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    負二項回歸模型的重對數(shù)律和強相合性

    2020-06-11 00:51:24楊曉偉張軍艦
    關(guān)鍵詞:二項分布對數(shù)結(jié)論

    楊曉偉,張軍艦

    (1.廣西師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,廣西 桂林 541006;2.巢湖學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,安徽 合肥 238000)

    負二項回歸模型主要研究負二項型響應(yīng)變量和一組解釋變量之間的關(guān)系,廣泛應(yīng)用于計量經(jīng)濟學等領(lǐng)域中,例如分析面板負二項模型選擇問題等。負二項回歸除參數(shù)估計外,另一個重要功能是能夠搜索最能解釋或預測響應(yīng)變量的子集,該過程相當于變量選擇過程。在模型選擇領(lǐng)域中最新文獻有很多,它們以不同方式處理不同模型。查閱文獻[1-3]并做詳細調(diào)查,發(fā)現(xiàn)負二項回歸模型選擇方法很少被研究。負二項回歸模型選擇理論方法的缺失給實際應(yīng)用帶來諸多不便。為此,本文研究側(cè)重于該類模型選擇準則的漸近性質(zhì),包括AIC、BIC、MallowsCp和隨機復雜度或負二項回歸模型的最小描述長度。其漸近性研究的副產(chǎn)品是基于負二項回歸模型構(gòu)建了最大似然估計(MLE)的重對數(shù)律,即

    其中d為某給定常數(shù),‖·‖表示歐氏范數(shù)。由重對數(shù)律提供的MLE收斂速率在導出似然函數(shù)的精確近似時是非常有用的。

    與本文相關(guān)的早期研究有Cameron和Trivedi[4]以及Qian和Field[5],其重點僅限于Poisson模型和邏輯回歸模型。本文考慮更一般的情況,即允許存在任何有意義聯(lián)系函數(shù)的負二項回歸模型。Qian和Field[5]提出的方法不能推出這種看似簡單的理論表達,它需要一種實質(zhì)性的證明技術(shù)。首先,這種泛化的對數(shù)似然函數(shù)失去了邏輯聯(lián)系下?lián)碛械暮唵涡院鸵恍┖玫男再|(zhì),例如全局凸性,因此,要建立對數(shù)似然函數(shù)強的性質(zhì)表示,使得各種可靠一致界限的給定變得更加困難。響應(yīng)變量服從負二項分布,但并沒有緩解這種困境。其次,聯(lián)系函數(shù)具體表達的缺乏是另一個困難因素,因此,需要對一些條件進行限定,并適當?shù)卣{(diào)整聯(lián)系函數(shù)以獲得所需的模型選擇性能。

    1 負二項回歸模型選擇

    假設(shè)負二項回歸設(shè)計數(shù)據(jù)服從兩參數(shù)具有過離散性的負二項分布

    負二項回歸的最大對數(shù)似然函數(shù)為

    參數(shù)β的費希信息陣為

    2 相關(guān)條件和主要結(jié)論

    2.1 相關(guān)條件

    為了證明主要結(jié)果,需要先給定以下假設(shè)條件:

    (C1)存在正的常數(shù)b1、b2,滿足b1n≤λ1{In(β0)}≤λp{In(β0)}≤b2n;

    2.2 主要結(jié)論

    定理1若條件(C1)~(C5)成立,則對任意正確模型α∈Ac,有

    (1)

    進一步,存在常數(shù)d>0,滿足對任意α∈Ac,有

    定理2在條件(C1)~(C5)下,對任意正確模型α∈Ac,有

    (2)

    定理3在條件(C1)~(C5)下,對任意錯誤模型α∈Aω,有

    (3)

    定理4若一個負二項回歸模型滿足條件(C1) ~ (C5),則模型對于BIC和SCC準則都是強收斂的,而對于AIC準則是收斂的但不是強收斂。

    3 主要結(jié)論的證明

    證明的關(guān)鍵在于負最大對數(shù)似然函數(shù)的凸性、二次逼近、負二項標準分布的伽瑪逼近以及獨立隨機變量的重對數(shù)律。凸性的應(yīng)用是廣泛的,另外漸近性理論的建立和線性模型M估計量的代表性文獻有很多,具體可查文獻[14-16]。

    根據(jù)ξn定義和條件(C1)、(C2),容易看出存在一個正的序列{τn}滿足

    利用τn定義如下2個子集:

    顯然,B1?B2?B3?…?Bn,進一步定義:

    令K(r,s)=f(r)-f(s)-f′(s)(r-s),式中f(s)=θln(θ+es),則

    (4)

    為方便證明,先給出幾個引理。

    引理1函數(shù)K(r,s)有以下幾個性質(zhì):

    ①K(r,s)≥0對任意數(shù)值r和s都成立;

    ②K(r,s)是關(guān)于r的嚴格凸函數(shù);

    ③ 存在常數(shù)c1,滿足

    證明注意到K(r,s)=f(r)-f(s)-f′(s)(r-s),f(s)=θln(θ+es)。由泰勒展開式,存在某數(shù)值v介于r與s之間,且

    引理2設(shè)W服從負二項分布NB(μi,θ),參數(shù)θ已知,對任意t>0,有

    式中b為某一常數(shù)。

    引理2由文獻[17]中引理6.1修改而得,證明略。

    引理4假設(shè)B是正定矩陣,對任意向量X≠0,V(X)=XTBX>0,則

    式中λmin=min{|λ|:λ是矩陣B的特征值},λmax=max{|λ|:λ是矩陣B的特征值}。

    引理4由文獻[15]中引理6修改而得,證明略。

    引理5若條件(C1)~(C3)成立,則

    (5)

    (6)

    證明顯然式(6)的結(jié)論來源于式(5)和條件(C1),故僅需證明式(5)。不失一般性,假定xkj>0。利用條件信息yk~NB(μi,θ),θ已知,由In(β0)的定義易證,對于j=1,…,p,

    (7)

    (8)

    由條件(C1),當n→∞時式(8)成立。

    進一步,對于j=1,…,p,

    (9)

    P{|(yn-μ0n)xnj|>εdnj}=P{|yn-μ0n|>εdnj|xnj|-1}。

    (10)

    由引理2,yn~NB(μ0n,θ),θ已知。若令t=εdnj|xnj|-1,Eyn=μ0n,則

    (11)

    式中b為常數(shù)。注意到(C1)和不等式λ1{In(β0)}≤In(β0)(j,j)≤λp{In(β0)},則

    由上述不等式得,

    由條件(C2)和ε的任意性,當n充分大時,有

    (12)

    根據(jù)式(10)~(12),有

    (13)

    當n充分大時,由式(13)和條件(C1),得

    下面證明定理1。

    定理1的證明對真實模型,要證明式(1),證明

    (14)

    顯然是充分的。應(yīng)用引理1結(jié)論③,有

    上述不等式的成立應(yīng)用了引理4的結(jié)論。由條件(C1),

    (15)

    另一方面,利用式(4)、(6),

    (16)

    (17)

    由式(15)~(17),存在b6>0,使得

    (18)

    (19)

    因為序列{τn}是盡可能慢的趨于無窮,則由式(19)可得式(14)。

    (20)

    從而推出式(19)是正確的。根據(jù)引理1③的結(jié)論,對于式(4),有

    (21)

    (22)

    另一方面,根據(jù)引理5,存在一個正整數(shù)序列{ni↑∞}滿足

    故當ni充分大時,有

    (23)

    由式(23),當ni充分大時,有

    (24)

    由條件(C1),

    (25)

    同時,當n充分大時,有

    (26)

    由式(25)、(26),當ni充分大時,

    由式(21)、(25),當ni充分大時,

    (27)

    類似地,

    (28)

    結(jié)合式(24)、(27)、(28),當ni充分大時,

    由式(26),

    (29)

    (30)

    顯然,式(30)與式(22)是矛盾的,即式(20)的假定是錯誤的。因此,對正確模型,

    是成立的。定理1證畢。

    下面證明定理2。

    定理2的證明根據(jù)定理1的證明,若要證明式(2),即證式(31)。由H(β,n)的定義可知

    (31)

    (32)

    結(jié)合引理5的式(6)和定理1,得

    (33)

    (34)

    下面證明定理3。

    (35)

    定義

    (36)

    利用引理1結(jié)論③、式(4)、條件(C4),可得,

    (37)

    類似地,由式(16)可證明

    (38)

    (39)

    根據(jù)式(4),有

    (40)

    聯(lián)立式(37)~(39),則式(40)、(36)成立,隨之式(35)成立。定理3證畢。

    本章最后證明定理4。

    定理4的證明由于Fisher信息陣的行列式|I(β(α))|通常是O(npα)階的,SCC和BIC懲罰項都是關(guān)于模型維數(shù)pα的遞增函數(shù)且是O(lnn)階的,從定理2和定理3的結(jié)論可推出SCC和BIC都是強相合的。由于AIC懲罰項為O(1)階,故不一定是強相合的。但AIC顯然是相合的,因為當n充分大時,正確模型的標準誤差幾乎必然小于任何錯誤模型且大于τn。定理4證畢。

    4 后續(xù)工作

    本文基于響應(yīng)變量服從負二項分布,且候選模型依據(jù)可用解釋變量作為假設(shè)前提獲得漸近結(jié)果。由于實際應(yīng)用中可能存在一些潛在變量,這些變量也會影響響應(yīng)變量,在這種情況下,對響應(yīng)變量可引入混合負二項分布來建模,利用過度離散參數(shù)來解釋潛在變量的影響。查閱文獻[8]第6章過度離散對數(shù)線性模型的詳細內(nèi)容可發(fā)現(xiàn),將本文的漸近結(jié)果擴展到上述情況是非常困難的,但對于模型選擇仍應(yīng)關(guān)注那些可用解釋變量。當然對于混合負二項分布(可模仿文獻[21]中的證明來表示)能夠獲得類似引理2的結(jié)果,同時也可得到與定理1至4相同的結(jié)論。將漸近結(jié)果推廣到除具有對數(shù)關(guān)聯(lián)之外聯(lián)系函數(shù)的負二項回歸模型仍在研究之中,這些研究不僅涉及模型選擇標準,還有許多其他模型選擇方法,例如分層貝葉斯法[22]和Lasso[23]等,本文的結(jié)果可能不適用。另外,除確定模型選擇標準并評估其漸近性質(zhì)之外,還存在針對大量候選模型如何執(zhí)行模型選擇的計算問題,特別當候選模型數(shù)量(通常為2p)很大時,這將變得尤為重要,后續(xù)的工作也會對此問題進行更深入地研究。

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