一類時變時滯系統(tǒng)改進(jìn)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則

唐 亮，姜偕富，尹宗明，劉麗麗

(杭州電子科技大學(xué)自動化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

時滯現(xiàn)象存在于大多數(shù)的實際系統(tǒng)中，往往導(dǎo)致系統(tǒng)性能變差甚至使得系統(tǒng)失去穩(wěn)定。因此，對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究不僅具有理論意義，而且具有重要的實際應(yīng)用價值。過去的幾十年間，時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析已成為各個領(lǐng)域的研究熱點之一，并取得很多優(yōu)秀的研究成果[1-7]。文獻(xiàn)[1]將系統(tǒng)時滯分解為兩個部分來分析T-S模糊時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性，取得一個保守性較小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。文獻(xiàn)[2]采用Wirtinger積分不等式來處理L-K泛函求導(dǎo)過程中產(chǎn)生的積分項，在一定程度上減小了系統(tǒng)穩(wěn)定性準(zhǔn)則的保守性。文獻(xiàn)[3]采用凸組合不等式來研究T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性，獲得了很好的結(jié)果。文獻(xiàn)[4]在構(gòu)造L-K泛函時引入三重積分來研究具有時滯的不確定性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題，得到一個具有較小保守性的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，但該三重積分的內(nèi)層積分上限中未能充分考慮時滯信息。同樣，文獻(xiàn)[5-7]所采取的方法都獲得了較好的結(jié)果，但在L-K泛函的構(gòu)造上也未能充分考慮時滯上下界的信息，仍可進(jìn)一步減小所得結(jié)果的保守性。本文針對一類時變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，充分利用時滯信息，構(gòu)造一個改進(jìn)的L-K泛函，將更多的時滯信息加入到了該泛函的三重積分內(nèi)層積分上限中，并給出一個與現(xiàn)有文獻(xiàn)相比具有較小保守性和決策變量較少的時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。

1 系統(tǒng)模型

考慮如下線性時變時滯系統(tǒng)

(1)

(2)

式中，h1，h2和d為常數(shù)且d>0。

2 主要結(jié)果

(3)

(4)

(5)

(6)

Δ44=-Q3-4R2-4αR2，

Δ12=-P12+P13+P14-2R1，

Δ15=ATP12+P22+6R1/h1+h1S1，

Δ23=-2R2-α(Y11+Y12+Y13+Y14)-(1-α)(Y21+Y22+Y23+Y24+2R2)，

Δ24=(1-α)(Y21-Y22+Y23-Y24)+α(Y11-Y12+Y13-Y14)，

Δ34=-2R2+(1-α)(-Y21+Y22+Y23-Y24)+α(-Y11+Y12+Y13-Y14-2R2)，

Δ67=-4(1-α)Y24-4αY14，

證明構(gòu)造如下L-K泛函對系統(tǒng)(1)進(jìn)行穩(wěn)定性分析

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t)

(7)

式中，V1(t)=ωT(t)Pω(t)，

V(t)沿系統(tǒng)(1)軌跡對時間t求導(dǎo)得到：

(8)

(9)

(10)

(11)

對式(10)中積分項使用文獻(xiàn)[8]中的引理1得：

(12)

(13)

(14)

由式(2)可知，h2+h(t)-2h1≤2h12成立，對式(11)中積分項使用文獻(xiàn)[10]中的引理2得：

(15)

(16)

結(jié)合式(8)—(16)得：

(17)

(18)

3 數(shù)值示例

使用如下系統(tǒng)模型

當(dāng)h1=0.4，d取不同值時，通過使用MATLAB中的LMI工具箱求得基于本文定理所允許的最大時滯上界h2，并與相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行對比，結(jié)果如表1所示。表1中，n為系統(tǒng)維數(shù)。

表1 d取不同值時，取得的最大時滯上界h2

從表1可以看出：使用本文定理取得的最大時滯上界比使用文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]相關(guān)定理取得的最大時滯上界大，說明本文所得到的穩(wěn)定性準(zhǔn)則具有較小的保守性。此外，通過表1中最后1列可以看出：本文算法的決策變量數(shù)比文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]少，因此，本文得出的穩(wěn)定性準(zhǔn)則具有較高運算效率。綜上，本文得到的穩(wěn)定性準(zhǔn)則具有較小的保守性和較高的運算效率。

4 結(jié)束語

本文主要研究時變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題，充分考慮時滯信息，在構(gòu)造L-K泛函時，將更多時滯信息加入到引入的三重積分項中，采用Wirtinger積分不等式的方法來處理L-K泛函求導(dǎo)過程中出現(xiàn)的積分交叉項，得到具有較小保守性和較高運算效率的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。但是，實際應(yīng)用中，控制系統(tǒng)還會受到外部干擾或者自身變化等不確定因素的影響，下一步將對該時滯系統(tǒng)進(jìn)行魯棒H∞穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計。