透視中美小學數(shù)學教材中的“數(shù)學素養(yǎng)”

羅永軍

【摘? ?要】中美兩國的數(shù)學課程標準都非常重視“數(shù)學抽象”“邏輯推理”和“數(shù)學模型”等素養(yǎng)的培養(yǎng)。兩國的教材也都重視數(shù)學素養(yǎng)的普遍滲透，具體的做法是：通過情境設置來滲透數(shù)學素養(yǎng);通過多元表征來豐富數(shù)學素養(yǎng);通過設置數(shù)學專題來促進素養(yǎng)發(fā)展。教材還通過強化數(shù)學問題解決的程序和步驟來培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。

【關鍵詞】數(shù)學素養(yǎng);人教版《數(shù)學》;美國My Math

教材是培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的重要載體，它的編寫依據(jù)是國家數(shù)學課程標準，因此，研究課程標準與教材中數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)的相關內(nèi)容就顯得非常有價值。本文試圖從數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)的角度，對中美兩國的數(shù)學課程標準以及教材做出分析與比較。

一、課程標準中的數(shù)學素養(yǎng)有哪些

在我國，數(shù)學課程標準是由國家教育行政部門制定和頒發(fā)的，具有很強的規(guī)范性和指導性，當下使用的是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱中國課標）。而在美國，課程標準由各州自行組織制定，這樣做的優(yōu)點是靈活度較大，缺點是較難保證普遍的高質(zhì)量，因此美國當?shù)匾恢毕Ｍ苡腥珖y(tǒng)一的課程標準。2010年面向全美的《跨州共同核心數(shù)學課程標準（Common Core State Standards For Mathematics）》（以下簡稱CCSS課標）應運而生。

就CCSS課標來說，第一部分就是“實踐標準”，也可直接譯為數(shù)學素養(yǎng)，它置于“內(nèi)容標準”之前，每一項都用“精通數(shù)學的學生能/會/表現(xiàn)出……”這樣的句式提出學生學習數(shù)學的過程與結果，共有8項。

中國課標雖然沒有直接說明什么是數(shù)學素養(yǎng)，但有10個核心詞，其中8個和數(shù)學素養(yǎng)直接相關，另外2個分別是“應用意識”和“創(chuàng)新意識”，作為基礎素養(yǎng)貫穿整個數(shù)學學習，如表1所示。這些核心詞與“四基四能”以及之后提出的“三會”構成了數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展的整體。

表1? ?中美數(shù)學課標中的數(shù)學素養(yǎng)概覽

對比之后，我們可以發(fā)現(xiàn)中美兩國的數(shù)學課程標準都非常重視“數(shù)學抽象”“邏輯推理”和“數(shù)學模型”等素養(yǎng)的培養(yǎng)。以“模型思想”為例，兩國的數(shù)學課程標準對“數(shù)學模型”的描述基本一致，即從現(xiàn)實問題抽象出數(shù)學問題，求解后還原到現(xiàn)實問題中去進行驗證與調(diào)整的建模過程。不同的是，中國課標采用了內(nèi)涵描述的方法，CCSS課標則給出了學生在數(shù)學建模中應具有的行為描述：精通數(shù)學的學生可以運用他們掌握的數(shù)學來解決日常生活、社會和工作場所中出現(xiàn)的問題。在早期，這可能如列個加法等式來描述一個情境一樣簡單。在中年級，學生可以運用比例推理來計劃學?；顒踊蚍治錾鐓^(qū)中的問題。在高年級，學生可能會使用幾何來解決設計問題或使用函數(shù)來描述一個數(shù)量如何決定另外一個量，等等。雖然兩者實質(zhì)相同，但如果能知道學生行為的具體描述，則對于教師教學的指導性會更強。

二、教材中的數(shù)學素養(yǎng)如何落地

（一）把數(shù)學素養(yǎng)作為教材編排主線

教材是培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)的重要落腳點。中國課標在“實施建議”中明確提出了教材編寫建議：“教材的整體設計要體現(xiàn)內(nèi)容領域的核心。本標準在設計思路中提出了幾個核心詞：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想，以及應用意識和創(chuàng)新意識，它們是義務教育階段數(shù)學課程內(nèi)容的核心，也是教材的主線。因此，教材應當圍繞這些核心內(nèi)容進行整體設計和編排?！敝袊n標對教材編寫提出了直接而又明確的要求，那么具體是如何體現(xiàn)的呢？在本文中我們選取了使用較廣的人民教育出版社出版的《數(shù)學》（以下簡稱人教版）教材來分析。

CCSS課標雖然沒有對教材的編寫進行直接規(guī)定，但教材的出版也是需要通過州的課程委員會/教材審定委員會的審核，然后公開展示接受公眾評價，修訂之后才能被推薦給州的教育行政機構，最后再推薦給學區(qū)或?qū)W校，由學校決定選用。通過CCSS課標審核的教材在封面上都醒目地印刷著“CCSS”標志。我們選用的教材是My Math（以下簡稱MM版），主要原因是這套教材的前身是《加州數(shù)學：概念、技能和問題解決》，有較大影響。此套教材內(nèi)容豐富、形式活潑，科學性和可操作性都較強，國內(nèi)的不少國際學校都選用過這套教材。

（二）數(shù)學素養(yǎng)在教材中的普遍滲透和專題編排

數(shù)學素養(yǎng)在這兩版教材中都是通過普遍滲透和專題編排來體現(xiàn)的。普遍滲透是指教材在編排小學數(shù)學知識的同時把素養(yǎng)嵌入呈現(xiàn)過程和呈現(xiàn)方式中，讓教材從重視羅列知識的前后編排，變?yōu)椴坏⒅刂R體系，而且重視數(shù)學素養(yǎng)生長的過程。專題編排是指通過編排專門的主題來突出某一數(shù)學思想方法，如人教版教材中專設了“數(shù)學樂園”內(nèi)容，編排了雞兔同籠、植樹問題等專題來發(fā)展模型思想、幾何直觀等素養(yǎng)。MM版教材則專設了“Problem-Solving Investigation”專題，以此來發(fā)展邏輯推理、數(shù)學抽象、幾何直觀等素養(yǎng)。

1.通過情境設置來滲透數(shù)學素養(yǎng)

問題情境在兩版教材中都是經(jīng)過精心挑選的，主要有個人情境、教育情境、職業(yè)情境、公共情境和科學情境等，體現(xiàn)了與學生的生活現(xiàn)實、數(shù)學現(xiàn)實、其他學科現(xiàn)實的聯(lián)系。

以“單位分數(shù)的認識”為例，兩版教材都將這一內(nèi)容安排在三年級學習。人教版教材以“秋游分享食品”為主題情境，如圖1所示，抽取其中的分月餅情境來引入學習。類似的，MM版教材出示了分燕麥棒的問題情境，如圖2所示。

丹尼和斯蒂芬分享了他的燕麥棒。他把燕麥棒分成了相等的兩部分。每人分到的用什么分數(shù)表示？]

兩版教材都是從認識單位分數(shù)開始引導學習分數(shù)，分別結合了生活實例和生活經(jīng)驗“平分”“一半”以抽象出[12]，然后再認識[13]，[14]等分數(shù)的讀法、寫法、意義以及解決相關的問題。這實際上是讓學生經(jīng)歷“直觀—抽象—直觀”的閉環(huán)過程，即首先從生活現(xiàn)實引出具體的數(shù)學實例，然后對實例進行豐富與拓展，進而抽象出概念定義（MM版教材都會給出一個通俗的定義），再把數(shù)學對象返回到現(xiàn)實情境中。像這樣從現(xiàn)實情境出發(fā)再回到現(xiàn)實情境的編排方式，用于教材中每一個知識點的學習，學生一次又一次地經(jīng)歷“用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界（抽象），用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界（推理），用數(shù)學的語言描述現(xiàn)實世界（建模）”，潛移默化地提升了數(shù)學素養(yǎng)。

在情境的創(chuàng)設方面，人教版教材采用單元主題情境形成知識鏈的編排方法。MM版教材沒有主題情境，各個知識點嵌入的情境也不盡相同，不過在每個單元的前幾頁都有與本單元相關的已學數(shù)學詞匯、將要掌握的數(shù)學詞匯、使用建議、本單元涉及的數(shù)學素養(yǎng)等說明，清晰醒目，值得參考。

2.通過多元表征來豐富數(shù)學素養(yǎng)

在具體學習數(shù)學對象和方法時，兩版教材都十分注重通過多元表征來建構相關概念、關系和算法，在意義理解中提升數(shù)學素養(yǎng)。在表征方式上兩版教材也有諸多相似之處。

如“數(shù)的認識”這一內(nèi)容，常用表征方式有：具體的實物如食物、動物、植物等學生在生活中常見的物品;半具體半抽象的立方體、正方形;進一步抽象的方格圖、點子圖;抽象形式化的數(shù)。以“6和7的認識”為例，人教版教材引入了：①小朋友的人數(shù);②比5多1的點子圖;③小棒，搭建多邊形;④計數(shù)器，撥算珠;⑤直尺，找刻度;⑤在比較大小中認識數(shù)。在此基礎上，進行問題解決“魚缸中的魚有幾條”，從基數(shù)和序數(shù)兩方面促進學生對6和7的認識，多維度地提升數(shù)感。

MM版教材中“6和7的認識”這一內(nèi)容是安排在Kindergarten（相當于學前班，但正常上課）進行學習的，學習對象為5周歲兒童?？紤]到學生的年齡特點，教學時主要通過實物表征來幫助學生認識，表征方式比較單一。值得注意的是，MM版教材編排了整整6頁來讓學生“數(shù)一數(shù)，畫一畫”，數(shù)的東西有水果、食物、日常用品等生活中常見的物品。

教材在給出表征方式的同時實際上也推薦了學習路徑。人教版教材提供的學習路徑是：①一個一個地數(shù)，數(shù)人數(shù);②以5為基數(shù)認數(shù)，數(shù)點子、搭小棒、撥算珠;③比大小，點子圖，看直尺圖（數(shù)軸）;④問題解決，理解數(shù)的基數(shù)與序數(shù)屬性。教材期望通過這一系列的學習活動達成學生對數(shù)的意義的理解，提升數(shù)感。相較于人教版教材提供的豐富活動，MM版教材提供的學習路徑只有“數(shù)（shǔ）數(shù)（shù）—畫數(shù)”。筆者見到外教同事就是這么簡簡單單地教學，就同一表征方式讓學生充分地活動，學生在整節(jié)課中的主要活動就是“數(shù)數(shù)”和“涂色塊”，如圖4所示，學得不亦樂乎。

除了以上舉的例子，教材提供的表征方式還有很多，如在培養(yǎng)運算能力時，教材常常呈現(xiàn)小方塊、數(shù)棒（以十為單位，以百為單位）、數(shù)表等，在培養(yǎng)空間觀念、邏輯推理等素養(yǎng)時，教材常常呈現(xiàn)線段圖、面積圖、方格圖等，這些都為發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)提供了很好的教學路徑支持。

3.通過設置數(shù)學專題來促進素養(yǎng)發(fā)展

教材在安排各個知識點的學習時普遍滲透的方法還有很多，如學習方式的普遍提示，在中美教材中都會給出動手操作、獨立思考（MM版教材專設一個欄目Independent Practice）、同伴交流、合作分享等提示，期望學生能積累充分的數(shù)學活動經(jīng)驗，從而生成感悟、提升素養(yǎng)。除普遍滲透外，兩版教材都設置了專題學習來促進素養(yǎng)發(fā)展。

人教版教材從二年級開始設置“數(shù)學廣角”，小學階段這一板塊共設有例題 22個。這些專題的重點不在于學習新知識，而主要是利用直觀操作等手段來引導學生進行專門的數(shù)學思想方法感悟。這些專題內(nèi)容中有19個例題是針對專門的數(shù)學思想的，如植樹問題的模型思想、鴿巢問題的抽屜原理、烙餅問題中的同余和策略優(yōu)化、田忌賽馬和沏茶問題中的運籌優(yōu)化、找次品中的優(yōu)化和推理、搭配中的排列組合、雞兔同籠中的枚舉假設等。另外3個是普適的數(shù)學思想方法學習：二年級下冊的有序思考、推理，三年級上冊的集合，六年級上冊的數(shù)與形等。

MM版教材從學前開始就在每個單元中設置“Problem-Solving Investigation”專題。和人教版教材不同的是，這個專題主要是學習思維策略（Strategy），如畫格子、制作表格等，都是普適性的思想方法。MM版教材中每冊的問題解決策略種類并不多，大部分是重復使用，如表2所示。教材提供了不同的問題情境讓學生不斷地重復學習與運用這些策略，從而達到熟練掌握的程度。到了高年級，教材還安排了對同一問題使用不同策略的比較，讓學生進一步體會策略之間的區(qū)別與聯(lián)系。重視思維策略在解決現(xiàn)實問題中的應用，以此提升數(shù)學素養(yǎng)。這是MM版教材的一大特色。

表2? ?MM版教材中問題解決策略概覽

[年級 策略 策略種類 K—2年級

（共32個） 畫圖（示意圖、條形圖等）、寫算式、尋找規(guī)律、制作表格、猜測/檢查/調(diào)整、寫出過程 6種 3—5年級

（共35個） 畫圖（示意圖、條形圖等）、判斷合理的答案、估計/精確結果、寫數(shù)量關系、制作表格、建立模型、尋找規(guī)律/模式、使用邏輯推理、反向推導、確定多余或缺失信息、猜測/檢查/調(diào)整、制定一個有組織的清單（列出有序?qū)剑⒔鉀Q一個更簡單的問題、建立/運用模型、使用四步計劃、確定可能的結果 15種 ]

綜上所述，中美教材的編排都相當重視數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，可以說是知識點全滲透，策略方法再強化，覆蓋了所有的學習內(nèi)容。

（三）重視思維的程序與步驟，促進素養(yǎng)發(fā)展

除了知識點的學習外，問題解決也受到了中美教材的重視。人教版教材不僅在單元主題中、問題情境中以“你能發(fā)現(xiàn)什么數(shù)學問題”“你能提出數(shù)學問題并解答嗎”“你還能提出什么數(shù)學問題”等方式培養(yǎng)學生的“四能”，更是從一年級上冊開始就讓學生學習并體會解決一個數(shù)學問題所要經(jīng)歷的步驟。類似的，MM版教材也處處讓學生體會問題解決的一般步驟，不斷重復，形成素養(yǎng)。

以小學高年級重點內(nèi)容“分數(shù)乘除應用問題”為例，人教版教材將此編排在六年級上冊，“分數(shù)應用問題”被分為兩個階段學習：第一階段是結合分數(shù)乘除的運算嵌入一步計算的簡單應用，第二階段是專題學習，教材為此專門設置了“問題解決”課型。這一階段，學習目標從“解題”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖鉀Q問題”。如果僅僅是“解題”，那么學生只要學會“找類型，抓特征”就可以了。解題能不能成功，就看技巧有沒有掌握。學生在解題時不需要看背景理解題意，只要找到句子中“占”“是”后面的單位1，如果單位1的數(shù)量在條件中已知就用乘法，如果未知則用除法，這套方法快捷便利。不過，這樣的機械解題方式時間一長就容易被學生忘記，還有可能熟能生“笨”，很難生成素養(yǎng)。

教材設置了問題解決，就要讓學生首先關注問題本身，然后去發(fā)現(xiàn)、梳理問題中各要素之間的聯(lián)系，進而抽象為數(shù)學模型從而解決問題。技巧不是不重要，而是要讓學生自己悟得，如此才能生長為素養(yǎng)。那么，教材是如何編排的呢？除了上文提到的數(shù)學方法策略之外，兩版教材都特別提供了問題解決的程序和步驟，如表3所示。

表3? ?中美教材中有關問題解決的程序和步驟舉例

[問題步驟 人教版教材（六上：P13-14）

這個大棚共480m2，其中一半種各種蘿卜，紅蘿卜地的面積占整塊蘿卜地的[14]。紅蘿卜地有多少平方米？ MM版教材（五年級：P777-778）

策略學習（畫圖）：簡周末去參觀水族館，他看到了35種魚，占總數(shù)的[15]。水族館有魚多少種？ 1 閱讀與理解

整個大棚的面積是

蘿卜地的面積占整個大棚面積的

紅蘿卜地的面積占蘿卜地面積的

要求的是? ? ? ? ? 的面積 理解

你知道哪些事實？

簡看到了? ? ? ? ? 種魚相當于總數(shù)的

你需要找到什么？

水族館里共有? ? ? ? ? 種魚 2 分析與解答

折紙或畫圖有助于我們分析思考

列式解答：①480×[12]=240? ?240×[14]=60

方法2：480×[12]×[14]=60 計劃

我將用畫圖的方法解決問題。

3 解決

這個模型被[15]分成五份。因為每份代表35種魚，所以總共有35×5，也就是水族館共有? ? ? ?種魚 4 回顧與反思

用你喜歡的方法檢驗一下上面答案的合理性 檢查

我的答案合理嗎？

÷5=35 ]

從上表中我們可以看到，中美教材中的四個步驟基本相同，都是借鑒了波利亞的解題步驟。整個步驟從理解題意、擬訂計劃、分析解答再把結果放回問題中檢查，形成了一個閉環(huán)。人教版教材對傳統(tǒng)的應用題教學都作了如此改編，MM版教材則在整個小學階段的每一單元末放置這項專題，不斷重復。

解決問題的程序和步驟看上去不起眼，為什么中美教材都這么重視？一方面它是讓學生更關注問題本身，而不是去借用“記題型”“套題型”的思維腳手架;另一方面是希望學生能借此形成一種理性思維習慣，以應用在除數(shù)學之外更廣闊的場景中，成為重要的數(shù)學素養(yǎng)。

綜上，教材把素養(yǎng)發(fā)展作為編排的出發(fā)點和重要目標，處處滲透，時時著墨，下了很多功夫。特色編排之處還有很多，本文只是選取了其中的一些角度進行透視，目的在于探討教材對學生數(shù)學素養(yǎng)的促進之處，蜻蜓點水，難免有諸多不當之處，權當拋磚引玉，希望能得到更多的討論。

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（浙江省杭州市上城區(qū)教育學院附屬小學? ?310008）