在數(shù)學(xué)“規(guī)矩”下解題

張羽　于世章

高考數(shù)學(xué)的考試時(shí)間是兩個(gè)小時(shí)，規(guī)定時(shí)間內(nèi)，考生要完成22個(gè)必做題（8個(gè)單選，4個(gè)多選，4個(gè)填空，其中一個(gè)是一題2空，6個(gè)解答題）的解答，這對(duì)每一位考生來(lái)說(shuō)都是不小的挑戰(zhàn).面對(duì)滿分150分，平均每4分鐘對(duì)應(yīng)分值為5分的高考試卷，僅有“速算競(jìng)賽”一樣的心態(tài)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，面對(duì)突然出現(xiàn)的“熟題”與“生題”，必須有解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的“硬功夫”，“硬功夫”指什么呢？就是數(shù)學(xué)“規(guī)矩”.如認(rèn)真審題、規(guī)范書寫、清晰表述、卷面整潔、敘述條理、格式完整等都是數(shù)學(xué)“規(guī)矩”.筆者據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就數(shù)學(xué)的“硬功夫”怎么煉成，怎么在數(shù)學(xué)“規(guī)矩”下解題，談?wù)勛约旱目捶?

規(guī)矩1 解題過(guò)程要講“規(guī)矩”

數(shù)學(xué)和語(yǔ)文一樣，應(yīng)在規(guī)矩下講話.數(shù)學(xué)解題過(guò)程，其實(shí)就是數(shù)學(xué)“規(guī)矩”的呈現(xiàn)過(guò)程，也就是數(shù)學(xué)解題過(guò)程要求的格式.如：例1 函數(shù)f（x）=x2-32xemx在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析 按數(shù)學(xué)“規(guī)矩”來(lái)說(shuō)，解決此類問(wèn)題，就這樣幾句話幾個(gè)步驟：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x2-32xemx在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，所以f′（x）=mx2-32m-2x-32emx≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，即mx2-32m-2x-32≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，然后按部就班的求解即可，這就是數(shù)學(xué)“規(guī)矩”，該要的步驟，該講的“規(guī)矩”是不能省略的.

解 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x2-32xemx在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，所以f′（x）=mx2-32m-2x-32emx≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，

即mx2-32m-2x-32≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立.

當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x2-32x=x-342-916，顯然在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)增，所以m=0適合題意.

當(dāng)m≠0時(shí)，m>0，m-32m+2-32≥0，

所以m>0，m≤1，所以0

綜合以上兩種情況，實(shí)數(shù)m的取值范圍為0≤m≤1.

這是高考常涉及的題型.常用的解題方法：一是分離參數(shù)，二是轉(zhuǎn)化成常見的二次函數(shù).無(wú)論采用什么方法求解，解題的規(guī)范性時(shí)刻不能忘記，該講的“規(guī)矩”還是要講.

規(guī)矩2 胸中有“數(shù)”，“形”中化難

高中數(shù)學(xué)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中提到的核心素養(yǎng)就有數(shù)形結(jié)合，解題過(guò)程中怎樣才能做到“數(shù)”和“形”的結(jié)合呢？想明白之后你會(huì)頓悟，就是兩種語(yǔ)言的相互翻譯，把符號(hào)語(yǔ)言用圖形語(yǔ)言直觀表現(xiàn)出來(lái)，然后再把圖形語(yǔ)言翻譯后用符合語(yǔ)言表述出來(lái)，從而完成解題的整個(gè)過(guò)程，這就是數(shù)學(xué)“規(guī)矩”.舉例來(lái)說(shuō)：

例2 m取何值時(shí)，方程x2-32xex+x2-2x-m=0有兩個(gè)根？一個(gè)根？無(wú)根？

分析 咋看上去題目有一定難度，讓人一下無(wú)從下手，找不到問(wèn)題解決的突破口在哪里.若將原方程變形為x2-32xex=-x2+2x+m，問(wèn)題就簡(jiǎn)單了許多.本是方程問(wèn)題，轉(zhuǎn)化一下，就成為函數(shù)問(wèn)題.

在一同坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=x2-32xex和y=-x2+2x+m的圖象，根據(jù)圖象不難得出結(jié)論.

解 f′（x）=x2+12x-32ex，令f′（x）=0，解得x1=-32，x2=1，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）和f（x）變化狀態(tài)如下：

在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=-x2+2x+m的圖象（略），得到結(jié)論：

當(dāng)m+1>-e2，即m>-1-e2時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

當(dāng)m+1=-e2，即m=-1-e2時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)數(shù)根;

當(dāng)m+1<-e2，即m<-1-e2時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

由此可見，問(wèn)題的解決過(guò)程，就是數(shù)學(xué)“規(guī)矩”的再次呈現(xiàn)過(guò)程，因?yàn)橹v了數(shù)學(xué)“規(guī)矩”，才能把看似有難度的題目解決掉.規(guī)矩3 難化易 大化小 生化熟

數(shù)學(xué)中講究等價(jià)轉(zhuǎn)化，實(shí)際上就是把難題轉(zhuǎn)化為容易題，大題轉(zhuǎn)化為小題，生分的題目轉(zhuǎn)化為熟悉的題目來(lái)解決，這就是數(shù)學(xué)的“規(guī)矩”，許多看似一籌莫展的題目，在數(shù)學(xué)的“規(guī)矩”下就能迎刃而解.如例2就是把不熟悉的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)熟悉的函數(shù)問(wèn)題得以解決，下面再舉一例：

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+x-1x+1，其中a為常數(shù)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

分析 這是導(dǎo)數(shù)中常見問(wèn)題，也是高考中?？碱}型，解決起來(lái)有一定難度.但若講數(shù)學(xué)“規(guī)矩”，在“規(guī)矩”下把難化易、大化小、生化熟，求解起來(lái)就方便很多.不仿先求導(dǎo)函數(shù)，然后尋求突破：

f′（x）=ax+2（x+1）2=ax2+（2a+2）x+ax（x+1）2，考慮到函數(shù)的定義域，導(dǎo)函數(shù)的分母是恒正的，只需圍繞分子上的函數(shù)

g（x）=ax2+（2a+2）x+a來(lái)解答問(wèn)題即可.就是在這樣的數(shù)學(xué)“規(guī)矩”下，完成了難化易、大化小、生化熟的轉(zhuǎn)化過(guò)程，從而使問(wèn)題得解.

解 函數(shù)f（x）定義域是（0，+∞），f′（x）=ax+2（x+1）2=ax2+（2a+2）x+ax（x+1）2.當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）>0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增;當(dāng)a<0時(shí)，令g（x）=ax2+（2a+2）x+a，由于Δ=（2a+2）2-4a2=4（2a+1）.

①當(dāng)a=-12時(shí)，Δ=0，f′（x）=-12（x-1）2x（x+1）2≤0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減;

②當(dāng)a<-12時(shí)，Δ<0，g（x）<0，f′（x）<0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減;

③當(dāng)-120，設(shè)x1，x2（x1

由x1=a+1-2a+1-a =a2+2a+1-2a+1-a>0，所以x∈（0，x1）時(shí)，g（x）<0，f′（x）<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減;x∈（x1，x2）時(shí)，g（x）>0，f′（x）>0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增;x∈（x2，+∞）時(shí)，g（x）<0，f′（x）<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減.綜上可知，當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）>0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增;

當(dāng)a≤-12時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減;

當(dāng)-12

高考中的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，往往就是通過(guò)這種途徑解決.所以，講數(shù)學(xué)“規(guī)矩”對(duì)解題是很有幫助的.

規(guī)矩4 由抽象到具體

有時(shí)，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決起來(lái)頗感不易，主要是數(shù)學(xué)的抽象性所致，若能把抽象的問(wèn)題變成具體的問(wèn)題，解決起來(lái)會(huì)容易很多. 這就是數(shù)學(xué)“規(guī)矩”.

例4 已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）>12，則不等式f（x2）

A.（-∞，-1） B.（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪[1，+∞）D.（-1，1）

分析 題目屬于抽象函數(shù)問(wèn)題.而與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，又是高三學(xué)生比較頭疼的問(wèn)題.關(guān)鍵在于如何把抽象問(wèn)題具體化，讓學(xué)生切實(shí)看得見摸得著，從而化解難點(diǎn)解決問(wèn)題.這就需要講“規(guī)矩”：已知條件f′（x）>12是怎么來(lái)的呢？能找滿足條件的具體函數(shù)嗎？

解 設(shè)F（x）=f（x）-12x，F(xiàn)′（x）=f′（x）-12，

因?yàn)閒′（x）>12，所以F′（x）=f′（x）-12>0，所以F（x）在R上單調(diào)遞增，因?yàn)閒（x2）

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，確實(shí)需要講數(shù)學(xué)“規(guī)矩”，把抽象問(wèn)題具體化，是數(shù)學(xué)“規(guī)矩”下重要的解題策略.

數(shù)學(xué)的“規(guī)矩”還有很多，真心希望同學(xué)們能在數(shù)學(xué)的“規(guī)矩”下，鍛造成“出色的解題者”.

作者簡(jiǎn)介 于世章（1962—），男，山東定陶人，中學(xué)數(shù)學(xué)正高級(jí)教師.全國(guó)模范教師，山東省特級(jí)教師，山東省首批正高級(jí)教師，省優(yōu)秀教師，省教師出版基金杯2013年度創(chuàng)新人物（教師系列）提名獎(jiǎng)，省課程團(tuán)隊(duì)專家;青島市專業(yè)技術(shù)拔尖人才，青島市名師主持人，“國(guó)培計(jì)劃”專家?guī)斐蓡T，全國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)方法論數(shù)學(xué)哲學(xué)研究委員會(huì)副秘書長(zhǎng)，青島市中小學(xué)教師培訓(xùn)專家講師團(tuán)成員，青島大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院專業(yè)學(xué)位研究生校外導(dǎo)師，第一屆全國(guó)全日制教育碩士學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)技能大賽（決賽）評(píng)委，發(fā)表論文40余篇，專著《在學(xué)生的心靈中旅行》第一輯由中國(guó)書籍出版社出版，第二輯由中國(guó)海洋大學(xué)出版社出版.