一道輕桿問(wèn)題的正確解法與其引發(fā)的思考

王文娟

(北京師范大學(xué)物理學(xué)系 北京 100875)

1 引言

物理學(xué)的研究，需要科學(xué)的方法作指導(dǎo).學(xué)生在解決物理問(wèn)題時(shí)，需要構(gòu)建合理的物理模型，采用相關(guān)的物理方法，分析模型的物理運(yùn)動(dòng)過(guò)程.

輕桿模型是高中物理力學(xué)問(wèn)題中的常見模型.現(xiàn)階段的高中物理教學(xué)中，只討論將物體簡(jiǎn)化成質(zhì)點(diǎn)后的質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)問(wèn)題，暫不討論轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題.這使得高中階段的絕大多數(shù)輕桿問(wèn)題都對(duì)“輕桿”提出“忽略質(zhì)量”的要求，使得桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為零，以期規(guī)避討論桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，便于高中學(xué)生求解[1].然而，多數(shù)教師、學(xué)生在求解輕桿問(wèn)題時(shí)，由于習(xí)慣性地忽略輕桿的質(zhì)量，忽視了輕桿可能存在的轉(zhuǎn)動(dòng)，甚至僅將這一模型視作質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行求解，違背了這一模型的物理運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

本文以2017年11月四川省綿陽(yáng)市高三第一次診斷性考試(理科綜合)第17題為例.通過(guò)與給出的標(biāo)準(zhǔn)答案對(duì)比，筆者認(rèn)為該題選項(xiàng)C,D解析存在漏洞，不利于培養(yǎng)學(xué)生的物理思維.因此，本文將糾正其廣為流傳的錯(cuò)誤解法，給出這一問(wèn)題的正確解.

2 題目

【例題】如圖1所示，光滑的小球A和B通過(guò)輕桿相連，靠在豎直墻和水平地面上，從圖示位置由靜止釋放，則( )

A.輕桿對(duì)小球A始終不做功

B.輕桿對(duì)小球B做的總功為零

C.輕桿對(duì)小球A先做正功后做負(fù)功

D.輕桿對(duì)小球B先做正功后做負(fù)功

圖1 例題題圖

3 錯(cuò)解辨析

本題主要考察學(xué)生對(duì)受力分析、機(jī)械能守恒定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律的應(yīng)用能力.釋放輕桿后，輕桿會(huì)順勢(shì)倒下.選項(xiàng)C,D的錯(cuò)解如下.

錯(cuò)解:當(dāng)輕桿一直沿墻壁下滑時(shí)，A球速度沿y軸負(fù)向，B球速度沿x軸正向.將A,B兩球速度分別分解為沿桿方向和垂直于桿方向，即

vA‖=vAcosθvA⊥=vAsinθ

vB‖=vBsinθvB⊥=vBcosθ

由于輕桿是剛性桿，不可伸縮，故沿桿方向兩球共速，即vAcosθ=vBsinθ.則可知：當(dāng)θ達(dá)到45°時(shí)，B的速度將減小，輕桿開始對(duì)其做負(fù)功；A的速度將增大，輕桿開始對(duì)其做正功.故C錯(cuò)誤，D正確.

縱觀錯(cuò)解，雖然巧妙運(yùn)用了輕桿作為剛性物體的不可伸縮性，列出兩球的速度關(guān)系式，看似嚴(yán)謹(jǐn).但當(dāng)θ達(dá)到45°時(shí)，只需保證vB

4 模型運(yùn)動(dòng)分析

輕桿對(duì)物體做功的正負(fù)發(fā)生改變，也即輕桿對(duì)物體的作用力T的方向反向.那么，輕桿做功正負(fù)變化的臨界角是否存在呢？如何對(duì)兩球的物理運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行精確的描述呢？

對(duì)兩個(gè)小球進(jìn)行受力分析，如圖2(a)所示.GA,GB為兩球重力，T為桿對(duì)球的彈力，NA為墻面對(duì)A球的支持力，NB為地面對(duì)B球的支持力.當(dāng)輕桿開始下滑后，θ角增大，輕桿A端沿墻面滑下，B端沿地面滑動(dòng)，A球所受合力FA沿y軸方向，B球所受合力FB沿x軸方向.彈力T對(duì)A球做負(fù)功，對(duì)B球做正功，使vB持續(xù)增大.由

vAcosθ=vBsinθ

可得

vA=vBtanθ

即隨著θ的增大，vA也持續(xù)增大.

圖2 兩小球受力分析

大膽假設(shè)臨界角θ0存在.θ=θ0后，彈力T反向，如圖2(b)所示，輕桿做功的正負(fù)也發(fā)生改變，T對(duì)A球開始做正功，對(duì)B球開始做負(fù)功，即可證明選項(xiàng)D正確.同時(shí)，F(xiàn)A將會(huì)有x軸正向分量，使A球在x軸正向、y軸負(fù)向都擁有速度，輕桿A端不再單純沿墻下滑，而是離開墻面，支持力NA消失；FB將會(huì)擁有x軸負(fù)向分量，使B球在x平面上出現(xiàn)減速運(yùn)動(dòng).

那么，只要能夠直接證明彈力T的方向在輕桿下滑過(guò)程中可反向，或證明使彈力T反向的臨界角θ0存在，即可證得，在輕桿下滑直至落地前的全過(guò)程中，vA一直增大，vB先增大后減小，在臨界角處取得最大值；即可得出輕桿對(duì)兩球做功正負(fù)的變化情況，最終得出題目選項(xiàng)C錯(cuò)誤、選項(xiàng)D正確的結(jié)論.

5 正確解答

筆者將分別定性和定量分析.

圖3 B球靜止參考系中A球的合力與速度示意圖

解法2(定量): 討論簡(jiǎn)化情況.設(shè)A,B球質(zhì)量為m，輕桿長(zhǎng)l，初始時(shí)刻輕桿與墻壁夾角為α.

由機(jī)械能守恒定律，得

沿桿方向，桿長(zhǎng)不伸縮

vAcosθ=vBsinθ

O′系中：A球速度

向心加速度

臨界狀態(tài)θ=θ0時(shí)，T=0，A球合力F′A=GA，故有

a′‖=gcosθ0

可得臨界角

解法3(定量): 討論簡(jiǎn)化情況.設(shè)A,B球質(zhì)量為m，輕桿長(zhǎng)為l，初始時(shí)刻輕桿與墻壁夾角α.

由機(jī)械能守恒定律，得

沿桿方向，桿長(zhǎng)不伸縮

vAcosθ=vBsinθ

聯(lián)立上述兩式得

有

6 總結(jié)與展望

本題選項(xiàng)A,B較易判斷.在考場(chǎng)上，考生只需正確分析模型運(yùn)動(dòng)，便可以通過(guò)排除法排除，在選項(xiàng)C,D中得出答案，足以應(yīng)付考場(chǎng)作答.但如果對(duì)本題僅僅只是應(yīng)付了事，不仔細(xì)分析模型的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)于學(xué)生物理核心素養(yǎng)的培養(yǎng)將弊大于利；本題錯(cuò)誤解答的廣為流傳，也暴露了當(dāng)下物理教學(xué)的部分問(wèn)題，以下問(wèn)題值得引起物理教育工作者的重視.

(1)“為解題而解題”，忽視核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

物理核心素養(yǎng)，是學(xué)生在接受物理學(xué)習(xí)時(shí)，潛移默化形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力[2].以本題為例，錯(cuò)解雖然巧妙運(yùn)用了輕桿的速度關(guān)系，但卻忽視了運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的原因——力，忽視了物理學(xué)的這一支柱，完全沒(méi)有對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，進(jìn)而導(dǎo)致錯(cuò)解的發(fā)生.在分析任何物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)前，我們都需要仔細(xì)分析物體的受力情況.在高中物理簡(jiǎn)化后的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題中，我們只需要分析力的大小與方向，就能判斷質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)是否發(fā)生變化；但在真實(shí)的物理場(chǎng)景中，受力分析變得更為重要：我們不僅需要判斷物體是否會(huì)發(fā)生平動(dòng)，還需要分析受力點(diǎn)的位置，判斷物體是否受力矩影響，發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)[1].受力分析在物理學(xué)中的地位可見一斑.作為教育工作者，我們有義務(wù)培養(yǎng)學(xué)生正確的物理觀念，不能讓錯(cuò)解帶偏學(xué)生解決物理問(wèn)題的思維方式.

(2)局限于高中課本，較少主動(dòng)探究模型背后的物理本質(zhì)

新課標(biāo)指出，通過(guò)高中物理課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能運(yùn)用科學(xué)思維與方法，建構(gòu)合適的物理模型，從定性和定量?jī)蓚€(gè)方面對(duì)模型的物理問(wèn)題進(jìn)行推理，找到規(guī)律并得出結(jié)論[2].本題的輕桿下滑模型是一個(gè)非常貼近實(shí)際生活的模型.生活中與此最接近的模型，便是將一只筆用同樣方式立在桌與墻之間，觀察筆的自然下滑過(guò)程.分析時(shí)，可將筆視作一個(gè)質(zhì)量均勻分布的長(zhǎng)條剛體，進(jìn)而可以研究筆的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng).這是一個(gè)帶領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)跳出高中物理課本范疇、了解剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題的好機(jī)會(huì)，但礙于高中教學(xué)環(huán)境所限，絕大多數(shù)教師并未將此納入教學(xué)環(huán)節(jié)，錯(cuò)過(guò)了增長(zhǎng)學(xué)生見識(shí)的時(shí)機(jī).教師有義務(wù)在完成規(guī)定的教學(xué)任務(wù)的同時(shí)，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)探究活動(dòng)，拓寬學(xué)生的知識(shí)面，讓學(xué)生的物理素養(yǎng)得到進(jìn)一步的提升.