平行四邊形的翻折問題

文張俊峰

（作者單位：安徽省臨泉縣第三中學(xué)）

翻折問題在初中幾何的考查中是比較常見的一類題型。近幾年全國(guó)各地的數(shù)學(xué)中考試題中，翻折類問題屢見不鮮。這類問題立意新穎，構(gòu)思巧妙，很好地考查了同學(xué)們的識(shí)圖能力以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。由于條件和問題的不同，這類題的解法思路也不盡相同。現(xiàn)以2019 年一些地區(qū)中考中的這類題型為例，談?wù)勅绾斡梦覀儗W(xué)過的知識(shí)和方法來解答這類問題。

例1（2019·江蘇揚(yáng)州）將一個(gè)矩形紙片折疊成如圖1 所示的圖形，若∠ABC=26°，則∠ACD=________。

圖1

圖2

【分析】延長(zhǎng)DC 到E，如圖2，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得∠BCE=∠ABC=26°，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得∠BCA=∠BCE=26°，進(jìn)而根據(jù)平角的定義得∠ACD=180°-26°-26°=128°。

答案：128°。

拓展練習(xí)將一張矩形紙片折疊成如圖3所示的圖形，若AB=6cm，則AC=_____cm。

圖3

圖4

【分析】延長(zhǎng)矩形的邊，如圖4，由平行線的性質(zhì)得∠1=∠ACB，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得∠1=∠ABC，所以∠ABC=∠ACB，再根據(jù)“等角對(duì)等邊”得AC=AB=6cm。

答案：6。

【點(diǎn)評(píng)】以上兩題主要考查了矩形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、等腰三角形的判定、平角的定義。圖形折疊后，相當(dāng)于出現(xiàn)了角平分線，有角平分線又有平行線，就會(huì)產(chǎn)生等腰三角形，找到那個(gè)等腰三角形就會(huì)使問題得到解決。

例2（2019·山東濱州）如圖5，矩形ABCD 中，點(diǎn)E 在邊CD 上，將△BCE 沿BE 折疊，點(diǎn)C 落 在AD 邊 上 的 點(diǎn)F 處，過點(diǎn)F 作FG∥CD交BE于點(diǎn)G，連接CG。

（1）求證：四邊形CEFG是菱形；

（2）若AB=6，AD=10，求四邊形CEFG 的面積。

圖5

圖6

【分析】（1）根據(jù)題意和翻折的性質(zhì)，可以得到∠BEC=∠BEF，F(xiàn)E=CE，再根據(jù)FG∥CE，得∠FGE=∠CEB，所以∠FGE=∠FEG，F(xiàn)G=FE，F(xiàn)G=EC，先證四邊形CEFG 是平行四邊形，再由CE=FE 證明它是菱形；（2）根據(jù)題意和勾股定理，可以求得AF 的長(zhǎng)，設(shè)EF=x，則DE=6-x，在Rt△DEF 中，利用勾股定理求得EF 的值，從而可以得到四邊形CEFG的面積。

（1）證明：由題意可得，∠BEC=∠BEF，F(xiàn)E=CE。

∵FG∥CE，

∴∠FGE=∠CEB，

∴∠FGE=∠FEG，

∴FG=FE，∴FG=EC，

∴四邊形CEFG是平行四邊形。

又∵CE=FE，

∴平行四邊形CEFG是菱形。

（2）解：由題意得AF=8，DF=2，

設(shè)EF=x，則CE=x，DE=6-x，

在Rt△DEF中，22+（6-x）2=x2，

拓展練習(xí)（2019·甘肅）如圖6，在矩形ABCD 中，AB=10，AD=6，E 為BC 上一點(diǎn)，把△CDE 沿DE 折疊，使點(diǎn)C 落在AB邊上的F處，則CE的長(zhǎng)為

【分析】設(shè)CE=x，則BE=6-x，由折疊性 質(zhì) 可 知，EF=CE=x，DF=CD=AB=10。在Rt△ADF 中，根據(jù)勾股定理求出AF=8，進(jìn)而求出BF=AB-AF=10-8=2。在Rt△BEF 中，由BE2+BF2=EF2列出方程，即（6-x）2+22=x2，解方程得

答案：

【點(diǎn)評(píng)】以上兩題考查了矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，根據(jù)折疊前后的兩個(gè)圖形全等，找出它們對(duì)應(yīng)的線段，設(shè)出合適的未知量，通過轉(zhuǎn)換，在同一個(gè)直角三角形里，利用勾股定理構(gòu)建方程，然后解方程即可。

通過上述幾個(gè)問題我們可以看出，解決圖形翻折問題，首先要知道是怎樣折疊的，折疊的本質(zhì)是什么，明白折疊的性質(zhì)，如折起部分與重合部分全等，折疊前后對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直且平分。這些條件通常比較隱蔽，有待解題時(shí)挖掘并梳理。解決平行四邊形的翻折問題時(shí)，如果有平行線，那么翻折后就有可能出現(xiàn)等腰三角形。如果有直角三角形出現(xiàn)，可以設(shè)未知數(shù)，根據(jù)題意將所給條件轉(zhuǎn)移集中在同一個(gè)直角三角形里，通過勾股定理列方程求解。方程的思想與方法是解決折疊問題的常用方法。