一道空間解幾題的函數(shù)解釋

金 瑩

(廣東省佛山市南海中學(xué)，528211)

一、試題剖析

在2020年1月的佛山市高二年級統(tǒng)考中,一道填空壓軸題難倒了很多考生.該題具有一定的空間解析幾何的背景,體現(xiàn)了命題者的創(chuàng)新性,深刻考查了學(xué)生的思維能力.

試題在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P是正方體棱上一點,|PB|+|PC1|=λ.

(1)若λ=4,則滿足條件的點P的個數(shù)為______;

(2)若滿足|PB|+|PC1|=λ的點P的個數(shù)為6,則λ的取值范圍是______.

反思回顧對該題的思考,很多學(xué)生和老師都聯(lián)想到了橄欖球模型,但空間想象力不夠?qū)е潞茈y跨越障礙;也有軟件高手動態(tài)演示了本題,但考場上無法借助這些先進(jìn)的信息技術(shù)輔助解題.那么,這道題能用學(xué)生更容易理解的方法去解釋嗎?

筆者研究發(fā)現(xiàn),點P在正方體棱上的位置確定了,則相應(yīng)的實數(shù)具有唯一確定的值與之對應(yīng).換句話說,可以從函數(shù)值域的角度來對問題進(jìn)行解釋.現(xiàn)整理成文,與大家分享.

解先計算正方體的8個頂點到B、C1兩點的距離之和 (如圖1).

由幾何直觀,可以發(fā)現(xiàn)在每條棱上|PB|+|PC1|=λ是單調(diào)遞增的.于是

評注根據(jù)圖2,還可以得出如下結(jié)論:若滿足|PB|+|PC1|=λ的點P的個數(shù)為4,

如果我們把橢圓的焦距改為體對角線BD1,可得上述試題的如下一個變式題.

變式在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P是正方體棱上一點(不包括棱的端點),|PB|+|PD1|=λ.

(2)若滿足|PB|+|PD1|=λ的點P的個數(shù)為6,則λ的取值范圍是______.

提示仿原式題解法,可得參考答案如下:

二、教學(xué)思考

文[1]中提到“對于理性思維的考查,突出體現(xiàn)在綜合分析問題的過程之中,通過復(fù)雜情境的設(shè)計增強(qiáng)題目綜合性,考查學(xué)生是否能夠根據(jù)已知信息,從合理的角度思考問題,用合理的方法解決問題.”本題把學(xué)生熟悉的橢圓定義鑲嵌在正方體模型中,使得問題情境復(fù)雜化，體現(xiàn)了問題的綜合性，加強(qiáng)了理性思維的考查.第(1)問可以靠著空間感猜出來,但第(2)問沒有正確的方法是很難碰撞出來的.這就提醒我們平時的教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察力,先從特殊位置(端點)入手,將問題逐步轉(zhuǎn)化為熟悉的情境(函數(shù)值域),構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型解決問題.這實際上是對學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等關(guān)鍵核心素養(yǎng)的綜合培養(yǎng)和運(yùn)用.