芻議氣體狀態(tài)變化問題的求解策略

■河南省平頂山市第一中學(xué)

高考選考模塊《選修3—3》中的計算題往往會考查利用氣體實驗定律或理想氣體狀態(tài)方程求解氣體的狀態(tài)參量這一知識點。這類試題可以細分為三大類型，即“一團氣”的多狀態(tài)變化過程問題、“兩團氣或兩團以上氣”無氣體交換的狀態(tài)變化過程問題，以及

“兩團氣或兩團以上氣”有氣體交換的狀態(tài)變化過程問題。下面通過實例剖析探究求解這三大類型的解題思路，希望對同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考有所幫助。

一、求解“一團氣”的多狀態(tài)變化過程問題的策略

求解“一團氣”的多狀態(tài)變化過程問題時，若不涉及動力學(xué)問題，則可以直接運用氣體實驗定律或理想氣體狀態(tài)方程列式求解；若涉及動力學(xué)問題，則需要先找到氣體狀態(tài)變化過程中可能出現(xiàn)的“臨界點”，將“臨界點”前后劃分為不同的“子過程”，再選擇不同的“子過程”作為研究對象，根據(jù)力學(xué)平衡條件或牛頓第二定律、氣體實驗定律或理想氣體狀態(tài)方程列式求解。

例1帶有活塞的汽缸內(nèi)封閉一定量的理想氣體，氣體最初處于狀態(tài)A，先經(jīng)過程A→B到達狀態(tài)B，后經(jīng)過程B→C到達狀態(tài)C，如圖1所示。已知氣體在狀態(tài)A時的壓強、體積和溫度分別為pA、VA和TA，在狀態(tài)B時的體積為VB，在狀態(tài)C時的溫度為TC。求：

（1）氣體在狀態(tài)B時的溫度TB。

（2）氣體在狀態(tài)A時的壓強與在狀態(tài)C時的壓強之比。

解析：（1）由氣體的V-T圖像可知，過程A→B為等壓變化過程，由蓋-呂薩克定律得，解得TB=。

（2）由氣體的V-T圖像可知，過程B→C為等容變化過程，由查理定律得；過程A→B為等壓變化過程，壓強相等，即pA=pB。聯(lián)立以上各式解得。

點評：根據(jù)氣體的V-T圖像先判斷出過程A→B為等壓變化過程，過程B→C為等容變化過程，再根據(jù)蓋-呂薩克定律可求出氣體在狀態(tài)B時的溫度然，然后根據(jù)查理定律即可求出氣體在狀態(tài)A時的壓強與在狀態(tài)C時的壓強之比。

例2一定質(zhì)量的理想氣體被活塞封閉在豎直放置的圓柱形汽缸內(nèi)，汽缸壁導(dǎo)熱良好，活塞可沿汽缸壁無摩擦地滑動。開始時氣體壓強為p，活塞下表面距汽缸底部的高度為h，外界的溫度為T0?，F(xiàn)取質(zhì)量為m的沙子緩慢地倒在活塞的上表面，沙子倒完時，活塞下降了。已知外界大氣壓強始終保持不變，重力加速度大小為g。若此后外界的溫度變?yōu)門，求重新達到平衡后汽缸內(nèi)氣體的體積。

解析：設(shè)汽缸的橫截面積為S，質(zhì)量為m的沙子全部倒在活塞上表面后，對氣體產(chǎn)生的壓強。氣體做等溫變化，由玻意耳定律得phS=（p+Δp）S，解得。在外界的溫度變?yōu)門，重新達到平衡的過程中，氣體做等壓變化，設(shè)最終活塞下表面距汽缸底部的高度為h′，由蓋-呂薩克定律得，解得h′=。因此最終氣體的體積V=Sh′=

點評：質(zhì)量為m的沙子全部倒在活塞上表面達到平衡的時刻是氣體狀態(tài)變化的“臨界點”，分別對“臨界點”前后的兩個“子過程”運用力學(xué)規(guī)律和氣體實驗定律列式，即可求得氣體在各狀態(tài)時的參量。

二、求解“兩團氣或兩團以上氣”無氣體交換的狀態(tài)變化過程問題的策略

求解“兩團氣或兩團以上氣”無氣體交換的狀態(tài)變化過程問題時，因為各部分氣體的質(zhì)量不發(fā)生變化，不同部分氣體間往往以壓強為橋梁建立起聯(lián)系，所以先對不同部分氣體獨立進行狀態(tài)分析，確定每團氣體的變化性質(zhì)，應(yīng)用相應(yīng)的氣體實驗定律或理想氣體狀態(tài)方程列式，再充分應(yīng)用各團氣體之間的壓強、體積、溫度等參量的有效關(guān)聯(lián)，即可求得各團氣體在各狀態(tài)時的參量。

例3如圖2所示，U 形管左右兩管粗細不等，左側(cè)A管開口向上，封閉的右側(cè)B管橫截面積是A管的3 倍。管中裝入水銀，已知大氣壓強p0=76cmHg，環(huán)境溫度t0=27 ℃；A管內(nèi)水銀面到管口的距離h1=24cm；且比B管內(nèi)水銀面高Δh=4cm；B管內(nèi)封閉的空氣柱長度h2=12cm。欲使兩管內(nèi)水銀面相平，現(xiàn)用小活塞把A管開口端封住，并給A管內(nèi)氣體加熱，B管內(nèi)氣體溫度保持不變。試求當(dāng)兩管內(nèi)水銀面相平時，A管內(nèi)氣體的溫度。

解析：設(shè)A管的橫截面積為S，則B管的橫截面積為3S。設(shè)從初狀態(tài)到末狀態(tài)A管內(nèi)水銀面下降Δh1，B管內(nèi)水銀面上升Δh2，則Δh1+Δh2=Δh，Δh1S=3Δh2S，解得Δh1=3cm，Δh2=1cm。以B管內(nèi)封閉氣體為研究對象，氣體做等溫變化，初狀態(tài)時有p1=p0+ρgΔh=80cmHg，V1=3Sh2，末狀態(tài)時有V2=3S（h2-Δh2），由玻意耳定律得p1V1=p2V2，解得p2=87.3cmHg。以A管內(nèi)封閉的氣體為研究對象，初狀態(tài)時有p3=p0=76cmHg，V3=Sh1，T0=（273+27）K，末狀態(tài)時有p4=p2=87.3cmHg，V4=S（h1+Δh1），由理想氣體狀態(tài)方程得，解得T2=387.7K。

點評：左側(cè)A管內(nèi)和右側(cè)B管內(nèi)氣體被水銀柱分成兩團獨立的氣體，分別以左側(cè)A管內(nèi)和右側(cè)B管內(nèi)氣體為研究對象，找出初、末狀態(tài)參量，應(yīng)用相應(yīng)的氣體實驗定律或理想氣體狀態(tài)方程列式，并利用當(dāng)兩管內(nèi)水銀面相平時兩團氣體的壓強相等這一條件，即可求得最終A管內(nèi)氣體的溫度。

三、求解“兩團氣或兩團以上氣”有氣體交換的狀態(tài)變化過程問題的策略

求解“兩團氣或兩團以上氣”有氣體交換的狀態(tài)變化過程問題時，不同部分氣體間存在氣體交換，對每一部分氣體而言都屬于變質(zhì)量問題，但是以不同部分氣體組成的整體的總質(zhì)量是不變的，因此我們可以展開想象，先虛擬一個中間過程，把變質(zhì)量問題轉(zhuǎn)化成定質(zhì)量問題，再利用氣體實驗定律或理想氣體狀態(tài)方程列式，即可順利解答。常見的“兩團氣或兩團以上氣”有氣體交換的狀態(tài)變化過程問題包括抽氣問題、打氣問題和氣體分裝問題等。

例4用容積為ΔV的活塞式抽氣機抽取容積為V0的容器中的氣體，設(shè)容器中原來氣體的壓強為p0，抽氣過程中氣體溫度保持不變。求抽氣機的活塞抽動n次后，容器中剩余氣體的壓強pn。

解析：如圖3 所示是活塞式抽氣機的示意圖，當(dāng)活塞上提抽第一次氣時，設(shè)容器中剩余氣體的壓強為p1，由玻意耳定律得p1（V0+ΔV）=p0V0，解得p1=。當(dāng)活塞下壓時，閥門a關(guān)閉，b打開，抽氣機中ΔV體積的氣體排出。當(dāng)活塞第二次上提抽第二次氣時，設(shè)容器中剩余氣體的壓強降為p2，由玻意耳定律得p2（V0+ΔV）=p1V0，解 得。當(dāng)活塞第三次上提抽第三次氣時，設(shè)容器中剩余氣體的壓強降為p3，由玻意耳定律得p3（V0+ΔV）=p2V0，解得。因此抽氣機的活塞抽動n次后，容器中剩余氣體的壓強

點評：抽氣問題中每抽一次，容器內(nèi)的氣體質(zhì)量和壓強都會變化，因此分析每次的抽氣過程時，需要把即將抽出的氣體和容器中剩余的氣體一起作為研究對象，把變質(zhì)量問題轉(zhuǎn)化為定質(zhì)量問題，列式求解，并采用數(shù)學(xué)歸納法尋找所求結(jié)果遵循的數(shù)學(xué)規(guī)律，獲得最終結(jié)果。打氣是抽氣的逆過程，氣體分裝與抽氣過程類似，求解時都需要通過虛擬中間過程把變質(zhì)量問題轉(zhuǎn)化成定質(zhì)量問題。

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖4甲所示，U 形汽缸固定在水平地面上，用重力不計，橫截面積S=10cm2的活塞封閉著一定質(zhì)量的氣體。汽缸不漏氣，活塞移動過程中無摩擦。初始時，外界大氣壓強p0=1.0×105pa，活塞緊壓小擋板?，F(xiàn)緩慢升高汽缸內(nèi)氣體的溫度：

（1）請在圖4 乙中作出能反映汽缸內(nèi)氣體的壓強p隨熱力學(xué)溫度T變化的圖像。

（2）當(dāng)汽缸內(nèi)氣體溫度緩慢升高到t1=27 ℃時，活塞與小擋板間恰好無作用力。現(xiàn)在活塞上加一質(zhì)量m=5kg的砝碼，要使加砝碼后活塞與小擋板間恰好無作用力，則汽缸內(nèi)氣體的溫度至少要升高到多少攝氏度？（取g=10m/s2）

2.如圖5所示，汽缸A和B的橫截面積分別為100cm2和50cm2，兩汽缸中空氣柱的長度均為10cm 時活塞靜止。若此時氣體溫度均為27 ℃，氣體的壓強和外界大氣壓強相等，均為1.0×105Pa。當(dāng)對汽缸A中氣體加熱，而汽缸B中氣體的溫度不變時，活塞向右移動6cm 而靜止，求：

（1）汽缸B中氣體的壓強。

（2）汽缸A中氣體的壓強和溫度。

3.如圖6所示，容器A與B由毛細管C連接，兩容器的體積大小關(guān)系為VB=3VA，毛細管不傳熱，且體積不計。開始時，容器A、B內(nèi)都充有溫度為T0、壓強為p0的空氣?，F(xiàn)使容器A中氣體的溫度保持不變，對容器B中氣體加熱，使容器B內(nèi)氣體的壓強變?yōu)?p0，求容器B中氣體的溫度。

參考答案：

1.（1）如圖7所示；（2）t=177 ℃。

2.（1）pB′=2.5×105Pa；（2）pA′=1.75×105Pa，TA′=840K。

3.TB=3T0。