“五例”教學(xué)法引領(lǐng)幾何核心概念深度理解

吳火桂

摘要：在幾何核心概念的教學(xué)中，教師可嘗試運用易良斌老師提出的“五例”教學(xué)法，即范例、正例、特例、反例、錯例，以促進學(xué)生對幾何問題的深度理解。

關(guān)鍵詞：幾何核心概念;“五例”教學(xué)法;深度理解

初中學(xué)生開始幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)后，總體成績出現(xiàn)下滑的現(xiàn)象，從一定程度上反映出學(xué)生對幾何知識的不適應(yīng)。出現(xiàn)這種情況的根本原因是學(xué)生無法深入理解幾何領(lǐng)域的核心概念。此外，教師對幾何核心概念的教學(xué)過于技術(shù)化，體現(xiàn)幾何核心內(nèi)容特質(zhì)的教學(xué)技術(shù)有待加強。

基于上述分析，筆者認為需要提出一種適應(yīng)幾何教學(xué)方式的概念教學(xué)，以促進學(xué)生對幾何核心概念的理解，而舉例便是一種讓學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)抽象內(nèi)容的手段。基于此，我們運用易良斌老師提出的“五例”教學(xué)法，即范例、正例、特例、反例、錯例，以促進學(xué)生對幾何問題的深度理解。

一、對“五例”教學(xué)法的基本認識

對“五例”的具體說明如下：范例，是指提供給學(xué)生學(xué)習(xí)用的樣本例子、示范例子;正例是從正面說明命題、定義成立的例子;反例是從反面說明命題、定義不成立的例子;特例是位于特殊位置、特殊點、特定背景下的例子;錯例是指學(xué)生經(jīng)常犯錯的例子，充分利用錯例資源，激發(fā)學(xué)生積極參與。

要做好“五例”的教學(xué)，教師須站在理解數(shù)學(xué)的高度上，不但要對數(shù)學(xué)整個的知識體系有充分的理解，還要對數(shù)學(xué)傳遞給學(xué)生的文化有充分的理解，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的方面的作用。教師要以學(xué)生為主體，了解每個學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，因材施教，差異教學(xué)，讓每一位學(xué)生都有所成長。教師不但要對教材的內(nèi)容有充分的理解，還要能根據(jù)學(xué)生的實際情況對教材做一定的拓展，創(chuàng)造性地使用教材。

二、對“五例”教學(xué)法的價值分析

（一）正例，提升核心概念理解的嚴謹性

正例又稱肯定例證，指包含著概念或規(guī)則的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系的例證，本文指從正面論證論點的例子。正例是一種讓學(xué)生更快更好地理解和掌握抽象數(shù)學(xué)內(nèi)容的手段。教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)需要，選擇和運用有效的、合適的例子來說明教學(xué)內(nèi)容，以促進學(xué)生理解知識。

正例例證是非常有必要的。在數(shù)學(xué)中，有些公理、定理是不需要或者不必要進行直接證明的，但是有些定理只有進行了證明才能夠讓學(xué)生掌握。教材中也有很多定理的證明要求學(xué)生來完成，而學(xué)生的證明能力又非常有限，這個時候需要教師利用正例進行例證。

（二）反例，提升核心概念理解的辨識性

反例，又稱否定例證。從反例的角度去分析，有利于發(fā)展學(xué)生思維的全面性和思維的深刻性，同時使其對整個概念的認識更清晰，能夠快速地識別、辨別概念。數(shù)學(xué)中的一些命題，很難直接說明它的正確性，此時可舉反例去論證。反例能增加學(xué)生思維理解的深度。

（三）錯例，提升核心概念理解的深刻性

錯例是一種重要的課堂生成性資源。錯例能讓學(xué)生的理解水平提高到更高層次，使其能夠?qū)Ω拍钣懈鼮榍逦恼J識。錯例可以是來自學(xué)生生成的，也可以是教師在教學(xué)設(shè)計時“有意而為之”的。教師要充分利用好錯例，讓學(xué)生從另一個角度加深對知識的理解。

（四）特例，提升核心概念理解的廣闊性

特例在幾何教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。學(xué)生如果能夠把特例弄清楚，就具有了把一些可研究的問題變?yōu)橐话慊膯栴}，或者把一般化的問題特例化的能力。

（五）范例，提升核心概念理解的直觀性

范例是提供給學(xué)生示范用的例子。通過范例，學(xué)生能夠明確地知道所要研究的內(nèi)容，能夠清晰地知道所要研究內(nèi)容的來源。同時，通過范例支架的搭建，可以讓學(xué)生對核心概念有更為直觀的理解。范例是問題、建議等片段性支架根據(jù)某個主題的匯總和集合，它可以幫助學(xué)生對幾何概念進行分析，完善推理過程，幫助學(xué)生積極思維。

三、“五例”教學(xué)法教學(xué)設(shè)計案例

“五例”教學(xué)設(shè)計主要有五個教學(xué)環(huán)節(jié)，即搭腳手架、進入情境、獨立探索、合作交流、嘗試運用，每個教學(xué)環(huán)節(jié)中都可能用到“五例”。下面以“浙教版”八下4.1“多邊形（第1課時）”為例，突出“五例”在這一課時當(dāng)中的教學(xué)實踐。

環(huán)節(jié)一：搭腳手架。

本節(jié)的多邊形知識是三角形相關(guān)知識的應(yīng)用與推廣，由三角形的概念類比可以得到四邊形的概念。教師要讓學(xué)生知道：求四邊形的內(nèi)角和可以轉(zhuǎn)化為三角形問題。這樣可以為后續(xù)的多邊形、特殊四邊形（如平行四邊形、梯形）等知識的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。同時，教師還應(yīng)激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題中蘊含的內(nèi)在規(guī)律進行探索的興趣，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生知識遷移的能力。因此，腳手架的搭建可以利用三角形的有關(guān)知識進行，而三角形便是多邊形的一個特例。

環(huán)節(jié)二：進入情境。

問題1：出示學(xué)生自己制作的三角形、四邊形、五邊形的風(fēng)箏。

師：同學(xué)們，這些風(fēng)箏看起來是什么形狀呢？它們是如何構(gòu)成的？

教師通過學(xué)生自己制作的風(fēng)箏，讓學(xué)生回顧三角形的定義，從而據(jù)此推出四邊形、五邊形的定義。學(xué)生學(xué)習(xí)了多邊形后，自然而然地能夠理解“三角形、四邊形、五邊形等都是多邊形的特例”。

環(huán)節(jié)三：獨立探索。

在這一環(huán)節(jié)，學(xué)生需要用一種最為直觀的方式驗證猜測出的“四邊形的內(nèi)角和為360°”這一結(jié)論。于是有學(xué)生這樣做：在一張紙上任意畫一個四邊形，剪下這個四邊形的四個角，把它們拼在一起（四個角的頂點重合），可以看出這四個角構(gòu)成一個周角。也有學(xué)生采用測量的方式，但是有一定的誤差，在教師的引導(dǎo)下，用幾何畫板進行驗證。

環(huán)節(jié)四：合作交流。

在環(huán)節(jié)1，通過特殊的拼圖和幾何畫板的測量，學(xué)生猜測到四邊形的內(nèi)角和為360°，但是如何用數(shù)學(xué)的語言進行證明？在課堂教學(xué)中，教師進行適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)提示：能不能把四邊形的知識轉(zhuǎn)化為所學(xué)過的三角形的知識進行解決？教師先給出一個范例。學(xué)生從中受到了啟發(fā)，懂得了轉(zhuǎn)化思想在解決四邊形的內(nèi)角和問題中的應(yīng)用。學(xué)生與學(xué)生之間相互交流，思維碰撞，也能用正例來證明四邊形的內(nèi)角和為360°。

環(huán)節(jié)五：嘗試運用。

1.四邊形風(fēng)箏的四個內(nèi)角∠A，∠B，∠C，∠D的度數(shù)之比為1：1：0.6：1， 求它的四個內(nèi)角的度數(shù)。

分析：看到四個角的比例，這是利用了四邊形的什么性質(zhì)呢？學(xué)生很容易想到是利用四邊形的內(nèi)角和為360°。不妨設(shè)參數(shù)x，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，得到關(guān)于x的一元一次方程，解得x，即得到四個內(nèi)角的度數(shù)。

特例：探索六邊形的內(nèi)角和和外角和。

解：連接AC，AD，AE，得到△ABC，△ACD，△ADE，△AEF，從而得到六邊形的內(nèi)角和為720°，每個內(nèi)角和相鄰的外角構(gòu)成一對平角，這些平角的和為1080°，平角的和減去內(nèi)角和為360°，因此六邊形的外角和為360°。

在教學(xué)過程中，“五例”教學(xué)并不是單獨存在的，而是有機結(jié)合、互為支撐，組成課堂教學(xué)的五個部分，但使用的先后順序可以根據(jù)實際情況進行調(diào)整。在“五例”教學(xué)中，對于一個概念而言，要達到更深層次的理解，正例、范例、反例、錯例、特例往往可以綜合使用?？梢园选拔謇睉?yīng)用于某個具體的教學(xué)片段，也可以在一個課時的教學(xué)中綜合使用，對教師和學(xué)生對數(shù)學(xué)核心概念的深度理解起到積極的助推作用。

（責(zé)任編輯：韓曉潔）