)當(dāng)選定為9°E(Zone-32)，參考橢球選擇WGS-84橢球，但由于本次工程測(cè)區(qū)中心位置經(jīng)度為6°40′E(與中央子午線(xiàn)經(jīng)差為-2°20′)，故不能直接采用9°E為中央子午線(xiàn)進(jìn)行UTM投影建立坐標(biāo)系。又由于找不到其他基礎(chǔ)測(cè)繪資料，為滿(mǎn)足設(shè)計(jì)與施工的要求與使用方便，在具體實(shí)施時(shí)建立了兩套坐標(biāo)系，一套為高斯投影坐標(biāo)系(L0=6°40′E)，供設(shè)計(jì)與施工使用，另一套為標(biāo)準(zhǔn)UTM投影坐標(biāo)系(L0=9°E)，供將來(lái)收集到基礎(chǔ)資料后進(jìn)行轉(zhuǎn)換或者與周邊測(cè)圖拼接使用，表1為投影長(zhǎng)度變形消除前后對(duì)比，分析可知，采用工程測(cè)量規(guī)范中的方法可以消除投影變形。

表1 坐標(biāo)反算長(zhǎng)度與全站儀實(shí)測(cè)長(zhǎng)度檢核對(duì)比

4.3 實(shí)例3

孟加拉巴里薩爾市 2×350 MW燃煤電站工程地形測(cè)量，目的是為電廠選址、碼頭設(shè)計(jì)提供高精度的地形圖資料，工程中心經(jīng)度約為90°4′E。孟加拉國(guó)家坐標(biāo)系統(tǒng)是采用UTM投影方式，帶號(hào)為46，即L0=93°E。本項(xiàng)目GPS控制網(wǎng)見(jiàn)圖2。

該項(xiàng)目若采用標(biāo)準(zhǔn)國(guó)家坐標(biāo)系，坐標(biāo)反算長(zhǎng)度較實(shí)際的變形量遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)規(guī)范要求，故為了消除投影變形，又確保坐標(biāo)數(shù)值與國(guó)家坐標(biāo)系接近，本項(xiàng)目坐標(biāo)系采用本文提出的方法建立，坐標(biāo)值差異見(jiàn)表2。

采用F017為投影中心，投影所得各點(diǎn)坐標(biāo)反算長(zhǎng)度與全站儀實(shí)測(cè)長(zhǎng)度進(jìn)行比較，見(jiàn)表3，所有邊長(zhǎng)均不超限，滿(mǎn)足后期工程施工的需要。

注：GPS222和GPS5898為國(guó)家基準(zhǔn)點(diǎn)，其他GPS點(diǎn)是新布設(shè)的控制點(diǎn)。

圖2 GPS控制網(wǎng)

表2 似國(guó)家坐標(biāo)系與國(guó)家坐標(biāo)系的坐標(biāo)值差異

表3 坐標(biāo)反算長(zhǎng)度與全站儀實(shí)測(cè)長(zhǎng)度檢核對(duì)比

5 結(jié)語(yǔ)

1)本文給出UTM投影變形的定量分析公式，并給出兩種消除變形的有效方法。

2)對(duì)于海外工程，其測(cè)區(qū)中心位置與國(guó)家或原有坐標(biāo)系統(tǒng)的中央子午線(xiàn)的經(jīng)差在[1°42′,1°49′]或[-1°49′,-1°42′]時(shí)，可以采用國(guó)家坐標(biāo)系或者原有坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)與施工，否則必須進(jìn)行換帶計(jì)算或者建立獨(dú)立坐標(biāo)系。同時(shí)，可以把經(jīng)差范圍作為判別海外工程項(xiàng)目是否需要消除投影變形的簡(jiǎn)易方法。

3)當(dāng)采用獨(dú)立坐標(biāo)系時(shí)，可以采用變化投影方式或者平移中央子午線(xiàn)的方式構(gòu)建，但坐標(biāo)值與原國(guó)家坐標(biāo)系相差較大；也可以采用似國(guó)家坐標(biāo)系的方式構(gòu)建，坐標(biāo)值與原國(guó)家坐標(biāo)系相差很小；此外還可以采用高斯投影構(gòu)建獨(dú)立坐標(biāo)，在使用過(guò)程中比較方便，適用于國(guó)內(nèi)的測(cè)繪儀器和軟件，且中央子午線(xiàn)經(jīng)度選擇測(cè)區(qū)的中心位置經(jīng)度，容易理解。