芻議小學(xué)階段面積模型建立和長方形、正方形面積的計(jì)算

劉廣偉

【摘要】面積問題在小學(xué)階段是一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，本文針對(duì)小學(xué)階段學(xué)生第一次遇到面積問題時(shí)，如何對(duì)面積模型的建構(gòu)進(jìn)行闡述，同時(shí)借助建構(gòu)的面積模型抽象出長方形和正方形的面積公式，對(duì)長方形和正方形的面積進(jìn)行計(jì)算。

【關(guān)鍵詞】小學(xué);面積;長方形;正方形;計(jì)算公式

一、面積模型的建立

《面積》的教學(xué)內(nèi)容是在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第六單元，該單元的教學(xué)內(nèi)容有：面積和面積單位、長方形、正方形面積的計(jì)算，面積單位間的進(jìn)率。面積的概念是該單元的一個(gè)重要起始概念。對(duì)于面積的認(rèn)識(shí)是一個(gè)漸進(jìn)的過程，什么是面積，處于不同學(xué)習(xí)階段的學(xué)生有不同的回答。學(xué)生在日常生活中已經(jīng)獲得了對(duì)面積概念的直覺經(jīng)驗(yàn)，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生把這種感性的、模糊的認(rèn)識(shí)“數(shù)學(xué)化”。另外，三年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)建立了長度及長度單位的概念，但是由“長度”概念到“面積”概念，由“長度單位”到“面積單位”知識(shí)跨度大，難度高，抽象性也比較強(qiáng)。在教學(xué)過程中，要建立正確的面積概念，就必須引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)周長和面積的區(qū)別。

這節(jié)課的學(xué)習(xí)是學(xué)生第一次接觸“面積”這個(gè)概念。為了讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)面積的含義，教材安排了兩個(gè)活動(dòng)：例1是結(jié)合具體實(shí)例，說說“黑板表明的大小就是黑板面的面積”等，初步感知面積的含義是“物體的表面或圍成的平面圖形的大小”。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生尋找身邊的例子，積累了感性的認(rèn)識(shí)。例2是借助圓形、三角形、正方形比較兩個(gè)圖形面積的大小，體驗(yàn)比較面積大小策略的多樣性，并讓學(xué)生初步感知用正方形作為面積單位最為適合。為后面建立用1平方厘米的正方形作為一個(gè)單位，來測量面積的初步模型。（這里特別說明是測量較小的面積才用1平方厘米，面積大的也相對(duì)會(huì)有比較大的面積單位）

首先出示兩組線段圖比較長短，小結(jié)：比較長度長短可以用觀察法、重疊法、測量法。接著出示兩片形狀相同，大小不同的葉子，看看它們有什么區(qū)別？讓學(xué)生理解，長度是有長短之分的，葉子表面是有大小之分的。學(xué)生通過找一找、摸一摸身邊物體的表面感知表面的大小就是物體表面的面積。通過說一說，物體（課桌）表面的大小，就是物體（課桌）表面的面積，深化對(duì)面積的認(rèn)識(shí)。之后通過下面兩個(gè)活動(dòng)鞏固面積的概念。

1.將課本封面豎放、再傾斜著放，比較面積大小，懂得面積的大小是與位置沒有關(guān)系的。

2.比較課本封面與側(cè)面面積大小，誰的面積大，直觀體現(xiàn)表面大的物體，面積就大。

有了比較清晰的概念就要掌握比較面積的大小方法： 教師從一個(gè)長方體中抽出兩個(gè)面（如下圖）讓學(xué)生比較，哪一個(gè)面的面積大？你是怎么判斷的？可能學(xué)生會(huì)想到把兩個(gè)圖形重疊之后再比較，但是想完全使他們重疊，會(huì)破壞原來的圖形，如果不破壞的情況下可以怎么比較。（教師引導(dǎo)：尺子是用來量長度的，不能直接測量面積）

類比以前我們需要測量物體長度時(shí)，在沒有尺子的情況下，我們可以用“一扎”“一臂”“一步”等身體尺來做單位間接測量，那么我們測量面積，可以用什么呢？引導(dǎo)面積是指表面的大小，我們身上也有一些是有表面大小的，比如，一個(gè)指甲蓋的大小，一個(gè)手掌的大小等等，打開學(xué)生的思路，看看給出兩個(gè)圖形能否間接借助第三樣?xùn)|西來比較大小呢？這個(gè)時(shí)候大部分學(xué)生都會(huì)利用身體上的東西或者是自己的身邊的一些東西，間接比較大小。

可是大部分學(xué)生找到的工具都是不規(guī)則圖形比較多，可以引導(dǎo)學(xué)生想要更好的測量出圖形的大小應(yīng)該選擇更加方便規(guī)則的圖形來做為工具測量一下，這里有正方形、圓、三角形，三種測量工具，同桌合作選擇一種來測量這兩個(gè)圖形的大小，結(jié)果如下：

通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)如果用的是（1）（2）的方法并不能很好的鋪滿兩個(gè)長方形，而（3）的方法恰好鋪滿，也就是說第一個(gè)長方形面積是10個(gè)小正方形的大小，第二個(gè)長方形面積是12個(gè)小正方形的大小，所以知道是第二個(gè)圖形面積比較大。所以利用小正方形來測量面積的大小是我們常用的方法。觀察下面的圖形比較面積大小。

到這里學(xué)生建立了用小正方形來測量和比較面積的大小的數(shù)學(xué)模型，可能會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)疑問：

疑問1：有些不規(guī)則的圖形比如樹葉（帶有曲線的圖形）這樣的，小正方形也不能鋪滿時(shí)應(yīng)該怎么辦？這個(gè)疑問是比較深層次的思考，因?yàn)榻鉀Q這樣的問題需要用到極限的思想，我們到了高中也只是學(xué)會(huì)求一些簡單的不規(guī)則圖形的面積（帶有曲線的圖形），通過求導(dǎo)后積分來算面積。到了微積分的極限思考我們才能明白其中的道理。這里對(duì)于三年級(jí)的學(xué)生來說沒有涉及到可留到六年級(jí)圓的面積那一章節(jié)來分析，或者是作為課后的實(shí)踐作業(yè)完成。

疑問2：課堂上我們的小正方形都是一樣大的嗎？如果不一樣大的怎么辦呢？

學(xué)生的這個(gè)疑問會(huì)在下一節(jié)課得到完美的解答，就是面積單位的問題，人們?yōu)榱私鉀Q上面的問題統(tǒng)一了面積單位。把邊長是1厘米的正方形的面積稱為1平方厘米，所以以后我們就可以統(tǒng)一用邊長是1厘米的正方形來測量物體的面積。上面面積有10個(gè)小正方形的長方形的面積就是10平方厘米。通過畫一畫我們知道1平方分米的正方形就是100個(gè)1平方厘米的小正方形拼成的，可以看成是每排10個(gè)邊長是1厘米的正方形，10排這樣的小正方形，所以1平方分米的正方形就是邊長是10厘米也就是1分米的正方形，所以我們用來測量稍微大一點(diǎn)的面積時(shí)也可以用1平方分米做單位，比如書桌的表面，書本的表面等等。同理也有1平方米，1平方米=100平方分米=10000平方厘米，一般比較大的面積都會(huì)用到平方米做單位，比如黑板大小、教室面積、操場的占地面積等。

二、長方形、正方形的面積計(jì)算

建立了面積的模型，學(xué)生應(yīng)很想知道生活中各種圖案的面積有多大。接下來研究兩個(gè)最基本的圖形長方形和正方形的面積大小。前面已經(jīng)學(xué)過長方形有長和寬，并且長和寬是能通過尺子測量出來的。而我們對(duì)于面積的測量方法現(xiàn)在只有一個(gè)就是通過面積是1平方厘米的小正方形鋪滿來測量。在這里我們就先利用邊長是1厘米的正方形來鋪一鋪，看看長是3厘米，寬是5厘米的長方形面積有多大。

觀察上面長是5厘米寬是3厘米的長方形圖中，一共有15個(gè)1平方厘米的小正方形，也就是上面的長方形的面積是15平方厘米。學(xué)生會(huì)聯(lián)系到在方陣中每排5個(gè)正方形，3排的話就是一共15個(gè)正方形，列式就是5×3=15（個(gè)），看樣子只要知道每排有幾個(gè)小正方形，一共有多少排？我們就可以知道長方形里面到底有幾個(gè)邊長是1厘米的正方形，也就知道這個(gè)長方形的面積了。那么學(xué)生就要理解為什么上面的長方形中每排是5個(gè)，一共有3排？其實(shí)這個(gè)問題主要起到提醒的作用，提醒學(xué)生長方形的長是5厘米，5厘米里面有5個(gè)1厘米，所以長就可以放5個(gè)邊長是1厘米的正方形。長方形的寬是3厘米，3厘米里面有3個(gè)1厘米，所以豎著可以放下3排。對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)化公式如下：

通過轉(zhuǎn)化公式可以知道原來“長方形的面積=長×寬”。

再利用小正方形拼成長方形把長、寬和面積記錄在下面的表格里面，看看其他長方形是不是也有同樣的計(jì)算方法，總結(jié)出長方形的面積計(jì)算公式具有普遍性。（這里特別拼一個(gè)長和寬都是3的長方形）

當(dāng)長和寬相等的時(shí)候長方形就變成了正方形，因?yàn)檎叫蔚拈L和寬是一樣的，所以把正方形就不需要區(qū)分長和寬，我們把正方形的“長”和“寬”都稱為“邊長”?？梢缘玫较旅娴年P(guān)系

通過以上的關(guān)系我們知道：“求長方形和正方形的面積”轉(zhuǎn)化為“求一共有幾個(gè)小正方形”。在面積模型的建立過程中小正方形就是面積的一個(gè)度量單位，一個(gè)圖形有“幾個(gè)小正方形”就有“幾平方厘米、幾平方分米或者幾平方米”。從而我們也順其自然地得到了長方形和正方形的面積公式就是：長方形面積=長×寬;正方形面積=邊長×邊長。利用得到的面積公式我們?cè)偾蠼忾L方形和正方形面積的時(shí)候就可以轉(zhuǎn)變成我們生活中可以用尺子測量的量：“長”“寬”或者是“邊長”來計(jì)算面積，所以面積并不能直接測量出來，而是算出來的。

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