例說機(jī)械振動與機(jī)械波問題的解法

■江蘇省沐陽高級中學(xué)

機(jī)械振動和機(jī)械波是高考選考模板《選修3—4》中的一個?？贾R點，可能設(shè)置以對機(jī)械振動和機(jī)械波相關(guān)知識定性分析為主的選擇題，也可能設(shè)置以對振動圖像和波的圖像定量計算為主的解答題。下面結(jié)合實例歸納求解機(jī)械振動與機(jī)械波問題的方法和技巧，幫助同學(xué)們厘清思路，提高復(fù)習(xí)效率。

一、根據(jù)簡諧運動的特征求解

從運動學(xué)角度看，簡諧運動的特征有往復(fù)性、周期性和對稱性；從動力學(xué)角度看，簡諧運動的特征表現(xiàn)在做簡諧運動的質(zhì)點所受回復(fù)力F的方向總與質(zhì)點偏離平衡位置的位移x的方向相反（總是指向平衡位置），其大小總與質(zhì)點偏離平衡位置的位移x的大小成正比（F=-kx）。利用簡諧運動的特征可以分析物體的運動過程和受力情況。

例1如圖1所示，一小球從豎直固定在地面上的輕彈簧的正上方某處自由下落，接觸彈簧后將彈簧壓縮，在小球壓縮彈簧的全過程中，彈簧始終處在彈性限度內(nèi)。當(dāng)彈簧的壓縮量最大時，下列說法中正確的是（ ）。

A.小球所受合外力最大，但不一定大于重力

B.小球的加速度最大，且一定大于重力加速度

C.小球的加速度最大，有可能小于重力加速度

D.小球所受彈簧彈力最大，但不一定大于重力

解析：選取小球壓縮彈簧過程中的四個特殊位置，如圖2 所示。設(shè)小球剛接觸彈簧時的速度為v，方向向下，此時小球的加速度大小a=g，方向向下。設(shè)小球向下運動將彈簧壓縮距離x到達(dá)平衡位置時（小球所受向上的彈簧彈力與向下的重力大小相等）有最大速度vmax，此時小球的加速度a=0。根據(jù)簡諧運動的對稱性可知，小球從平衡位置繼續(xù)向下運動距離x時的速度大小仍為v，方向向下，此時小球的加速度大小a=g，方向向上。小球繼續(xù)向下做減速運動到達(dá)最低點時的速度為0，此時小球向上的加速度應(yīng)大于重力加速度g的值，小球所受合外力大于重力。

答案：B

二、利用振動圖像所含信息求解

當(dāng)質(zhì)點做簡諧運動時，其振動圖像是形如圖3所示的正弦曲線。簡諧運動的振動圖像反映的是某振動質(zhì)點在各個時刻相對于平衡位置的位移的變化情況。由定量畫出的簡諧運動的振動圖像可以得到振幅A，周期T，某時刻質(zhì)點相對于平衡位置的位移x，某時刻質(zhì)點的振動方向、速度、加速度、回復(fù)力，以及振動的能量形式等物理量。

例2如圖4（a）（b）所示分別是甲、乙兩個單擺在同一位置處做簡諧運動的圖像，則下列說法中正確的是（ ）。

A.甲、乙兩單擺的擺長之比為1∶2

B.t=2s時刻，甲擺球的重力勢能最小，乙單擺的動能最小

C.t=8s時刻，兩擺球的速度方向相同

D.甲、乙兩擺球在最低點時，向心加速度大小可能相等

解析：由甲、乙兩個單擺的振動圖像可知，甲、乙兩單擺的周期之比T甲∶T乙=1∶2，由單擺的周期公式T=2π可知，甲、乙兩單擺的擺長之比l甲∶l乙=∶=1∶4，選項A 錯誤。t=2s時刻，甲擺球在平衡位置處，其重力勢能最小，乙擺球在最大位移處，其動能最小，選項B 正確。t=8s時刻，甲擺球從平衡位置向負(fù)方向最大位移處運動，乙擺球從平衡位置向正方向最大位移處運動，它們的速度方向相反，選項C 錯誤。設(shè)擺球擺動的最大偏角為θ，由mgl（1-cosθ）=mv2和a=可知，擺球在最低點時的向心加速度a=2g（1-cosθ），因兩擺球的最大偏角θ滿足sinθ=，故θ甲＞θ乙，即a甲＞a乙，選項D 錯誤。

答案：B

三、利用波的圖像所含信息求解

當(dāng)存在做機(jī)械振動的物體作為波源并有能夠傳播機(jī)械振動的介質(zhì)時，波源的振動將會引起相鄰質(zhì)點的振動，從而在介質(zhì)中形成機(jī)械波，波的圖像是形如圖5 所示的正弦曲線。波的圖像反映的是一系列質(zhì)點在某一時刻相對于其平衡位置的位移隨質(zhì)點的平衡位置變化的關(guān)系。由定量畫出的波的圖像可以確定波長λ、振幅A、波峰和波谷的位置、各個質(zhì)點的位置和速度的方向（結(jié)合傳播方向）。

例3圖6中的實線是一列簡諧波在某一時刻的波形圖，虛線是0.2s后它的波形圖，求這列波可能的傳播速度。

四、根據(jù)振動圖像和波的圖像的異同點求解

振動是做機(jī)械振動的一個質(zhì)點隨時間的推移而呈現(xiàn)的現(xiàn)象，波是在波源帶動下做機(jī)械振動的全部質(zhì)點共同呈現(xiàn)的現(xiàn)象。求解振動圖像和波的圖像綜合問題需要明確二者的異同點。

1.相同點：二者都是按正弦或余弦規(guī)律變化的曲線；二者縱坐標(biāo)均表示質(zhì)點相對于平衡位置的位移，位移的最大值均表示質(zhì)點的振幅。

2.不同點：振動圖像的橫坐標(biāo)表示時間，箭頭方向表示時間向后推移；波的圖像的橫坐標(biāo)表示質(zhì)點距離振源的位移，箭頭的方向可以表示波的傳播方向（振動在介質(zhì)中的傳播方向），也可以表示波的傳播方向的反方向。振動圖像隨時間的延續(xù)將向著橫坐標(biāo)箭頭所指方向延伸，原圖像形狀不變；波的圖像隨時間的延續(xù)，原圖像的形狀將沿橫坐標(biāo)向左或向右整體平移。

例4如圖7（a）所示為一列簡諧橫波在t=0.1s時刻的波形圖，P是平衡位置在x=1m 處的質(zhì)點，Q是平衡位置在x=4 m處的質(zhì)點。如圖7（b）所示為質(zhì)點Q的振動圖像。下列說法中正確的是_____。

A.t=0.1s時刻，質(zhì)點P向y軸正方向運動

B.t=0.1s時刻，質(zhì)點P向y軸負(fù)方向運動

C.t=0.25s時刻，質(zhì)點Q的加速度方向與y軸正方向相反

D.在0.1s～0.25s時間內(nèi)，該波沿x軸負(fù)方向傳播了12m

E.在0.1s～0.25s時間內(nèi)，質(zhì)點Q通過的路程為30cm

解析：由質(zhì)點Q的振動圖像可知，t=0.1s時刻，質(zhì)點Q的速度方向與y軸負(fù)方向相同，結(jié)合波形圖可知，質(zhì)點Q跟著右側(cè)相鄰質(zhì)點振動，故波源在右側(cè)，波是從右向左傳播的，質(zhì)點P向y軸正方向運動，選項A正確，B 錯誤。由質(zhì)點Q的振動圖像可知，t=0.25s時刻，質(zhì)點Q位于正向最大位移處，故其加速度方向與y軸正方向相反，選項C正確。由波形圖可知，波長λ=8 m，由質(zhì)點Q的振動圖像可知，周期T=0.2s，解得波速v==40 m/s，因此在0.1s～0.25s時間內(nèi)，該波沿x軸負(fù)方向傳播的距離Δx=vΔt=6m，選項D 錯誤。由質(zhì)點Q的振動圖像可知，振幅A=10cm，在0.1s～0.25s時間內(nèi)經(jīng)過了T，因此質(zhì)點Q通過的路程s=3A=30cm，選項E 正確。

答案：ACE

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖8所示，光滑弧形槽的半徑為R（R遠(yuǎn)大于弧長MN），A為弧形槽的最低點。小球B放在A點正上方離A點高度為h處，小球C放在M點。同時釋放兩小球，要使兩小球正好在A點相碰，求小球B釋放時的高度h。

2.如圖9（a）所示為一列簡諧波在沿x軸方向傳播時的波形圖，P、Q是位于平衡位置的兩質(zhì)點。若以圖示情況為計時起點，則如圖9（b）所示的振動圖像表示的應(yīng)是（ ）。

A.當(dāng)這列波沿x軸正方向傳播時，表示質(zhì)點P的振動

B.當(dāng)這列波沿x軸負(fù)方向傳播時，表示質(zhì)點P的振動

C.當(dāng)這列波沿x軸正方向傳播時，表示質(zhì)點Q的振動

D.當(dāng)這列波沿x軸負(fù)方向傳播時，表示質(zhì)點Q的振動

3.一列簡諧波上兩質(zhì)點P、Q的振動圖像分別如圖10（a）（b）所示，兩質(zhì)點P、Q相距30m。

（1）若質(zhì)點P距振源較近，求波速。

（2）若質(zhì)點Q距振源較近，求波速。

參考答案：

1.h=（n=0，1，2，…）。

2.AD

3.（1）v=m/s（n=0，1，2，…）；（2）v=m/s（n=0，1，2，…）。