基于Hausdorff距離的光纖陀螺閾值濾波算法

曹 健 楊志強(qiáng) 劉晨晨

（長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪學(xué)院，陜西西安710054）

采礦機(jī)械的導(dǎo)航定位與姿態(tài)控制是實(shí)現(xiàn)采礦自動化的關(guān)鍵技術(shù)之一，慣性導(dǎo)航以導(dǎo)航信息的實(shí)時性與自主性使其成為一種在復(fù)雜采礦工作面可行的采礦機(jī)械定位與姿態(tài)控制技術(shù)。光纖陀螺是一種基于Sagnac效應(yīng)的全固態(tài)角速度傳感器，是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（Inertial navigation system，INS）的核心器件[1]，但其隨機(jī)漂移是制約INS精度的重要因素。為了抑制光纖陀螺的隨機(jī)漂移，傳統(tǒng)的濾波方法主要有兩種，一種是進(jìn)行時間序列分析，建立自回歸滑動平均模型（Auto-Regressive Moving Average Model，ARMA），并設(shè)計Kalman濾波器進(jìn)行補(bǔ)償[2]。而Kalman濾波需要完整的信號和噪聲的統(tǒng)計特性，其初始參數(shù)確認(rèn)較復(fù)雜，同時在實(shí)際情況中，光纖陀螺會受到測試系統(tǒng)噪聲及外界環(huán)境等各種因素干擾，使輸出信號表現(xiàn)出非平穩(wěn)、弱非線性的特征，因此難以建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。第二種是使用小波變換的降噪方法[3-5]。小波具有良好的時頻局部性和多分辨分析能力，但小波消噪性能非常依賴于基函數(shù)的選擇和分解層數(shù)的預(yù)先設(shè)定，這些先驗(yàn)信息的確定使去噪方案失去了自適應(yīng)性，無法保證時變信號小波去噪的效果。

Huang等[6]針對非平穩(wěn)、非線性信號提出了一種新型的信號處理方法——經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解。EMD是一種不需要任何信號先驗(yàn)信息的自適應(yīng)數(shù)據(jù)處理方法，能夠根據(jù)信號的本身特征，自適應(yīng)地將信號分解為若干個由高頻到低頻的本征模態(tài)函數(shù)及一個余項(xiàng)。

在利用EMD濾波時，很多文獻(xiàn)都是通過經(jīng)驗(yàn)判斷或者多次測試，直接把分解后的前若干個IMF分量當(dāng)作噪聲進(jìn)行剔除，這類方法過于主觀，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摽蚣苤危液茈y恰當(dāng)?shù)嘏懦肼暩蓴_。將EMD與時間序列分析相結(jié)合，可以從全頻率角度對隨機(jī)誤差進(jìn)行分析建模[7]，但該方法需要對所有IMF分別進(jìn)行建模與去噪處理，過程繁瑣，計算量較大。當(dāng)采用局部重構(gòu)方法時，需要對提取的IMF進(jìn)行物理解釋，以確定IMF是純噪聲、純信號，還是兩者都包含[8]?；谙嚓P(guān)系數(shù)的EMD部分重構(gòu)方法（EMD-Correlation Coefficient，EMD-Cor），使用相關(guān)系數(shù)來區(qū)分相關(guān)和不相關(guān)的IMF[9]。對于不同信噪比的噪聲信號，在某些情況下，由于各IMF與原始信號的相關(guān)性太強(qiáng)或太弱，使得該方法非常不穩(wěn)定?；谶B續(xù)均方誤差準(zhǔn)則（EMD-Consecutive Mean Square Error，EMD-CMSE）的濾波方法[10]對IMF在能量第一次發(fā)生重大變化處開始進(jìn)行部分重構(gòu)，取得了不錯的效果，但是在某些情況下EMD-CMSE準(zhǔn)則可能會被限制在局部極小值中。Ali Komaty等[11]提出表示數(shù)據(jù)分布形狀的概率密度函數(shù)，可以反映兩種信號的差異。根據(jù)輸入信號與各IMF的PDF之間的相似性來選擇相關(guān)IMF。這種相似性值越大，說明所比較的信號越具有相似的特征，因此重構(gòu)信號中應(yīng)包含相關(guān)的IMF。而基于信息理論度量（Kullback-Leibler Divergence，KLD）的概率相似性測量方法對于分布的形式（高斯、均勻、雙峰等）非常敏感，在某些情況下可能會造成誤判。

基于以上問題，本研究提出了一種基于幾何度量的概率相似性測量方法——Hausdorff距離[12]與硬閾值相結(jié)合的EMD信號濾波算法。

1 濾波方法原理

EMD將任意隨時間t變化的信號x()t分解為一組IMF，每個IMF具有不同的頻率尺度[6]。信號x(t)可分解為L個從高頻到低頻排列的IMF，以及一個余項(xiàng)rL(t)，即：

式中，IMFi(t)為第i階IMF分量。

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解原理，對于混有隨機(jī)噪聲的信號，低階IMF分量通常對應(yīng)于信號的高頻噪聲[13]。若除去若干個低階IMF，把剩余的相關(guān)IMF與余項(xiàng)重構(gòu)為一個新信號，可以削弱隨機(jī)噪聲的影響。相關(guān)IMF的選擇需要根據(jù)一個給定的準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則能夠識別攜帶了輸入信號信息的IMF分量。

假設(shè)y(t)為無噪的純信號，n(t)為高斯白噪聲，則光纖陀螺輸出信號x(t)模型可表示為

去噪的目標(biāo)是找到x(t)的估計y?(t)，來提高信號的信噪比，即：

式中，kth為局部重構(gòu)起始分量的階數(shù)，使用該式的關(guān)鍵是如何確定參數(shù)kth。

由于PDF包含其對應(yīng)IMF的完整信息，因此可以使用PDF相似性量度來識別帶有y(t)特征的IMF。對原始信號進(jìn)行EMD分解之后，使用核密度函數(shù)估計IMF的PDF。所以就要尋找這樣一種度量方法，利用PDF來區(qū)分相關(guān)和不相關(guān)的IMF，也就確定了參數(shù)kth。

1.1 Hausdorff距離

Hausdorff距離是描述兩個點(diǎn)集之間距離的方法，該方法可作為兩個點(diǎn)集之間的相似性量度。在本研究中，HD不是用作兩個幾何形狀間的相似性量度，而是用在兩個一維PDF之間。HD相較于其他距離度量方法的優(yōu)點(diǎn)是對異常值非常敏感，同時顧及目標(biāo)的整體形狀（或邊界），而不是將兩個空間目標(biāo)的距離簡單地表達(dá)為兩個點(diǎn)之間的距離。

令d(a,b)=‖a-b‖為元素a、b之間的歐氏距離。元素a到有限集合B={b1,…,bN}之間的距離定義為

兩個有限集A={a1,…,aM}和B={b1,…,bN} 之間的單向HD可以定義為

類似地，兩個有限集B={b1,…,bN}和A={a1,…,aM}之間的單向HD可定義為

單向HD具有非對稱性，這是極大極小函數(shù)的特性。絕對HD為2個單向HD的最大值，即：

如果A、B兩組點(diǎn)是相似的（距離較近），但B中存在一點(diǎn)b，有遠(yuǎn)離A的任意一點(diǎn)，那么該距離就是由這個點(diǎn)決定的。這一距離可以表明IMF的分布曲線有多少尖銳和突出的部分。

1.2 IMF的選擇及閾值濾波

為了選擇相關(guān)的IMF，首先將信號x(t)分解為若干個IMF，之后估計x(t)及各IMF的PDF，分別記為PDF[x(t)]與PDF[IMFi(t)]。將估計的分布看作度量空間（歐式空間）的子集，用HD測量相似程度。采用（5）式、（6）式和（7）式計算x(t)與各IMF之間PDF的HD值，記為HD(i):

重構(gòu)所選擇的起始IMF分量是HD在第一個局部最大值之后開始減小的第一個IMF。記這個指數(shù)為kHD，即：

得到kHD后，則可確定信號的局部直接重構(gòu)信號y1(t)：

若直接重構(gòu)，則重構(gòu)信號中仍然含有部分噪聲。所以在重構(gòu)之前需要對相關(guān)IMF進(jìn)一步去噪，方法可以借鑒小波閾值去噪。閾值去噪方法有硬閾值和軟閾值[14]，兩種閾值后的各階IMF分別見式（11）、式（12）。

式中，kHD≤i≤L；Ti表示第i個IMF的閾值，Ti的選擇可采用小波閾值估計方法[15-16]。

軟閾值的優(yōu)點(diǎn)是具有良好的連續(xù)性和平滑性，但它是對所有系數(shù)進(jìn)行壓縮，如果閾值估計產(chǎn)生誤差，該誤差會擴(kuò)散到所有系數(shù)上，導(dǎo)致有偏的結(jié)果。而硬閾值只對低于閾值的部分進(jìn)行處理，對高于閾值的部分予以保留，可以免受閾值估計誤差的影響，故而本研究采用硬閾值濾波方法。

由于使用了硬閾值的消噪策略，隨著i的增加，IMF系數(shù)的大部分幅值都高于閾值，閾值的作用會逐漸降低。所以無需判別噪聲信號混合的IMF與有用信號為主的高階IMF的邊界，不加區(qū)分地對所有需要被重構(gòu)的模態(tài)進(jìn)行閾值濾波。所以最終的重構(gòu)信號為

綜上所述，本研究提出的基于Hausdorff距離的EMD閾值濾波（EMD-Hausdorff Distance&Threshold Filtering，EMD-HD&TF）算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

（1）對原始信號進(jìn)行EMD分解，得到若干個IMF分量。

（2）使用核密度函數(shù)，估計原始信號及各IMF的PDF。

（3）使用HD方法比較IMF分量與原始信號PDF的相似性，確定重構(gòu)的起始分量——第kHD個IMF。

（4）計算各需要重構(gòu)的IMF的噪聲閾值Ti，按照式（13）重構(gòu)輸出信號。

2 試驗(yàn)與結(jié)果分析

2.1 數(shù)據(jù)仿真試驗(yàn)

為驗(yàn)證硬閾值的優(yōu)越性，對測試信號（以Doppler信號為例）加入不同大小的白噪聲，輸入信噪比為-6～6 dB，分別使用硬閾值與軟閾值對所有IMF進(jìn)行濾波并重構(gòu)，結(jié)果如圖1。硬閾值的去噪效果在各信噪比下都優(yōu)于軟閾值，故本研究選擇HD篩選準(zhǔn)則與硬閾值濾波相結(jié)合。

為測試本研究濾波方法的有效性，對4個代表性的測試信號（Doppler、Heavysine、Bumps和Blocks）分別加入以上噪聲，使用EMD-Cor、EMD-CMSE、EMDHD（EMD-Hausdorff Distance）及 EMD-HD&TF 4種方法進(jìn)行去噪，對去噪結(jié)果進(jìn)行比較研究。

以輸入信噪比為-4 dB的Doppler含噪信號為例，其經(jīng)過EMD分解后得到的10個IMF見圖2。各階IMF的HD取值見圖3，由此可得kHD=6。在EMDHD&TF方法中，對IMF6～10分別進(jìn)行閾值濾波，結(jié)果如圖4所示。

最終按式（13）將濾波后的IMF與余項(xiàng)重構(gòu)。從圖5中可以看出，相比于其他幾種方法，由EMDHD&TF方法得到的信號更能保留Doppler標(biāo)準(zhǔn)信號的特征，初步判斷為最佳的去噪結(jié)果。表1給了的4種濾波結(jié)果的信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）及均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）。

從表1可知，4種方法都對白噪聲具有一定的去噪能力，但EMD-Cor方法效果相對較差。兩種基于HD準(zhǔn)則的EMD局部重構(gòu)方法的去噪性能明顯優(yōu)于另外兩種方法，在此基礎(chǔ)上使用硬閾值方法進(jìn)行濾波可以進(jìn)一步提升去噪效果。

統(tǒng)計4種信號在不同輸入信噪比下濾波后的信噪比及均方根誤差，如圖6與圖7所示。由此可知，基于EMD的濾波方法對于不同類型的信號都表現(xiàn)出不同程度的去噪效果，具有一定的適用性。其中EMD-Cor方法在輸入信噪比較低時性能較差，但會隨著輸入信噪比的提高而改善，逐漸達(dá)到與其他方法相近的水平。但在多次試驗(yàn)中，經(jīng)常會有重構(gòu)后的信號與原信號相似度過高或者過低的現(xiàn)象發(fā)生，導(dǎo)致無法進(jìn)行篩選，所以該方法穩(wěn)定性較差。EMD-HD&TF在EMD-HD基礎(chǔ)上加入硬閾值，雖然濾波效果在本研究中只是略有提升，但在絕大多數(shù)情況下都能得到最佳的濾波效果。上述去噪效果不僅支持了EMD-HD和閾值濾波混合方法的有效性，而且證明了IMF中所攜帶的信號信息可以通過它們的PDF來表現(xiàn)，同時HD比EMD-Cor和EMD-CMSE法更有效地量化了信號與相關(guān)IMF之間的相互作用，進(jìn)而使用HD進(jìn)行篩選更為有效。

2.2 陀螺濾波試驗(yàn)

在常溫（25℃）下，對某型號陀螺漂移信號進(jìn)行了試驗(yàn)測試。采樣周期為100 ms，為了避免啟動過程中的溫度變化，選取中間3 h的數(shù)據(jù)，樣本總數(shù)為108 000個。對該組數(shù)據(jù)分別采用文中的4種方法進(jìn)行處理。其中EMD-Cor、EMD-CMSE、與兩種HD方法重構(gòu)的起始IMF分量分別為第5階、第7階和第9階。為了驗(yàn)證降噪效果，采用了慣性器件誤差分析中最常用的艾倫（Allan）方差。Allan方差的雙對數(shù)曲線圖可以識別陀螺的各種隨機(jī)誤差成分，包括量化噪聲（Q）、角度隨機(jī)游走（N）、零偏不穩(wěn)定性（B）、角速率隨機(jī)游走（K）和速率斜坡（R），由試驗(yàn)所得的Allan方差圖如圖8所示。不同的誤差具有不同的斜率特性，可由Allan方差擬合得到[17-18]，擬合得到的各種誤差成分如表2所示。

由圖8和表2可知，4種方法對角速率隨機(jī)游走（K）和速率斜坡（R）均有良好的抑制效果。但經(jīng)EMD-Cor和EMD-CMSE方法處理后，量化噪聲（Q），角度隨機(jī)游走（N）和零偏不穩(wěn)定性（B）不但沒有減少，甚至還有小幅度增加?；贖D方法得到的重構(gòu)IMF較為恰當(dāng)，其抑制5種噪聲的效果優(yōu)于前兩者。在此基礎(chǔ)上加入閾值濾波的EMD-HD&TF方法又能進(jìn)一步濾除噪聲，使各項(xiàng)噪聲得到了進(jìn)一步降低，取得了最佳濾波效果。

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3 結(jié) 論

（1）本研究提出了一種新的EMD局部重構(gòu)與閾值相結(jié)合的EMD-HD&TF方法，該方法首先以各階IMF和原始信號PDF的HD為依據(jù)對IMF進(jìn)行篩選，減少了IMF的重構(gòu)個數(shù)；然后采用硬閾值處理方法，對信號的噪聲進(jìn)行了進(jìn)一步濾除。該方法的優(yōu)點(diǎn)是對異常值敏感、復(fù)雜度低，在濾波應(yīng)用中較為實(shí)用。

（2）為了驗(yàn)證該方法的有效性，在不同的信噪比情況下進(jìn)行了數(shù)值模擬。與EMD-Cor、EMD-CMSE和單純的EMD-HD方法相比，該方法具有更好的去噪性能。最后，將該方法應(yīng)用于對實(shí)測陀螺漂移信號進(jìn)行試驗(yàn)。從Allan方差曲線可以看出，EMD-HD&TF方法大大降低了各項(xiàng)隨機(jī)誤差。因此，本研究提出的光纖陀螺消噪算法在采礦機(jī)械導(dǎo)航定位與姿態(tài)控制的自動化方面具有廣泛的應(yīng)用前景。

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