由試題錯(cuò)誤引發(fā)的對(duì)等式p或等式q恒成立問題的思考

不等式p或不等式q恒成立問題，一直是熱點(diǎn)問題，研究的文章較多;但等式p或等式q恒成立問題，好像沒有人關(guān)注，公開刊物中也沒有出現(xiàn)探討該問題的文章.是不是這個(gè)問題根本不存在？

1呈現(xiàn)多年未見質(zhì)疑

例1 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的n∈N滿足2Sn=an（an+1），且an≠0.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)Cn=an+1n為奇數(shù)，3×2an-1+1n為偶數(shù)，求數(shù)列{Cn}的前2n項(xiàng)和T2n （2014年蘇州市高二暑假調(diào)研測(cè)試）.

參考答案（1）在2Sn=an（an+1）中令n=1，則2S1=a1（a1+1）.

又a1≠0，所以a1=1.

因?yàn)?Sn=an（an+1）， ①

所以當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=an-1（an-1+1）. ②

①-②得2an=a2n-a2n-1+an-an-1，

即（an+an-1）（an-an-1-1）=0.

所以an+an-1=0或an-an-1=1（n≥2）.

若an+an-1=0即an=-an-1 （n≥2），則an=1n為奇數(shù)，-1n為偶數(shù);

若an-an-1=1 （n≥2），則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以an=n.

綜上，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n或an=1n為奇數(shù)，-1n為偶數(shù).

（2）略.

看完參考答案，筆者感覺參考答案錯(cuò)誤，試題有問題.上網(wǎng)搜索一番，采用此試題的試卷、刊物較多，但沒有一家提出異議.2迷茫疑惑特殊檢驗(yàn)

是不是筆者對(duì)參考答案中“an+an-1=0或an-an-1=1 （n≥2）”理解有誤？困惑中筆者決定取特殊數(shù)列進(jìn)行檢驗(yàn).

此時(shí)，“an=0或an+1=2an對(duì)一切n∈N恒成立”等價(jià)于“an=0對(duì)一切n∈N恒成立，或an+1=2an對(duì)一切n∈N恒成立問題”.

這類題型中，等式p與等式q除了前述兩種情形（同為數(shù)列，或?qū)?yīng)的函數(shù)圖象均連續(xù)光滑），一般不會(huì)出現(xiàn)其他情形.故其他情形不作探討.

作者簡(jiǎn)介

俞杏明（1975—），男，江蘇省興化市人，中學(xué)高級(jí);研究方向：解題研究，競(jìng)賽輔導(dǎo)，教材教法;

主要成績(jī)：大市學(xué)科帶頭人，輔導(dǎo)多名學(xué)生競(jìng)賽獲省級(jí)以上獎(jiǎng)項(xiàng)，發(fā)表文章20余篇.