高中數(shù)學(xué)解題中分類討論思想的使用

李亞男

分類討論是一種非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想，這種思維方式可以在解決各種實際問題中應(yīng)用，在問題解析上發(fā)揮的效果非常明顯.教師要在解題教學(xué)時讓學(xué)生熟悉這種思維方法，并且要培養(yǎng)學(xué)生在解答相對復(fù)雜問題時形成良好的分類討論意識.這可以很好地避免漏解的問題，能夠讓問題解答更加完整而準(zhǔn)確.教師可以首先結(jié)合平時講解的各類例題讓學(xué)生感受分類討論思想的使用，在學(xué)生頭腦中建立基本認(rèn)知;隨后，可以讓學(xué)生在各種習(xí)題練習(xí)中嘗試這種思維方法，加強學(xué)生的分類討論意識.這會讓學(xué)生的解題能力得到很好的強化，也是提升學(xué)生綜合學(xué)科能力的訓(xùn)練方式.

一、函數(shù)問題中分類討論思想的使用

函數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)中最常出現(xiàn)的考點，很多函數(shù)問題不僅會考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的吸收掌握程度、思維的靈活性和完整性，也需要學(xué)生掌握一些有效的解題方法和技巧，善于利用函數(shù)性質(zhì)來將問題有效解答.在一些相對開放的函數(shù)問題的分析講解中，教師要讓學(xué)生在解答時思維保持嚴(yán)謹(jǐn).如果題設(shè)條件并不是太充分，要讓學(xué)生看到各種可能性，在不確定的情況下可以以分類討論作為切入點，結(jié)合各種可能性分別進(jìn)行計算，再將各種可能的答案歸納匯總.

例1 已知函數(shù)f（a）=a10-a5+a2-a+1，試求f（a）>0條件下參數(shù)a的取值范圍.

分析：函數(shù)f（a）本身涉及多個多項式，它們的底數(shù)相同，而指數(shù)函數(shù)本身具有很強的單調(diào)性特性，且單調(diào)性情況與底數(shù)值的大小情況具有緊密聯(lián)系.這樣的背景下，很有必要讓學(xué)生將底數(shù)a可能存在的情況展開分類討論.教師可以指導(dǎo)學(xué)生選取幾個劃分區(qū)域，從幾個不同層次展開分類討論，分別為：（1）a<0;（2）a=0或a=1;（3）01.以這樣的方式來逐一解答，這能夠讓解析過程更加完整，能夠避免漏解的發(fā)生.

二、概率問題中分類討論思想的使用

概率問題同樣是高中數(shù)學(xué)中很有代表性的考題類型，很多時候?qū)W生之所以會在概率問題中失分，很重要的原因在于沒有將各種情況考慮在內(nèi)，這說明學(xué)生的思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)，解題素養(yǎng)還有待進(jìn)一步提升.在遇到有的概率問題時，學(xué)生會感覺找不到切入點，不知道如何解答，好像題目的條件給定不夠完整.這種背景下教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生從題設(shè)出發(fā)，展開相應(yīng)的分類討論過程.

例2 在某個國家舉辦奧運會的時候，該國舉辦了火炬?zhèn)鬟f活動，其中18位火炬?zhèn)鬟f手的編號依次為1，2，3……18，試求從其中任選3人后能夠構(gòu)成以公差為3的等差數(shù)列的概率.

分析：首先教師要讓學(xué)生明確，這是一道典型的古典概型問題，總數(shù)C=17×16×3.為了準(zhǔn)確確定最后能夠構(gòu)成滿足等差數(shù)列的各種結(jié)果，避免出現(xiàn)遺漏某一種情況，教師可以引導(dǎo)學(xué)生展開相應(yīng)的分類討論.可以先假定構(gòu)成的等差數(shù)列為bn=b1+3（n-1），隨后可以分別就b1=1，2，3的三種情況展開討論，最后將結(jié)果匯總即可.這個問題的解析中首先需要學(xué)生構(gòu)建一個數(shù)列，隨后利用分類討論思想對各種可能性展開分析總結(jié).學(xué)生如果以這樣的思路解答問題，不僅解題過程清晰明確，也不會產(chǎn)生漏解的狀況，是一種很值得推崇的教學(xué)過程.

三、數(shù)列問題中分類討論思想的使用

在遇到一些相對復(fù)雜的數(shù)列問題時，教師同樣要引導(dǎo)學(xué)生形成分類討論的思維.有些數(shù)列問題的看上去非常復(fù)雜，讓學(xué)生覺得不知道如何下手.面對這樣的問題，教師要讓學(xué)生梳理自己的思維，提煉題設(shè)中的關(guān)鍵信息，形成基本的解題思路.如果面對的是一個綜合性問題，如一個大題中有幾個小問，且問題之間有一定關(guān)聯(lián)，這時需要提醒學(xué)生注重問題的關(guān)聯(lián)性，往往上面問題的解答是下面問題解答的鋪墊.在面對后面的比較復(fù)雜的問題時，教師同樣可以指導(dǎo)學(xué)生采取分類討論的思想.

例3 已知等比數(shù)列{bn}，其中b1=1，前n項和為Sn，且bk+1，bk+2，bk+3構(gòu)成等差數(shù)列（k∈N），試求：（1）試求數(shù)列{bn}的公比q;（2）Sk+1，Sk+2，Sk+3是否構(gòu)成等差數(shù)列？（k∈N），為什么？

分析：這個問題有兩個小問，教師首先要讓學(xué)生求出公比q，這個可以利用函數(shù)概念加以求解，得出來的結(jié)果為q=1或q=-12.有了這個結(jié)果后隨之便可以引導(dǎo)學(xué)生展開分類討論，可以讓學(xué)生分別討論當(dāng)q=1及q=-12時給出的數(shù)列能否構(gòu)成等差數(shù)列，并說明原因，將問題有效解答.這種有一定綜合性的問題看上去復(fù)雜，但是，只要教師引導(dǎo)學(xué)生理清思維，讓學(xué)生循序漸進(jìn)地進(jìn)入到解題思路中，問題會變得越來越簡單直觀，解答的效果也會十分理想.