一道探究型試題的解題分析

■潘登柱

題目如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(1，0)為圓心，以2 為半徑的圓交x軸于B，C兩點(diǎn)，交y軸于D，E兩點(diǎn)。

圖1

(1)求D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

(2)求過B，C，D三點(diǎn)的拋物線的解析式。

(4)拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以P，B，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

分析：(1)根據(jù)垂徑定理有OD=OE，只需求出一點(diǎn)坐標(biāo)即可。

法一：根據(jù)勾股定理。連接AE，在Rt△AOE中，OA=1，AE=2，所以O(shè)E=，即。

法二：根據(jù)勾股定理及等量代換。連接CE，BE，在Rt△COE，Rt△EOB中，OE2=CE2-OC2，BE2=OB2+OE2。又因?yàn)锽C為☉A的直徑，所以∠CEB=90°，所以BE2=BC2-CE2。聯(lián)立以上各式即得。以下同法一。

(2)由(1)知B(3，0)，C(-1，0)，D(0，，求拋物線的解析式，可用一般式、頂點(diǎn)式。

法一：利用一般式。設(shè)方程為y=ax2+bx+c，用待定系數(shù)法得所以，所以y=。

法二：利用頂點(diǎn)式。設(shè)方程為y=a(xk)2+h，由對(duì)稱性知k=1，又過B(3，0)，兩點(diǎn)，用待定系數(shù)法得，，所以。

(3)過點(diǎn)A作AQ⊥MN交MN于Q，由已知得。

法一：利用三角形相似。在△OMN與△QAM中，，AM=4，所以，所以AQ=2=r，即MN與☉A相切。

(4)該小題為探究性題，需要滿足兩個(gè)條件，一是四邊形PBCE為平行四邊形；二是點(diǎn)P滿足拋物線方程，利用一個(gè)條件判斷另一個(gè)條件即可。

法一：根據(jù)平行四邊形性質(zhì)。設(shè)P(x，y)，EP∥CB，EP=CB。所以不滿足拋物線方程，這樣的點(diǎn)P不存在。

法二：根據(jù)平行四邊形對(duì)角線性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式。設(shè)P(x，y)，則所以不滿足拋物線方程，這樣的點(diǎn)P不存在。