山重水復(fù)疑無(wú)路 “邊角互化”來(lái)幫助

吳凱 江麗莉 李嬌嬌

[摘要]解三角形的題目是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容，掌握好這一類(lèi)題型的解法對(duì)于考生來(lái)講至關(guān)重要

[關(guān)鍵詞]邊角互化;正弦定理;余弦定理;解題策略

[中圖分類(lèi)號(hào)]

G633. 6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)] 1674-6058（2020）17-0017-02

大家都知道，正弦定理和余弦定理是高中數(shù)學(xué)非常重要的兩個(gè)定理，屬于解三角形這一章節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容之一.但是對(duì)于很多高一學(xué)生來(lái)講，在如何合理使用正弦定理和余弦定理解題這問(wèn)題上，會(huì)有很多疑慮，到底是要“邊化角”還是“角化邊”呢？如何選擇才能實(shí)現(xiàn)“邊角互化”從而快速解題呢？

[引例]在三角形△ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若bsin 2A= asin日，求角A. `

在解三角形中，既有邊又有角的表達(dá)式，我們統(tǒng)稱(chēng)為邊角混合式.我們通常的方法就是利用正弦定理，實(shí)現(xiàn)“邊角互化”，即“邊化角”或“角化邊”.

由正弦定理可知a= 2RsinA，b=2RsinB，∴sin Bsin 2A=sinA sinB，又∵sinB>0∴sin 2A=sinA.即2sinAcosA=sinA，又∵sinA>0，∴cosA=1/2，即A=60°.

利用“邊化角”的方法，將表達(dá)式變成全角的模式，通過(guò)計(jì)算相應(yīng)角度的三角函數(shù)值，從而確定其大小.

我們也可以利用二倍角公式可得2bsin AcosA=asinB，由正弦定理可知sinA=a/2R，smB=B/2R，即2bacosA=ab，則cosA=1/2，即A=60°.

這樣就可以利用“角化邊”達(dá)到化簡(jiǎn)的目的，殊途同歸.

那么，是不是所有的題目都是可以采用兩種解法來(lái)解題呢？哪種方法更加簡(jiǎn)單呢？

一、解題策略初探

[例1]在三角形△ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若sin₂B=2sinAsinC，且a=b，求cosB.

分析：若用角，根據(jù)三角形內(nèi)角和關(guān)系可知sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，再代入平方，運(yùn)算太大，不可行.若考慮a=b得A=B，即sin A=sin日，由sin₂B= 2sin Asin C可得sinB=2sin C，考慮角度關(guān)系不行.故我們考慮用邊，由正弦定理得b₂= 2ac，又a=b，則b=2c，再結(jié)合余弦定理，可得

此題明顯“角化邊”為宜，聯(lián)系余弦定理求cosB，正為所求，方便有效.

分析：本題的關(guān)系式有很多解決的可能性，但如何實(shí)現(xiàn)“邊角互化”，確實(shí)有很大的困難.

通過(guò)上述兩例我們發(fā)現(xiàn)，解法不能固化，有時(shí)用角，有時(shí)用邊.因此，我們需要根據(jù)已知條件“具體問(wèn)題具體分析”，恰當(dāng)選擇方法解題.

二、面向高考的解題策略研究

[例3]（2016年浙江高考第18題第1問(wèn)）在三角形△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b+c=2acosB.證明：A=2B.

做到這一步，很多學(xué)生的解題思路就可能被卡住了，雖然得到了一個(gè)關(guān)于三邊a，b，c的方程，但是對(duì)于要證明的結(jié)論而言好像并無(wú)必然聯(lián)系.這是最直接的想法，但是也是最沒(méi)有原則的想法.

對(duì)于②式的化簡(jiǎn)顯然是相當(dāng)煩瑣的，筆者不建議大家去嘗試化簡(jiǎn)它的.

思路3由正弦定理“邊化角”，用角的關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題，解題的思路很自然，運(yùn)算量也不大，連貫性好，這是正解.

本題主要利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，然后利用兩角差的余弦公式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系求解.

從近年的高考真題來(lái)看，“邊化角”應(yīng)該是占據(jù)主導(dǎo)型.我們可以這樣認(rèn)為，角的關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，這也應(yīng)該是考試的重點(diǎn)考查方向.

[參考文獻(xiàn)]

[l]曾敏“萬(wàn)法歸宗”：例談三角形的邊角互化問(wèn)題[J]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（5）：134

[2]陳慶寶探究邊角互化在解三角形問(wèn)題中的作用[J]數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2016（3）：39

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）