外匯期權定價研究

徐怡紅 劉桐

[提要] 外匯期權是從西方金融市場興起，在外匯期權還未正式成為我國金融市場上的投資產品的時期，國內學者主要研究外匯期權的估價和風險規(guī)避兩個方面，目前看來，這兩個方面的研究的確格外重要。本文在國內學者的研究基礎上主要對外匯期權的定價方法進行研究，應用Black-Scholes期權定價模型和模糊三叉樹模型，將兩者的計算結果進行對比分析，為投資者風險計算提供借鑒。

關鍵詞：外匯期權;Black-Scholes外匯期權定價模型;模糊三叉樹模型;定價

中圖分類號：F830.92 文獻標識碼：A

收錄日期：2020年3月31日

一、引言

近幾年金融市場快速發(fā)展，隨之而來的是金融市場上呈現出高風險性和不確定性，開始思考如何正確評估衍生產品的風險已成為企業(yè)界和學術界不能忽視的重大問題。外匯期權作為一個新興風險管理工具，有巨大的財務杠桿作用，同時它還可以用以套期保值、回避風險，所以使外匯期權的價格量化在外匯期權研究中占據舉足輕重的地位。本文以外匯期權產品為例，結合外匯期權的特點，運用Black-Scholes期權定價模型和模糊三叉樹模型主要對歐式看漲期權進行估價和分析，旨在尋找一個擬合程度較高的外匯期權定價模型，為投資者和風險規(guī)避者提供參考。

二、外匯期權定價模型

（一）Black-Scholes外匯期權模型。本文中使用的是在原始的Black-Scholes模型，即用以計算股票期權價格的標準Black-Scholes模型的基礎上，結合外匯期權自身特點進行改進的外匯期權定價模型。外匯期權的標的資產——外匯被視為一種支付連續(xù)紅利的股票，其中，外幣的無風險利率等同于股票收益率。在此基礎上，對基本公式中原有的“支付連續(xù)紅利”的假設進行修改，即可獲得用于計算看漲和看跌外匯期權的Black-Scholes期權定價模型，此模型遵循以下假設：（1）市場為有效市場;（2）不存在無風險套利機會;（3）市場無摩擦，即不存在稅收和交易傭金等;（4）不存在賣空機制;（5）期權為歐式期權，到期日前不可行權;（6）有效期內，無風險利率已知且為常數;（7）須為連續(xù)資產交易，資產價格也是連續(xù)的;（8）不支付現金股息和紅利;（9）收益率服從對數正態(tài)分布。這一假設對于絕大部分金融資產的價格波動都適用。

其具體表達式如下：

其中，C和P分別表示看漲期權和看跌期權的價格，N是正態(tài)分布函數，S是外匯匯率，t是到期時間，σ表示波動率，X表示外匯期權執(zhí)行價格，r表示國內無風險利率，rf代表他國無風險利率。

（二）模糊三叉樹外匯期權定價模型。在過去很長一段時間內精確數學及隨機數學在描述自然界多種事物的運動規(guī)律中，占據著主要地位也獲得顯著效果。但實際上，在客觀世界中是普遍存在著大量的模糊現象的。在過去，人們對它避而不談，然而，隨著現代科技產出的系統(tǒng)日益復雜化，模糊性總是伴隨著復雜性出現，令人不可忽視。隨后模糊理論在各個領域的應用興起，同時也漸漸推動了數學家對模糊數學的深入研究。

隨著模糊數學理論的發(fā)展，Y.N.Shang應用模糊數學的觀念和方法，在二叉樹模型的基礎上，提出了模糊二叉樹模型，在此之后Boyle提出模糊三叉樹模型的基本原理，見圖1。（圖1）

對于任何時段，股票價格向上“up”、向下“down”和水平“horizontal”跳動的概率分別為：

根據以上，在一階段模糊三叉樹模型中可求得期權價格：

其中，r為無風險利率， u為股價上行乘數;d為股價下行乘數;C為看漲期權現行價格;Cu為股價上行時看漲期權的到期日價值;Cd為股價下行時看漲期權的到期日價值。

三、外匯期權定價計算

（一）數據的選取及來源。本文擬采用人民幣對美元匯率作為基礎數據對人民幣對美元外匯期權價格進行計算。文中用于進行計算外匯期權價格的數據來自于國家外匯管理局的官方網站、萬德數據庫以及網絡上可以查詢到的通用數據。

即期匯率S：即期匯率引用2019年12月2日國家外匯管理局網站發(fā)布的即期匯，分別為：人民幣兌美元的匯率為7.02。

執(zhí)行匯率X：本文參照美國制定執(zhí)行匯率的方式將執(zhí)行匯率假定為如下數據。人民幣對美元每月到期的看漲外匯期權的執(zhí)行匯率為7.00，7.01，7.02，7.03。

到期期限T：2020年1月2日到期的期限為T=1/12=0.0833，2020年2月2日到期的期限為T=2/12=0.1667，2020年3月2日到期的期限為T=3/12=0.25。

波動率σ：根據波動率的定義可知波動率是用來表示標的資產價格波動的幅度，即可以用標的資產的價格變化的標準差表示。根據萬德數據庫中查詢到的人民幣對美元的歷史數據計算得到人民幣對美元的波動率約為4.07%。

本國無風險利率r：我國國內無風險利率使用10年期國債的利率，為 3.22%。

他國無風險利率rf：遵循國際規(guī)則，美國的無風險利率使用的是美國10年期國債的利率，為1.82%。

（二）外匯期權模型定價結果

1、基于Black-Scholes期權模型的外匯期權定價結果（表1）

2、基于模糊三叉樹模型的外匯期權定價結果（表2）

從以上結果可以做出總結：對于看漲期權來說，其他條件不變時，其執(zhí)行價格越高，期權的價格就越低;在到期期限和執(zhí)行價格相同的情況下模糊三叉樹期權定價結果普遍大于Black-Scholes外匯期權定價公式計算出來的價格。這可能是由于在應用Black-Scholes期權定價模型時以某種標準為前提，而這一標準會導致使用Black-Scholes外匯期權定價公式計算的定價小于實際價格。然而，現實金融市場中，很多行為造成的偏差無法精確量化，也不存在明確的界限。在研究金融產品定價時，可以廣泛引入模糊理論，使用模糊三叉樹模型進行金融資產價格評估。

四、結語

外匯期權作為金融衍生物的后起之秀現已在金融市場中占據著重要的地位，它的定價對其風險計算有著很大影響。因此，外匯期權的定價問題一時成為學者們爭相研究的對象，能從理論與實踐兩方面對外匯期權的價格進行精準的計算也愈加重要。Black-Scholes期權定價模型是外匯期權較早期的定價模型，但是由于現實市場存在些無法準確界定的因素，Black-Scholes期權定價模型不能完全地反映出外匯期權的真實價格。為此，本文引進了模糊三叉樹期權定價模型，然后運用這兩種模型模擬計算了人民幣對外匯期權的價格，并對兩種模型計算出來的人民幣對外匯期權價格做了一個簡單的對比發(fā)現本文中使用的模糊三叉樹理論計算的外匯期權價格普遍高于使用Black-Scholes模型計算得到的價格。然而，由于兩者都是在有效市場的假設下進行計算，可能存在一些缺陷，在以后引入模糊三叉樹模型進行定價時，可以考慮運用數學方法去除有效市場假設。

主要參考文獻：

[1]Biancardi Marta，Villani Giovanni.A fuzzy approach for R&D compound option valuation[J].Fuzzy Sets and Systems，2017.310.

[2]Garman M B，Kohlhagen S W.Foreign currency option values[J].Journal of International Money and Finance，1983.

[3]Suprita Vohra，Frank J.Fabozzi.Effectiveness of developed and emerging market FX options in active currency risk management[J].Journal of International Money and Finance，2019.

[4]傅強， 王凱， 劉曉羽.基于分數Black- Scholes模型的外匯期權定價及其評判檢驗[J].經濟分析，2008（2）.

[5]實物期權評估指導意見（試行）[J].中國資產評估，2012（3）.

[6]宮文秀，高凌云.復合期權的三叉樹定價模型[J].統(tǒng)計與決策，2016（18）.