高壓油管壓力控制的數(shù)學(xué)模型與優(yōu)化

程 中 林

(安徽外國(guó)語學(xué)院 公共基礎(chǔ)課教學(xué)部,安徽 合肥 231201)

0 引 言

近幾年來，隨著經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，中國(guó)對(duì)外貿(mào)易來往頻繁，在交通以及各個(gè)方向?qū)κ头矫嫘枨笕諠u增強(qiáng)。地球石油資源枯竭嚴(yán)重，因此高效利用石油資源十分重要。研究高壓油管對(duì)于減輕目前的能源危機(jī)有一定的意義。

柱塞式柴油機(jī)在工作前，柱塞將柱塞腔內(nèi)的燃油壓縮，使得高壓油泵內(nèi)的壓力大于高壓油管內(nèi)的壓力。此時(shí)，單向閥打開，燃油通過單向閥進(jìn)入高壓油管內(nèi)[1]。燃油進(jìn)入油管后的波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致高壓油管內(nèi)產(chǎn)生引力波，引力波會(huì)使得油管內(nèi)壓力升高，如果不能合理控制單向閥的開關(guān)時(shí)間，可能會(huì)引起油管內(nèi)的壓力急劇變化產(chǎn)生事故。通過建立高壓油管兩端壓力變化的方程，在固定單向閥打開時(shí)長(zhǎng)的情況下，給出高壓油管內(nèi)壓力和密度隨時(shí)間變化的模型和算法，優(yōu)化單向閥的開啟策略。

采用2019年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題中的數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，解決高壓油管在一定壓力下單向閥的開啟時(shí)長(zhǎng)。

1 建模準(zhǔn)備

圖1 高壓油管簡(jiǎn)化工作原理

圖1為高壓油管簡(jiǎn)化工作示意圖，給出某型號(hào)高壓燃油系統(tǒng)的工作原理，燃油經(jīng)高壓油泵從A處進(jìn)入高壓油管，再由噴嘴B噴出[2]。燃油進(jìn)入和噴出的間歇性工作過程會(huì)導(dǎo)致高壓油管內(nèi)壓力的變化，使得所噴出的燃油量出現(xiàn)偏差，從而影響發(fā)動(dòng)機(jī)的工作效率。

分析數(shù)據(jù)找出燃油在管中的不同過程，對(duì)不穩(wěn)態(tài)過程利用流體力學(xué)中一維不穩(wěn)定流動(dòng)方程模型進(jìn)行計(jì)算。燃油在高壓油管中是非穩(wěn)態(tài)，如果將油管劃分計(jì)算單元，且高壓油管一般比較細(xì)，可利用穩(wěn)態(tài)方程進(jìn)行求解。根據(jù)迭代法將高壓油管內(nèi)壓力的波動(dòng)性表示出來，結(jié)合一維不穩(wěn)定流動(dòng)方程建立偏微分方程。利用已知條件確定偏微分方程初始條件與邊界條件，運(yùn)用有限差值法解偏微分方程。根據(jù)具體問題，設(shè)置單向閥每次開啟的時(shí)長(zhǎng)，要保證高壓管內(nèi)壓力在100 MPa左右，此時(shí)將問題進(jìn)行理想化處理。假設(shè)高壓管內(nèi)壓力穩(wěn)定在100 MPa時(shí)，根據(jù)壓力迭代方程，以進(jìn)入油管和出去油管在1個(gè)極短的時(shí)間內(nèi)進(jìn)出油管的流體體積相等列出平衡方程式求得第1小問題的時(shí)間。在第2小問題相對(duì)于第1小問題增加了高壓油管內(nèi)壓力增加的1個(gè)過程，然后在穩(wěn)定后保持在150 MPa,此時(shí)將其分成2個(gè)階段，先在2 s時(shí)間內(nèi)將壓力增加到150 MPa，根據(jù)非連續(xù)性壓力增加過程按照積分公式求得在這段時(shí)間的單向閥開啟時(shí)長(zhǎng)，然后在穩(wěn)定過程中根據(jù)第1小問的求解方法，求出第2個(gè)過程單向閥開啟時(shí)間。其他時(shí)間段同理。

2 建立高壓油管一維燃油流動(dòng)穩(wěn)態(tài)模型

對(duì)高壓油管中的熱傳遞過程進(jìn)行分析，主要為流體穩(wěn)定流動(dòng)過程。

在穩(wěn)定流動(dòng)階段，通過分析問題條件可以將問題合理簡(jiǎn)化為一維穩(wěn)定流動(dòng)模型[3]

(1)

簡(jiǎn)化方程為

(2)

建立壓力變化量與密度變化量的偏微分方程[4]

(3)

F=Elnρ+C

(4)

建立高壓管壓力迭代方程[3]

(5)

|Q1-Q2|≤ε1

(6)

建立高壓油管壓力增大流量模型[5]，進(jìn)出高壓油管的流量為

(7)

由(7)流量與壓力的函數(shù)關(guān)系式推導(dǎo)出壓力變化時(shí)高壓油管壓力增大積分模型

(8)

3 用MATLAB求解高壓油管一維燃油穩(wěn)態(tài)流動(dòng)模型

圖2 高壓油管劃分

圖2是高壓油管劃分示意圖，將整個(gè)高壓油管進(jìn)行微元法處理，將高壓油管微分為無數(shù)很小的一段，假如每一段上燃油的壓強(qiáng)都能夠穩(wěn)定在100 MPa,那么整個(gè)高壓油管內(nèi)的壓力就能夠保持在問題要求的條件上。通過以上分析，建立并求解高壓油管壓力波動(dòng)變化方程[6]。

油管里壓力的初始條件為

P(x,0)=Pr

(9)

U(x,0)=0

(10)

其中，Pr為高壓油管內(nèi)殘余壓力。

若不考慮燃油在連接口處存在損失[7]，則

P(0,t)=Pr

(11)

P(L,t)=PN

(12)

根據(jù)壓力的變化量與密度成正比的關(guān)系式，比例系數(shù)為E/ρ，其中密度保持不變，E為彈性模量[8]，和壓力的關(guān)系式可用SPSS擬合得一階和二階的擬合曲線，其中二階擬合曲線程度高達(dá)99.9%，由此可以得到彈性模量和壓力的表達(dá)式[9]

E=1570+3.08F+0.03F2

(13)

圖3是通過SPSS數(shù)據(jù)分析得到原曲線和一階二階擬合線，其中一階擬合線擬合度為97.1%，二階擬合線的擬合度為99.9%，所以選取二階作為擬合曲線。

圖3 彈性模量與壓力的擬合曲線

由MATLAB可以做出凸輪的曲線規(guī)律圖和針閥隨時(shí)間運(yùn)動(dòng)曲線(圖4～5)。

圖4 凸輪運(yùn)動(dòng)規(guī)律 圖5 針閥隨時(shí)間運(yùn)動(dòng)曲線

根據(jù)計(jì)算，得到常數(shù)C為452.9，求得密度為0.9，再由C語言編寫程序，對(duì)其公式利用MATLAB求解，得到單向閥每次開啟的時(shí)長(zhǎng)約為2.43211 ms。在2、5、10 s從100 MPa達(dá)到150 MPa單向閥所需時(shí)間分別為660.7、443.6、237.8 ms;達(dá)到150 MPa后，單向閥開啟時(shí)間為10.674 ms能夠讓高壓壓管壓力穩(wěn)定在150 MPa。

4 模型優(yōu)缺點(diǎn)

本文針對(duì)高壓油管的壓力控制，在一定壓力下確定單向閥的開啟時(shí)長(zhǎng)。利用流體力學(xué)連續(xù)性方程建立高壓油管一維燃油穩(wěn)態(tài)流動(dòng)模型，將高壓油管壓力變化用迭代法表示，在初始條件和邊界條件下求解模型。利用MATLAB求出單向閥開啟時(shí)長(zhǎng)并擬合得到彈性模量與壓力的方程，擬合度相當(dāng)高，具有實(shí)際意義。不足的是忽略了燃油自身重力等一系列不確定因素，以及對(duì)實(shí)際柴油機(jī)高壓油管復(fù)雜工作過程簡(jiǎn)化[10]，不具有普遍性。