“3的倍數(shù)特征”新解法探析

陳正慧

【摘要】“3的倍數(shù)特征”是“因數(shù)和倍數(shù)”里研究的有關(guān)倍數(shù)的內(nèi)容.在小學數(shù)學的學習中，對學生來說熟練應(yīng)用3的倍數(shù)的特征，判斷一個數(shù)是否是3的倍數(shù)，是應(yīng)該掌握的內(nèi)容，在實際數(shù)學學習中會遇到的一些有趣的性質(zhì)結(jié)論，得到了一個更好的方法——3的倍數(shù)構(gòu)造法.即結(jié)合3的倍數(shù)特征和結(jié)論1：如果幾個數(shù)都是一個數(shù)的倍數(shù)，那么它們的和和差的混合運算也是這個數(shù)的倍數(shù).去判斷一個數(shù)是否是3的倍數(shù)，這個結(jié)果對發(fā)散學生的思維，培養(yǎng)學生的學習興趣，追求數(shù)學的最優(yōu)解法，以及一題多解方面有好處.

【關(guān)鍵詞】3的倍數(shù)特征;性質(zhì);應(yīng)用

小學數(shù)學人教版五年級下冊第二單元第四課時教學內(nèi)容是3的倍數(shù)特征，本人在后續(xù)的教學以及作業(yè)中發(fā)現(xiàn)有個很有趣的性質(zhì)，而這個性質(zhì)也為我們判斷3的倍數(shù)提供了新的一種方法.這種方法的拓展在提升學生的思維發(fā)散，培養(yǎng)學生的學習興趣，追求數(shù)學的最優(yōu)解法，以及一題多解方面有好處.

一、“3的倍數(shù)特征”的概念和一些思考

首先簡單闡述3的倍數(shù)特征的概念：一個數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù).這是小學數(shù)學人教版五年級下冊第二單元第19頁對3的倍數(shù)特征的描述.在3的倍數(shù)特征的教學中學生通過教師的引導，在經(jīng)歷觀察—猜想—推翻猜想—再觀察—再猜想—驗證的過程中，概括出3的倍數(shù)特征.當然這只是一種不完全的歸納.

網(wǎng)絡(luò)上的一些資料，有關(guān)3的倍數(shù)特征的判斷基本是基于概念的判斷，并沒有其他更好的方法，甚至對3的倍數(shù)特征的證明也很難查閱到，當然對小學階段，我們只要會應(yīng)用這個概念判斷一個數(shù)是否是3的倍數(shù).其實這種判斷已經(jīng)是步驟簡單的過程，但在后續(xù)的解題思考的過程應(yīng)用一些性質(zhì)結(jié)論會更加簡潔明了.

二、關(guān)于倍數(shù)的幾點性質(zhì)和3的倍數(shù)的拓展

在小學數(shù)學人教版教材五年級下冊第二單元第16頁，有這么一個題目：（1）14是7的倍數(shù)，21是7的倍數(shù).14和21的和是7的倍數(shù)嗎？（2）18是9的倍數(shù)，27也是9的倍數(shù).18和27的和是9的倍數(shù)嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？下面是對上題的分析解答過程：

分析：此題也運用了乘法分配率，結(jié)果8×4，有因數(shù)8，所以8×4是8的倍數(shù).

此題所得到的結(jié)論2是：如果2個數(shù)都是一個數(shù)的倍數(shù)，那么它們的差也是這個數(shù)的倍數(shù).

備注：當然這個結(jié)論還可以推廣為3個數(shù)的差，甚至更多的數(shù)（證明略）.（前提是第一個數(shù)最大）

結(jié)論推廣：如果幾個數(shù)都是一個數(shù)的倍數(shù)，那么它們的和和差的混合運算也是這個數(shù)的倍數(shù).這是由以上2個的問題所得到的結(jié)論.

由3的倍數(shù)特征和以上2的問題所得到的結(jié)論1和結(jié)論2，我們可以得到新的結(jié)論和一個新的判斷法.

結(jié)論3：如果一個數(shù)各個數(shù)位上的每個數(shù)都是3的倍數(shù)（3，6，9），那么它們的和就是3的倍數(shù)，也就是這個數(shù)是3的倍數(shù).

3的倍數(shù)構(gòu)造法：如果一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)有部分是3的倍數(shù)，而還有一部分不是3的倍數(shù)，我們可以先應(yīng)用結(jié)論3排除一些數(shù)，剩下的通過構(gòu)造出3的倍數(shù)（加法的交換律和結(jié)合律），再次應(yīng)用結(jié)論3，直到剩下1個數(shù)或者是2個數(shù)的和是3的倍數(shù)那么這個數(shù)就是3的倍數(shù).以下通過題目來敘述.

例1 判斷9 696 396 669 393是不是3的倍數(shù)？

分析 此題通按3的倍數(shù)特征的方法去解題.

首先通過把各個數(shù)位的數(shù)相加：9+6+9+6+3+9+6+6+6+9+3+9+3=84，因為84能被3整除，所以9 696 396 669 393是3的倍數(shù).

但是我們學習了3的倍數(shù)特征后，就知道基本的3，6，9就是3的倍數(shù).而此題只有3，6，9這3個數(shù)字組成，我們應(yīng)用結(jié)論3，可以通過直接的觀察就知道它是否是3的倍數(shù).顯然9 696 396 669 393是3的倍數(shù)，當然這只是一種理想的題目，更多的題目不是這種特殊的情況.例題2就闡述了這種情況的處理.

例2 判斷8 756 293 412 984是不是3的倍數(shù)？

分析1 對這么大的數(shù)，如果我們按3的倍數(shù)特征的方法去解題.

首先通過把各個數(shù)位的數(shù)相加：8+7+5+6+2+9+3+4+1+2+9+8+4=68，因為68不能被3整除，所以8 756 293 412 984不是3的倍數(shù).

當然教材基本不會出現(xiàn)這么大的數(shù)，這么大的數(shù)在計算過程中也會容易出錯，但是我們通過結(jié)論1，就可以發(fā)現(xiàn)8+7+5+6+2+9+3+4+1+2+9+8+4這個形式就是所有數(shù)的和，那么也應(yīng)該符合結(jié)論1，我們知道在0—9的自然數(shù)中，其中3，6，9就是3的倍數(shù)，符合結(jié)論3，所以我們可以通過以下幾個步驟完成判斷：8，7，5，6，2，9，3，4，1，2，9，8，4里面有6，9，3，9（下劃線標注），而且這四個數(shù)就是3的倍數(shù)，所以剩下8+7+5+2+4+1+2+8+4而這幾個數(shù)經(jīng)過加法的交換律和結(jié)合律就可以構(gòu)造出3的倍數(shù)，即（8+7）+（5+1）+（2+4）+（2+4）+8，再通過結(jié)論1和結(jié)論3，最后就是剩下數(shù)字8，而數(shù)字8不是3的倍數(shù)，所以8 756 293 412 984不是3的倍數(shù).這在實際的判斷中我們可以用下劃線和一個個進行排除，直到剩下1個或者是2個數(shù)的和.這就是3的倍數(shù)構(gòu)造法的應(yīng)用.

當然對8+7+5+6+2+9+3+4+1+2+9+8+4=68，如果計算能力差點學生也可以再次應(yīng)用3的倍數(shù)特征和結(jié)論1，把結(jié)果的68再進行相加，即6+8=14再判斷是不是3的倍數(shù)，或者還可以把所得的結(jié)果14寫成1+4=5，而5不是3的倍數(shù)，所以8 756 293 412 984不是3的倍數(shù).

以上3的倍數(shù)特征，結(jié)論3以及3的倍數(shù)構(gòu)造法的應(yīng)用，就可以很好地解決3的倍數(shù)這類問題，特別是對較大的數(shù)的判斷.

三、3的倍數(shù)特征在解題中的應(yīng)用比較

例3 在下面每個數(shù)的□里填上一個數(shù)字，使這個數(shù)能被3整除.

5□3□4□36? 234□

分析1 對第一個問題，我們可以通過3的倍數(shù)特征解決.

十位是5，與3的倍數(shù)最接近的是6，9，12這三個.所以，可以填1，4，7.

分析2 第二個問題按3的倍數(shù)特征做.

我們首先是把百位和各位相加，即3+4=7，再根據(jù)3的倍數(shù)特征知道，可以填2，5，8.

如果我們應(yīng)用結(jié)論1和結(jié)論3，因為百位的3已經(jīng)是3的倍數(shù)，我們可以忽略3，直接看□4，從而把此題簡化成第一題的形式.

同理對□36，很明顯十位的3和各位的6已經(jīng)是3的倍數(shù)，我們應(yīng)用結(jié)論3，所以此題就變?yōu)橹惶睢趵锏臄?shù)，是3的倍數(shù)也就是填3，6，9.

第四小題稍微復(fù)雜一點，234□通過結(jié)論1和3的應(yīng)用，我們知道百位的3可以忽略，再應(yīng)用3的倍數(shù)構(gòu)造法和結(jié)論3，千位的2和十位的4相加是6.也是3的倍數(shù)，于是此題可以簡化為只填□里，答案也就是3，6，9.

這些結(jié)論和方法的聯(lián)合的應(yīng)用，在教學中學生基本理解它的原理，也比較容易接受，應(yīng)用起來也非常簡便，可以作為學生課外的補充，對培養(yǎng)學生的學習興趣以及一題多解，追求最優(yōu)解法有很多的好處.

【參考文獻】

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[2]萬志勇.黃岡小狀元[M].北京：龍門書局，2011：7.