厘清概念 夯實基礎

文戴倍琪

（作者單位：江蘇省無錫市雪浪中學）

平行四邊形是同學們初中階段接觸的特殊四邊形，在邊、角、對角線、對稱性方面呈現出特有的性質與特征。要學好相關內容，就必須對平行四邊形的定義、性質、判定及應用有較好的理解與掌握。下面通過一道中考題，幫助同學們加深對相關知識的理解，并能熟練應用。

例（2013·江蘇無錫）如圖1，四邊形ABCD 中，對角線AC 與BD 相交于點O，在①AB∥CD，②AO=CO，③AD=BC 中任意選取兩個作為條件，以“四邊形ABCD 是平行四邊形”為結論構造命題。

圖1

（1）以①②作為條件構成的命題是真命題嗎？若是，請證明；若不是，請舉出反例。

（2）寫出按題意構成的所有命題中的假命題，并舉出反例加以說明。（命題請寫成“如果……，那么……”的形式）

【分析】第（1）問，由①AB∥CD 的條件可得出∠OAB=∠OCD 的結論，加上②AO=CO 的條件，以及∠AOB=∠COD，可以證明△AOB≌△COD，得BO=OD，得到四邊形ABCD 對角線AC、BD 互相平分，從而證明四邊形ABCD是平行四邊形。

第（2）問，應列舉所有的可能性①②、①③、②③，并加以甄別。由第一小題的證明可得出①②是真命題。接下來分析①③，一組對邊平行，另一組對邊相等，同學們能夠舉出等腰梯形的反例，難度不大。再看②③，數學基礎不夠扎實的同學非常容易出錯。在△AOD 和△COB 中，AO=CO，AD=BC，∠AOD=∠BOC，這正是全等三角形中的典型的錯誤證明——SSA。如若不能厘清概念，對全等判定條件沒有深刻的理解，那么對于中考中類似的題目，很可能就搞不清楚了。

解：（1）以①②作為條件構成的命題是真命題。

證明：∵AB∥CD，

∴∠OAB=∠OCD，

在△AOB和△COD中，

∴△AOB≌△COD（ASA），

∴OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形。

（2）以①③作為條件構成的命題是假命題，即如果一個四邊形有一組對邊平行，另一組對邊相等，那么這個四邊形是平行四邊形。如圖2，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，但四邊形ABCD 不是平行四邊形。其實，這時的四邊形ABCD是等腰梯形。

圖2

圖3

以②③作為條件構成的命題是假命題，即如果四邊形ABCD 的對角線AC、BD 交于點O，AO=CO，AD=BC，那么這個四邊形是平行四邊形。如圖3，AO=CO，AD=BC，但四邊形ABCD 不是平行四邊形。其實，這里就涉及全等三角形判定中對“SSA”的理解問題。在△AOD 與△COB 中，滿足“兩邊相等、一角相等”，但這兩個三角形并不全等，原因就是其中的角不是兩邊的“夾角”。所以“SSA”與“SAS”的內涵是不一樣的。滿足AO=CO，AD=BC（或AD=B′C）的三角形有兩個，即△COB和△COB′，如圖4。

圖4

在綜合運用時，同學們需要對各知識點融會貫通，比如平行四邊形的判定方法，除了教材給出的判定外，“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”“一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形”都是真命題。同學們要善于通過轉化的數學思想來解決實際問題。