懸鏈線形斷面正常水深與臨界水深的直接計算

何 育 聰

(西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100)

0 前 言

懸鏈線形斷面不僅在施工、制模過程中易于計算和控制，還具有防止土基凍脹破壞、抵抗外水壓力、受力條件好、輸砂率高、過水能力強及抵抗沖刷性能好等優(yōu)點[1,2]，因此，懸鏈線形渠道近年來在水利發(fā)電、灌溉排水和城市給排水工程中得到越來越廣泛的應(yīng)用。

水力計算中的正常水深和臨界水深在工程設(shè)計中十分重要，應(yīng)用頻繁且有較高的精度要求。近年來，對于幾何形狀簡單的斷面如圓形、拋物線形斷面的水力計算，國內(nèi)外已有學(xué)者做出了大量研究，提出了不少的簡便算法[3-7]，在實際工程問題的解決過程中起到了很大的作用。懸鏈線形斷面正常水深和臨界水深的求解涉及高次隱函數(shù)方程，沒有解析解，求解困難，而且目前關(guān)于懸鏈線形斷面正常水深與臨界水深計算的研究較少。對于懸鏈線形斷面正常水深的計算方法有：滕凱，文輝，許曉陽[8-10]提出的直接計算式，黃開路[11]提出的迭代計算法;對于懸鏈線形斷面臨界水深的計算方法有：滕凱，陳誠，徐軍輝[12-15]提出的直接計算式。但這些公式都存在這使用范圍受限或精度不高的問題。鑒此，本文基于懸鏈線形斷面幾何特點，結(jié)合均勻流和臨界流基本方程，通過構(gòu)造牛頓迭代公式和迭代初值公式，提出了一種懸鏈線形斷面水力計算的直接算法。最后通過實例驗證了計算方法的合理性。該計算方法不僅具有精度高、適用范圍大的特點；還可以為程序提供高精度、快收斂的迭代算法。

1 基本公式

1.1 懸鏈線形斷面的幾何特征及水力要素

懸鏈線形過水?dāng)嗝嫒鐖D1所示，懸鏈線形斷面的曲線方程為：

(1)

圖1 懸鏈線形過水?dāng)嗝鍲ig.1 Catenary-shaped cross section

過水?dāng)嗝嫠σ貫椋?/p>

(2)

(3)

(4)

式中：χ為濕周，m；A為過水?dāng)嗝婷娣e，m2；a為懸鏈線形斷面形狀參數(shù)(a>0)，m；B為水面寬度，m；x、y為曲線上任一點的橫縱坐標(biāo)，m。

由式(2)、式(3)、式(4)可得：

(5)

(6)

(7)

1.2 懸鏈線形斷面均勻流和臨界流方程

根據(jù)《水力學(xué)》[16]知，均勻流基本方程為：

(8)

臨界流基本方程

(9)

式中：Q為渠道流量，m3/s；n為渠道糙率系數(shù)；i為渠道設(shè)計坡降；A為過水?dāng)嗝婷娣e,m2；χ為濕周，m；α為流速分布不均勻系數(shù)；g為重力加速度，取9.81 m/s2；Ak、Bk分別為臨界流過水?dāng)嗝婷娣e和水面寬度。

將式(6)、(7)帶入式(8)，整理可得：

(10)

將式(5)、式(7)代入式(9)，整理可得：

(11)

為方便分析，令：

(12)

(13)

(14)

式中：u為無量綱水深；k，t為無量綱參數(shù)。已知數(shù)學(xué)變換：

(15)

將式(12)、式(13)、式(15)帶入式(10)，整理可得懸鏈線形斷面均勻流方程：

(16)

將式(12)、式(14)、式(15)帶入式(11)，整理可得懸鏈線形斷面臨界流方程：

(17)

懸鏈線形斷面正常水深和臨界水深的求解問題即為式(16)、式(17)的求根問題。利用已知的n,Q,i,a可以求出k、t。將k、t分別代入式(16)、式(17)，并分別求根u,最后根據(jù)式(12)可以求得正常水深和臨界水深。

2 a值的確定

在設(shè)計懸鏈線形斷面時，通常只給出設(shè)計流量下對應(yīng)正常水深的水面寬度B和a的比值η=B/a，而不直接給出a的值。

將式(2)、式(3)帶入式(8)，整理得：

(18)

由式(18)可直接求得a的值，然后將a和η代入式(4)可以直接求出設(shè)計流量下正常水深h的值，即：

(19)

3 懸鏈線形斷面正常水深的直接計算公式

3.1 正常水深的牛頓迭代式

懸鏈線形斷面正常水深的求解問題就是非線性方程(16)的求根問題，對式(16)進行數(shù)學(xué)變換得到懸鏈線形斷面正常水深的牛頓迭代公式：

(20)

由式(20)迭代計算出無量綱正常水深u之后，將u代入式(12)即可求得正常水深。

3.2 u的取值范圍及合理迭代初值選擇

懸鏈線形斷面的水力最佳斷面的條件[2]是B/a=3.21223,將其代入式(4)可求得h/a=1.5921。以h/a=1.5921為中心，擴展其取值范圍為[h/17a,17h/a]=[0.093 65,27.065 7],取[0.09,29.00]作為h/a的取值范圍，即u∈[1.09,30.00]作為本文正常水深直接計算公式的適用范圍。

迭代計算的精度與收斂速度不但和迭代公式的形式有關(guān)，還與迭代初值的選取有關(guān)。只有選取合適的迭代初值，才能有高的計算精度和快的收斂速度。運用MATLAB，采用合適的函數(shù)模型，對千余組散點(k、u)進行擬合分析，使擬合公式的相關(guān)系數(shù)最大，得到如下擬合公式：

u=1.087k0.741 1+0.230 8k1.367+0.995 9

(21)

將式(21)代入式(20)，只進行一次迭代計算便得到正常水深的直接計算式：

(22)

式中：u=1.087k0.741 1+0.230 8k1.367+0.995 9。

4 懸鏈線形斷面臨界水深的直接計算公式

4.1 臨界水深的牛頓迭代式

懸鏈線形斷面臨界水深的求解問題就是非線性方程(17)的求根問題，對式(17)進行數(shù)學(xué)變換得到懸鏈線形斷面臨界水深的牛頓迭代公式：

uj+1=

(23)

4.2 u的取值范圍及合理迭代初值選擇

由文獻(xiàn)[13]可知，實際工程中無量綱臨界水深hk/a的取值范圍不會超出[0.537, 6.945]，即u不會超出[1.537, 7.945],本文擴大其范圍取a∈[1.5,10.0]。

運用MATLAB，采用合適的函數(shù)模型，對千余組散點(k、u)進行擬合分析，使擬合公式的相關(guān)系數(shù)最大，得到如下擬合公式：

u=1.053t0.240 9+0.113 7t0.360 9+0.993 2

(24)

將式(24)為代入式(23)，只進行一次迭代計算便得到臨界水深的直接計算式：

(25)

式中：u=1.053t0.240 9+0.113 7t0.360 9+0.993 2。

5 精度評價

5.1 公式的誤差分析

(28)

(29)

編程分別得到無量綱正常水深和臨界水深的初值公式和直接計算式的相對誤差分布曲線圖如圖2～圖5所示。

圖2 無量綱正常水深初值誤差分析Fig.2 initial value error analysis of dimensionless normal water depth

圖3 無量綱正常水深誤差分析Fig.3 dimensionless normal depth error analysis

圖4 無量綱臨界水深初值誤差分析Fig.4 error analysis of initial dimensionless critical water depth

對于本文的正常水深直接計算公式來說，初值公式的最大相對誤差為0.057 2%，一次迭代后最大相對誤差為5.33×10-5%；從圖(3)可以看出，當(dāng)u∈[1.8,30.0]時，最大相對誤差為1.78×10-6%。二次迭代后最大相對誤差可以減小到1.01×10-13%，精度比一次迭代提高了108倍。

對于本文的臨界水深直接計算公式來說，初值公式的最大相對誤差為0.052 3%，迭代一次后最大相對誤差為5.05×10-5%。二次迭代后最大相對誤差減小到4.71×10-11%，精度比一次迭代提高了106。

本文的懸鏈線形斷面正常水深和臨界水深公式的精度均遠(yuǎn)高于工程要求。

圖5 無量綱臨界水深誤差分析Fig.5 Dimensionless critical depth error analysis

5.2 與前人公式對比

現(xiàn)將已有的懸鏈線形斷面正常水深及臨界水深直接計算公式進行統(tǒng)計，并將這些公式用統(tǒng)一的參數(shù)表示，結(jié)果如表1，表2。

6 應(yīng)用舉例

選擇文獻(xiàn)[17]算例：某斷面形狀為懸鏈線形的渠道，其設(shè)計流量Q=3 m3/s，渠道坡降i=1/1 500，糙率n=0.014，η=3.315。

在工程設(shè)計中，設(shè)計流量可以直接求得正常水深的精確值；再用本文公式計算正常水深，從而對公式的精度進行驗證。臨界水深的精確值則通過編程迭代運算得到：

表1 懸鏈線形斷面正常水深計算公式統(tǒng)計表Tab.1 Statistics table of calculation formulas for normal water depth of catenary linear section

(1)正常水深精確值：將η、n、i、Q代入式(20)、式(21)，求得a=0.761 900 371 837 558,正常水深精確值h1=1.309 247 279 446 131。

(3)臨界水深精確值：利用迭代式(25)進行編程，取g=9.81 m/s2。使得u的最后兩次迭代值的誤差小于10-15，得到u2=2.127 411 917 909 701，代入式(14)計算得到h2= 0.858 975 559 469 495。

7 結(jié) 論

結(jié)合懸鏈線形斷面幾何特征、水力要素和臨界流、均勻流其中t=αQ2/(4ga5)，h臨界=a(u臨界-1)。

表2 懸鏈線形斷面臨界水深計算公式統(tǒng)計表Tab.2 Statistical formula for calculating critical water depth of catenary linear section

基本方程，得到了懸鏈線形斷面臨界流與均勻流方程。通過引入合適的無量綱參數(shù)，對臨界流和均勻流方程進行數(shù)學(xué)變換，得到臨界水深和正常水深的牛頓迭代式，再利用優(yōu)化擬合原理得到臨界水深和正常水深的初值計算公式，一次迭代后得到正常水深和臨界水深的直接計算公式。最后對公式進行誤差分析及比較，表明在工程適用范圍內(nèi)：無量綱正常水深的初值計算公式最大相對誤差絕對值為0.057 2%，直接計算公式最大相對誤差絕對值為5.33×10-5%；無量綱臨界水深初值計算公式的最大相對誤差絕對值為0.052 3%，直接計算公式的最大相對誤差絕對值為5.05×10-5%，遠(yuǎn)高于現(xiàn)有計算公式精度，且公式適用范圍廣、物理概念清晰，可以應(yīng)用于軟件算法。

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