問題導學，助力學生思維生長

黃秀旺

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》（2011年版）指出：“數(shù)學教育既要使學生掌握現(xiàn)代生活和學習中所需要的數(shù)學知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用?！碧K聯(lián)心理學家馬丘斯金認為，問題是思維的起點，問題的解決過程也就是創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生過程。因此，在數(shù)學課堂上，教師只有用問題激發(fā)學生思考，引導他們進行自主學習，才能讓學生在獲取知識與技能的同時發(fā)展思維能力，從而實現(xiàn)數(shù)學教育的日的。“基于初中生思維力生長的問題導學式課堂”就是要通過問題驅(qū)動，展示數(shù)學思維過程，為學生的思維力生長創(chuàng)造必要條件。那么，該如何結(jié)合教學內(nèi)容，設(shè)置有利于學生思維生長的問題呢？

一、關(guān)注知識點，基于整體設(shè)計問題

課標指出：“數(shù)學知識的教學，要注重知識的‘生長點與‘延伸點，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導學生感受數(shù)學的整體性……”據(jù)此，我們在實際教學中，嘗試把每一節(jié)課的教學內(nèi)容都置于整體知識的體系下設(shè)計問題，通過問題引導、問題分析、問題解決等環(huán)節(jié)，幫助學生建構(gòu)新知識，掌握新方法。在一系列問題的引領(lǐng)下，學生的思維的深刻性、廣闊性、靈活性可得到明顯提升。

案例1 “分式的乘方”問題設(shè)計。

“分式的乘方”為人教版數(shù)學教材八（上）第15章第2節(jié)“分式的運算”第2課時的教學內(nèi)容。在傳統(tǒng)教學中，教師通常帶領(lǐng)學生先復習分式的乘除運算法則，然后從例4導入第2課時的學習;接下來，通過帶領(lǐng)學生思考如何探索分式的乘方，過渡到例5。這樣的教學過程不免出現(xiàn)了以訓練為主的現(xiàn)象，學生的思維沒有得到很好的拓展。實際上，如果我們將“分式的乘方”置于“數(shù)與式的運算”的知識體系中來思考，就會產(chǎn)生許多疑問：為什么本節(jié)課要學習這些內(nèi)容？如何研究“分式的乘方”？之前學習過類似的方法嗎？許多教師沒有思考過這些問題，只是根據(jù)教材按部就班地進行教學。而正是因為沒有進行思考，才使得我們在課堂上看不到學生的“真正學習”。學生不知道數(shù)學家是如何探究數(shù)學知識的，就不會產(chǎn)生思辨的興趣并進行積極探索。而當我們將“分式的乘方”置于“數(shù)與式的運算”的知識體系中思考時，以上疑問就會迎刃而解。學習有理數(shù)運算，我們會依次經(jīng)歷有理數(shù)的加減法、乘除法、乘方與開方，代數(shù)式的運算也是如此。以此類推，分式運算的學習也應(yīng)是從加減、乘除，再到乘方。探究“分式的乘方”，既可以從具體的例子歸納出一般性的結(jié)論，也可以進行類比分析。在學習過程中，學生完全可以運用已經(jīng)積累的經(jīng)驗，進行自主探究。

基于以上分析，筆者給出的“分式的乘方”的問題設(shè)計如下：

環(huán)節(jié)1：提出問題。

問題1：我們已經(jīng)學習了分式的乘除運算，接下來，大家認為該學習什么運算？

環(huán)節(jié)2：探究分式乘方的法則。

問題2：怎么研究分式的乘方運算？

追問1：分式的乘方是一個什么樣的形式？不妨寫一寫。

追問2：寫出探究分式乘方運算法則的過程，并說說你是如何想到的。

環(huán)節(jié)3：分式的乘除、乘方的運用。

問題3：至此，我們學習了分式的乘除法和分式的乘方。按照運算的級數(shù)劃分，它們有哪些情形？請舉例說明。

環(huán)節(jié)4：課堂小結(jié)。

問題4：通過本節(jié)課的學習，大家有哪些收獲？

以上問題設(shè)計，力求將“分式的乘方”置于分式運算，乃至“數(shù)式運用”的整體知識體系中，以便于學生進行知識點的自然勾連，從而實現(xiàn)思維的延展。在許多課堂上，教師總是抱怨學生不能積極思考和主動參與，造成課堂氣氛壓抑。其實，教師有沒有設(shè)計出精彩的問題，才是課堂氣氛活躍與否的關(guān)鍵。

二、前后一致，基于過程設(shè)計問題

章建躍老師認為：“教學中，要以數(shù)學地認識問題和解決問題為核心任務(wù)，以數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程和理解數(shù)學知識的心理過程為基本線索，為學生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學習過程，使他們在掌握數(shù)學知識的過程中學會思考?！币虼?，在進行問題設(shè)計時，我們也要注意堅持前后一致、邏輯連貫的理念。

案例2 “立方根”問題設(shè)計。

“立方根”為人教版數(shù)學教材七（下）第6章“實數(shù)”第2節(jié)的教學內(nèi)容。學生在第1節(jié)課學習了“平方根”，經(jīng)歷了提出問題、研究問題、獲得結(jié)論的全過程。如果教師在教學“立方根”時，不考慮讓學生進一步鞏同、提升前面掌握的學習方法，那就喪失了一次讓學生的思維生長的好機會。因此，要想讓學生在學習“立方根”時，體驗前后一致、一以貫之的學習過程，教師不妨思考以下問題：（1）研究“平方根”時，我們是如何提出問題的？研究“立方根”時，也可以這樣提問題嗎？（2）“平方根”的教學方式屬于哪種類型？“立方根”的教學方式可以和“平方根”的一樣嗎？（3）給“平方根”下定義后，“平方根”的符號表示是何時提出的？對于許多數(shù)學概念，我們下定義后就可以給出符號表示，而“平方根”卻不是這樣，為什么？“立方根”相應(yīng)的情況又是怎樣的？（4）我是如何讓學生掌握“平方根”的特征及性質(zhì)的？“立方根”的特征及性質(zhì)的教學，我是不是也可以這樣處理呢？解答了以上問題，其實就解答了“平方根”這一數(shù)學概念的發(fā)生、發(fā)展過程，以及學生理解“平方根”的心理過程。而教師在教學“立方根”時，也可以參照以上問題進行教學設(shè)計：

環(huán)節(jié)1：問題情境。

問題1：要制作一個容積為27m3的正方體形狀的包裝箱，包裝箱的棱長應(yīng)該是多少？

追問1：你打算怎樣解決這個實際問題？請簡要說出過程。

追問2：你是怎么想出來的？

追問3：有沒有其他解法？

環(huán)節(jié)2：探究活動。

問題2：請回顧學習平方根的過程，思考以下問題：（1）平方根的學習是基于一個什么現(xiàn)實問題而提出的？它又引出了哪一個數(shù)學問題？（2）平方根的學習包含哪些內(nèi)容？建議畫圖表示。（3）剛剛提出的問題，實際上就是研究當x3=a時，x是什么數(shù)。你打算如何展開研究？

請結(jié)合下圖，畫出研究路線圖。

問題3：（1）什么叫作a的立方根？用式子如何描述a的立方根？（2）什么叫開立方？它與立方有何關(guān)系？請舉例說明。

追問1：定義a的立方根的合理性。

追問2：a的立方根為什么不像a的平方根（當a為正數(shù)時）一樣，在根號前面加上±號（表示為±3√a）呢？

問題4：你能求出下列各數(shù)的立方根嗎？8，27，0.125，0.08，0，-1，-125，-8，-8/27。

追問1：你發(fā)現(xiàn)了什么？

追問2：你能說出數(shù)的平方根與數(shù)的立方根有什么不同嗎？

問題5：

追問1：你發(fā)現(xiàn)了什么？能用一個式子來表示其中的規(guī)律嗎？

問題6：請你結(jié)合立方根的學習路線圖，回顧整個探索過程及每一個探索環(huán)節(jié)，說出成功與不足之處。

問題7：說出探索平方根與立方根的過程中的異同點。

以上問題引領(lǐng)學生經(jīng)歷概念學習的基本過程：舉例子（給情境）一建規(guī)則一下定義一再運用。實際教學效果反映，體現(xiàn)前后一致、一以貫之的學習過程的問題設(shè)計，可以提升學生的思維探究能力及學科核心素養(yǎng)。

三、尋求聯(lián)系，基于類比設(shè)計問題

數(shù)學課程的總?cè)諛耸亲寣W生能“體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。因此，在進行問題導學時，我們也要注意尋求知識點之問的聯(lián)系，基于類比思維來設(shè)計問題。

案例3“一元一次不等式組”問題設(shè)計。

“一元一次不等式組”為蘇科版數(shù)學教材七（下）第11章“一元一次不等式”第6節(jié)的教學內(nèi)容。“方程組”與“不等式組”是不同的知識，但是上升到“數(shù)量關(guān)系”層面后，它們會有許多相似之處。比如，“一元一次方程”和“一元一次不等式”的定義、解，“二元一次方程組”和“二元一次不等式組”的解，都有類似之處。因此，本節(jié)課就可以通過尋求“方程（絹）”與“不等式（組）”之問的聯(lián)系來設(shè)計問題，引導學生運用聯(lián)想、類比、對比等數(shù)學思維方式，自主建構(gòu)新知。具體設(shè)計如下：

環(huán)節(jié)1：問題導學。

問題1：一個長方形的周長為16cm，長比寬多2cm。設(shè)長、寬分別為xcm、ycm，試列出二元一次方程組表示這個長方形的長與寬之間的數(shù)量關(guān)系。

追問1：基于以上信息，你將提出哪些問題，又將如何解決？

追問2：你建立方程或方程組的根據(jù)是什么？

問題2：二元一次方程x-y=2的解有多少個？二元一次方程2x+2y=16的解有多少個？二元一次方程組x-y=2，2x+2y=16的解有多少個？是如何確定的？

環(huán)節(jié)2：探索活動。

活動1：構(gòu)建一元一次不等式組的概念。

問題：小麗早晨7時30分騎自行車上學，要在7時50分至7時55分之間到達離家3400m的學校。小麗騎自行車的速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

追問1：問題中包含的數(shù)量關(guān)系是什么？

追問2：如果設(shè)小麗騎自行車的速度為xm/min，那么，如何表示以上數(shù)量關(guān)系呢？

追問3：問題中的未知數(shù)x應(yīng)該滿足什么條件？

活動2：解不等式組。

問題：類比二元一次方程組的求解過程，請你思考，如何確定使一元一次不等式組20x≤3400，25x≥3400中兩個一次不等式都成立的未知數(shù)x的值。

問題1是“從問題到方程（組）”的問題設(shè)計，問題2是“確定二元一次方程組的解”的問題設(shè)計。案例3告訴我們，學習不等式，可以尋求它與方程的聯(lián)系。以此類推，學習任何知識點，教師都可以引導學生尋求相應(yīng)的聯(lián)系，從而培養(yǎng)前后貫通、舉一反三的思維方式。

總之，“基于初中生思維力生長的問題導學式課堂”的核心是問題。在教師精心設(shè)計的問題的引導下，在解決問題的過程中，學生獲得了知識與技能，發(fā)展了數(shù)學思維能力，提高了學科核心素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)教學研究室）