基于Pasternak雙參數(shù)模型的滑坡段埋地管道受力分析方法

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)工程學(xué)院，湖北武漢，430074)

近年來，長輸管道工程迅猛發(fā)展，已成為能源輸送的重要手段之一，其中很大一部分管道需要穿越地質(zhì)環(huán)境復(fù)雜、滑坡災(zāi)害頻發(fā)的地段，嚴(yán)重威脅著管道的安全運(yùn)營。對(duì)處于滑坡作用下的埋地管道，目前常用有限單元法或基于Winkler模型的彈性地基梁法進(jìn)行分析計(jì)算。近年來，有限單元法在研究管土接觸問題中得到了廣泛應(yīng)用。譬如在滑坡段埋地管道應(yīng)力應(yīng)變分布隨參數(shù)變化規(guī)律研究[1-2]、滑坡作用下埋地管道強(qiáng)度失效分析[3]、滑坡段管道內(nèi)力變形分析[4-7]、埋地管道的安全下埋深度及多跨管段間相互作用研究[8-9]等方面都有廣泛的應(yīng)用；朱勇等[10]采用有限元分析與模型試驗(yàn)相結(jié)合的方法對(duì)滑坡作用下管道受力變形進(jìn)行了研究。雖然有限單元法適應(yīng)性強(qiáng)，能夠處理復(fù)雜問題，但因其使用較為復(fù)雜，在對(duì)實(shí)際工程問題的分析上尚有一定困難?；赪inkler模型的彈性地基梁法則假定土體是由離散彈簧組成的彈性體，地基反力與埋地管道上任一點(diǎn)的位移成正比，將管道看成小變形的半無限長梁，研究了管道的應(yīng)力及變形特性[11-14]。與有限單元法相比較，基于Winkler模型的彈性地基梁法概念比較明確，求解簡單，實(shí)用性更高，但該方法沒有考慮土彈簧間的相互作用，在具有少許黏性或具有傳力性土介質(zhì)中應(yīng)用誤差較大。Winkler模型在描述實(shí)際土體的連續(xù)性態(tài)中的固有缺陷及彈性連續(xù)介質(zhì)模型在數(shù)學(xué)上的復(fù)雜性加速了雙參數(shù)彈性模型的發(fā)展，其主要沿著2個(gè)方向進(jìn)行。第一種是從彈性連續(xù)介質(zhì)模型開始并引入約束或簡化位移分布與應(yīng)力的某些假設(shè)，Vlasov模型是其中的典型代表，但其土模型公式是以變分法的應(yīng)用為基礎(chǔ)的，在求解中涉及到參數(shù)迭代，計(jì)算過程較為復(fù)雜[15-17]。第二種是由不連續(xù)的Winkler模型產(chǎn)生的并在各個(gè)彈簧之間提供力學(xué)的相互作用以消除其不連續(xù)的性態(tài)，Pasternak模型是其中的典型代表，其采用2個(gè)參數(shù)來綜合反映土體特征，假設(shè)土彈簧單元與一層只能產(chǎn)生剪切變形而不可壓縮的豎向單元相連接，考慮了土彈簧間傳力作用，反映了土體變形連續(xù)性，更符合土體的受力變形特性，由此得到了廣泛的應(yīng)用[17-18]。張望喜等[19]以能量變分法原理為基礎(chǔ)研究了地基反力模量為常數(shù)的水平受荷樁解答，提高了計(jì)算精度；魏東旭等[20]采用考慮剪力的雙參數(shù)模型，獲得了雙參數(shù)地基推力長樁的有限差分解，提高了推力樁的設(shè)計(jì)計(jì)算水平；梁發(fā)云等[21]采用改進(jìn)的地基反力模量，提出了一種可考慮剪切作用的水平受荷樁的簡化分析方法，可明顯提高水平受荷樁的計(jì)算精度。綜上所述，Pasternak雙參數(shù)模型運(yùn)用于水平受荷樁的分析計(jì)算中，提高了水平受荷樁的設(shè)計(jì)水平與計(jì)算精度。而在滑坡作用下埋地管道受力變形的計(jì)算中多采用基于Winkler模型的彈性地基梁法，在具有少許黏性或具有傳力性土介質(zhì)中應(yīng)用誤差較大。鑒于此，本文作者基于Pasternak模型，提出一種考慮軸向載荷的滑坡段埋地管道受力分析方法，討論軸向載荷、地基反力系數(shù)及地基剪切剛度對(duì)滑坡段埋地管道受力變形性狀的影響，該方法比基于Winkler模型的彈性地基梁法具有更高的計(jì)算精度。

1 滑坡作用下埋地管道力學(xué)模型

在滑坡作用下，埋地管道受滑坡體推力作用會(huì)發(fā)生變形，其力學(xué)模型可以簡化成Pasternak彈性地基上的連續(xù)梁模型(圖1)。圖1所示平面為管道在滑坡作用下發(fā)生變形的平面。圖1中：q為滑坡體對(duì)管道的作用力，N/m；l為滑坡體寬度，m。為了簡便計(jì)算，做出如下假設(shè)：

1)假設(shè)下滑土體對(duì)埋地管道的壓力q沿滑坡寬度l均勻分布[22]，且不計(jì)下部土體對(duì)管道的支撐作用(最危險(xiǎn)工況)；

2)在滑坡作用下，下滑土體對(duì)管道的壓力是導(dǎo)致管道變形的主要作用力，管道自身及管內(nèi)介質(zhì)重力作用對(duì)管道變形影響較小，故忽略其重力作用對(duì)管道變形的影響；

3)假設(shè)管道沿軸向剛度均勻，不考慮管與管連接處的端效應(yīng)，將其看成整體；

4)假設(shè)管道變形和受力關(guān)于截面C對(duì)稱。

圖1 滑坡作用下管道力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of pipeline under landslide

1.1 Pasternak雙參數(shù)地基模型

Pasternak雙參數(shù)彈性模型是在Winkler彈性模型的基礎(chǔ)上假設(shè)各彈簧單元間存在著剪切的相互作用。這種相互作用是通過將彈簧單元與一層只能產(chǎn)生橫向剪切變形而不可壓縮的豎向單元相連接(圖2)實(shí)現(xiàn)的[18]。在二維情況下，模型可以用下式表示：

式中：q(x)為地基的反力，kN/m2；k為地基反力系數(shù)，kN/m3；w(x)為埋地管道撓度，m；Gp為地基剪切剛度，kN/m。

圖2 Pasternak雙參數(shù)地基模型Fig.2 Pasternak double-parameter foundation model

當(dāng)式(1)中Gp=0時(shí)，該模型即退化為Winkler模型。

1.2 Pasternak雙參數(shù)彈性模型常數(shù)的確定

描述雙參數(shù)模型的常數(shù)k和Gp，可采用下列方法得出[17]。

方法一：常數(shù)k和Gp可由現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)測(cè)定(例如載荷板試驗(yàn))。

方法二：可認(rèn)為常數(shù)k和Gp與土介質(zhì)的彈性常數(shù)(例如土體彈性模量Es、土體泊松比υs、孔隙比e等)有關(guān)，可由試驗(yàn)室確定。

方法三：可將常數(shù)k和Gp與土介質(zhì)彈性常數(shù)Es和υs關(guān)聯(lián)起來，并根據(jù)土與基礎(chǔ)相互作用問題的解類比而得。

TERZAGHI等[23-25]對(duì)用荷載板試驗(yàn)測(cè)定地基反力系數(shù)k進(jìn)行了詳細(xì)評(píng)述。研究表明從荷載板試驗(yàn)測(cè)定k受板的尺寸、形狀、埋置深度等因素影響，k并不是土介質(zhì)的固有性質(zhì)。在確定Gp時(shí)，不僅需要量測(cè)荷載板的沉降量，還需要量測(cè)出臨近荷載板處土表面的撓度。由于雙參數(shù)土基礎(chǔ)的界面撓度局限于非常臨近的加載面，一般的常規(guī)荷載板試驗(yàn)難于量測(cè)，導(dǎo)致誤差較大。因此，一般不建議采用這種方法確定Gp。

方法三將模型常數(shù)與土介質(zhì)彈性常數(shù)Es和υs關(guān)聯(lián)起來，根據(jù)土與基礎(chǔ)相互作用問題的解類比得到常數(shù)取值，與方法一和二相比不需進(jìn)行繁雜試驗(yàn)，且精度符合工程需求。因此，本文采用方法三確定模型常數(shù)。方法三可將雙參數(shù)地基模型的常數(shù)與彈性常數(shù)Es和υs加以聯(lián)系。其中VLAZOV等[15]提出的經(jīng)驗(yàn)公式比較具有代表性，如下式所示：

式中：Es為地基土的彈性模量，kPa；υs為地基土的泊松比；H為彈性層厚度，m。

YAO等[26]通過數(shù)值模擬技術(shù)對(duì)受水平荷載作用影響的樁側(cè)土范圍進(jìn)行了研究，認(rèn)為其受影響范圍為11d(d為樁的直徑)。因此，近似地將該范圍作為地基土的彈性層厚度，即H=11D(D為埋地管道的外徑)，實(shí)際上H的取值與土性質(zhì)有關(guān)。

2 撓度和內(nèi)力分析

將圖1所示的埋地管道分成2部分進(jìn)行分析，滑坡體外管道和滑坡段管道。

2.1 滑坡體外管道分析

建立圖3所示力學(xué)模型，X軸為未發(fā)生滑坡時(shí)的管道軸線，Y軸為滑坡周界的左側(cè)邊界。ω0為滑坡周界處管道撓度，m；M0為滑坡周界處管道彎矩，N·m；θ0為滑坡周界處管道轉(zhuǎn)角，rad；S0為管道軸力，N?；露喂艿缹?duì)滑坡體外管道作用以剪力0.5ql、彎矩M0及軸力S0代替(滑坡周界處管道轉(zhuǎn)角很小，可近似認(rèn)為軸力S0平行于X軸)。由于軸力S0主要影響管道軸向變形，因此忽略軸力對(duì)管道橫向變形的影響，將滑坡體外管道看成是Pasternak彈性地基上的半無限長梁。

為了計(jì)算方便，統(tǒng)一規(guī)定：彎矩以管道上側(cè)纖維受拉為正；管道軸力以拉力為正。

圖3 滑坡體外管道力學(xué)模型Fig.3 Mechanical model of landslide external pipeline

將埋地鋼管看成梁，其撓度Y與荷載q、地基壓力p之間的關(guān)系為

式中：E為鋼材的彈性模量，Pa；I為管道的截面慣性矩，m4。

根據(jù)Pasternak彈性地基模型，式(3)可寫成

式中：D為管道的外徑，m。

滑坡段管道對(duì)滑坡體外管道的作用是其變形的主要原因，因此荷載q可以近似忽略。代入式(4)可得

式(5)的通解為

由定性分析可知，當(dāng)X→∞時(shí)，Y→0可知C1=C3=0，因此式(6)變?yōu)?/p>

由式(7)可得管道任意截面轉(zhuǎn)角θ、彎矩M及剪力Q的表達(dá)式：

原點(diǎn)處的邊界條件為

由此解得

撓度ω0和轉(zhuǎn)角θ0為

2.2 滑坡段管道分析

建立圖4所示力學(xué)模型，x軸為未發(fā)生滑坡時(shí)的管道軸線，y軸為滑坡周界的左側(cè)邊界?；麦w外管道滑坡段管道的作用力以剪力0.5ql、彎矩M0及軸力S0代替。

圖4 滑坡段管道力學(xué)模型Fig.4 Mechanical model of landslide section pipeline

對(duì)滑坡段l，管道彎曲的微分方程為

方程的解為

滑坡周界x=0處管道轉(zhuǎn)角為

根據(jù)變形協(xié)調(diào)性，滑坡體內(nèi)、外管道在交界處撓度和轉(zhuǎn)角相等。從以上分析可知，撓度相等條件已經(jīng)滿足。至于轉(zhuǎn)角相等條件，由式(12)與式(16)可知

由式(17)可得M0為

由式(14)可得滑坡段管道任意截面轉(zhuǎn)角θ和彎矩M的表達(dá)式為：

由式(14)可得管道在x=l/2處中點(diǎn)撓度f為

2.3 縱向位移計(jì)算

為了求解上述模型中的未知參量S0，補(bǔ)充管道縱向位移的關(guān)系式。

以滑坡體內(nèi)管道為研究對(duì)象，根據(jù)管道軸向應(yīng)變的幾何非線性關(guān)系可得

式中：εx為管道軸向應(yīng)變；u為管道軸向位移，m。

根據(jù)材料力學(xué)胡克定律，管道軸向應(yīng)變表達(dá)式為

式中：A為管道的截面積，m2。

聯(lián)立式(22)和式(23)可得

為了方便計(jì)算，滑坡體內(nèi)撓曲線近似取為y=由式(24)可得

由截面C的軸向位移為0，可得

聯(lián)立式(21)和式(26)可解得S0。

3 管道強(qiáng)度校核

由于管道是薄壁，一般情況下可以忽略徑向應(yīng)力，因此，管道的應(yīng)力狀態(tài)可以簡化為環(huán)向應(yīng)力和軸向應(yīng)力的雙軸應(yīng)力狀態(tài)[12]。

管道軸向應(yīng)力σx及環(huán)向應(yīng)力σθ的計(jì)算公式為：

式中：S為管道軸力，N；M為管道彎矩，N·m；W為管道截面抗彎模量，m3；p為管道輸送壓力，Pa；t為管道的壁厚，m。

根據(jù)強(qiáng)度理論，可對(duì)上述應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行組合，判別管道的可靠性。Mises屈服準(zhǔn)則為常用的強(qiáng)度理論。

Mises屈服準(zhǔn)則也被稱為最大形狀改變比能條件，其應(yīng)力表達(dá)式為

對(duì)于管道，多屬平面問題，σ3=0，因此式(29)可簡化為

式中：σeq為當(dāng)量應(yīng)力，Pa；σ1，σ2和σ3分別為第一、第二和第三主應(yīng)力，Pa。

4 算例分析及結(jié)果討論

根據(jù)上述算法，使用MATLAB計(jì)算軟件，編寫了管道受力、變形計(jì)算程序，并以忠武輸氣管道沿線小擔(dān)子埡滑坡[12]為例，對(duì)管道受力、變形特性進(jìn)行了分析。

斜坡地層為志留系龍馬溪組黃綠色頁巖，表層覆蓋殘坡積碎塊石土，滑體厚度為2～4m，平均寬度l=40m，管道從滑坡體中下部通過?；麦w變形模量E0=0.035GPa，泊松比υs=0.35，滑坡體對(duì)管道的作用力q=4.35 kN/m。

管道材料為X65型鋼，彈性模量E=207GPa，最低屈服極限σs=450MPa。管道規(guī)格為Φ711mm×7.9mm，即外徑D=711mm，壁厚t=7.9mm，管道輸送壓力p=4.0MPa。

由于模型參數(shù)受多種因素影響，針對(duì)不同工況和土體情況劃分不同參數(shù)取值較為困難。因此，本文針對(duì)特定的工況對(duì)參數(shù)進(jìn)行取值，并以此為標(biāo)準(zhǔn)選取較大值、較小值研究各參數(shù)對(duì)管道受力變形的影響作用。為研究軸向載荷、地基反力系數(shù)及地基剪切剛度對(duì)管道變形和受力的影響，分別對(duì)考慮軸向載荷和不考慮軸向載荷、不同地基反力系數(shù)及不同地基剪切剛度條件下管道受力變形進(jìn)行計(jì)算。

4.1 軸向載荷

為了研究軸向載荷對(duì)管道變形和受力的影響，分別計(jì)算Pasternak地基模型和Winkler地基模型管道在考慮軸向載荷和不考慮軸向載荷作用下的撓度、彎矩和Mises應(yīng)力。計(jì)算結(jié)果見圖5(由于管道變形對(duì)稱，因此取管道長度l/2進(jìn)行計(jì)算)。

由圖5(a)可知：考慮軸向載荷作用時(shí)，2種地基模型計(jì)算的撓度都要小于不考慮軸向載荷時(shí)的計(jì)算結(jié)果，說明軸向載荷對(duì)減小管道變形有利，在設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)應(yīng)給予考慮。由于雙參數(shù)彈性模型彌補(bǔ)了Winkler模型在描述實(shí)際土體連續(xù)性態(tài)中所固有的缺陷，因此考慮軸向載荷的Pasternak模型具有更高的計(jì)算精度。

由圖5(b)～(c)可知：考慮軸向載荷作用時(shí)，2種地基模型計(jì)算所得彎矩要小于不計(jì)軸向載荷時(shí)的計(jì)算結(jié)果，管道Mises應(yīng)力大于不計(jì)軸向載荷時(shí)的計(jì)算結(jié)果。截面A與截面C彎矩及Mises應(yīng)力取極值，應(yīng)該作為管道強(qiáng)度設(shè)計(jì)和校核的控制點(diǎn)，并將其作為研究重點(diǎn)。

圖5 管道撓度、彎矩及Mises應(yīng)力與管道沿程的關(guān)系Fig.5 Relationship between pipeline deflection,bending moment,Mises stress and pipeline

軸向載荷并沒有改變管道受力、變形的變化規(guī)律，但對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生了顯著影響，在管道強(qiáng)度的設(shè)計(jì)和校核中是不可忽略的，因此下述各節(jié)計(jì)算中均考慮軸向載荷。

4.2 地基反力系數(shù)

計(jì)算不同地基反力系數(shù)管道撓度、彎矩及Mises應(yīng)力。計(jì)算結(jié)果見圖6。

由圖6可知：管道撓度、截面C上的彎矩與Mises應(yīng)力隨地基反力系數(shù)的增加呈下降趨勢(shì)，而截面A上的彎矩與Mises應(yīng)力呈上升趨勢(shì)。地基反力系數(shù)的增加，加強(qiáng)對(duì)管道截面A上的約束，增大彎矩載荷，提高M(jìn)ises應(yīng)力水平；土體對(duì)管道截面A上約束的加強(qiáng)，減小截面C上的彎矩，降低Mises應(yīng)力水平。

當(dāng)?shù)鼗戳ο禂?shù)較大時(shí)，Pasternak地基模型與Winkler地基模型的計(jì)算結(jié)果相近(圖6)。因?yàn)榈鼗戳ο禂?shù)較大時(shí)，荷載對(duì)臨近單元體的傳力作用減弱，管道受力變形性狀主要受地基反力系數(shù)影響，Pasternak模型近似退化為Winkler模型。

4.3 地基剪切剛度

計(jì)算不同地基剪切剛度管道撓度、彎矩及Mises應(yīng)力，計(jì)算結(jié)果見圖7。

由圖7可知：管道撓度、截面C上的彎矩及Mises應(yīng)力隨地基剪切剛度增加呈上升趨勢(shì)，而截面A上的彎矩及Mises應(yīng)力呈下降趨勢(shì)。地基剪切剛度的增加，加強(qiáng)土彈簧間的傳力性能，減弱土體對(duì)管道截面A上的約束，減小截面A的彎矩載荷，降低Mises應(yīng)力水平；土體對(duì)管道截面A上約束的減弱，增加截面C上的彎矩，提高M(jìn)ises應(yīng)力水平。

地基剪切剛度較大時(shí)，荷載對(duì)臨近單元體的傳力作用較大，減弱土體對(duì)管道的約束作用，地基剪切剛度對(duì)管道受力變形性狀有較大影響，這也是基于Winkler模型的彈性地基梁法誤差較大的原因。

圖6 不同地基反力系數(shù)時(shí)管道撓度、彎矩及Mises應(yīng)力與管道沿程關(guān)系Fig.6 Relationship between pipe deflection,moment and Mises stress and pipeline under different coefficient of subgrade reaction

圖7 不同地基剪切剛度時(shí)管道撓度、彎矩及Mises應(yīng)力與管道沿程關(guān)系Fig.7 Relationship between pipe deflection,moment and Mises stress and pipeline under different shear stiffness of foundation

5 結(jié)論

1)基于Pasternak模型的滑坡段管道受力分析方法彌補(bǔ)了基于Winkler模型的彈性地基梁法的固有缺陷，能夠考慮荷載對(duì)臨近單元體的傳力性，具有更高的計(jì)算精度。

2)軸向載荷對(duì)減小管道變形有利，對(duì)滑坡段管道受力影響顯著，在埋地管道強(qiáng)度設(shè)計(jì)和校核中不能忽略。

3)地基反力系數(shù)較大時(shí)，荷載對(duì)臨近單元體的傳力作用減弱，管道受力變形性狀主要受地基反力系數(shù)影響，Pasternak模型近似退化為Winkler模型，2種模型計(jì)算結(jié)果相近。

4)地基剪切剛度較大時(shí)，荷載對(duì)臨近單元體的傳力作用較大，減弱了土體對(duì)管道的約束作用，對(duì)管道受力變形性狀有較大影響。