條件弱鞅的γ 型概率不等式及強(qiáng)大數(shù)定律

馮德成， 楊亞男， 文慧敏

（西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州730070）

本文用｛Sn，n≥1｝表示定義在概率空間（Ω，A，P）上的隨機(jī)變量序列.記

這里F是A的子σ -代數(shù)，IA表示集合A 的示性函數(shù)，log+x ＝ln（max（x，1））.

定義1［1］設(shè)｛Sn，n≥1｝是一隨機(jī)變量序列，如果對(duì)任意的j ＞i≥1，都有

E｛（Sj-Si）f（S1，S2，…，Si）｝≥0， a.s.，（1）其中f是任意分量不減函數(shù)，并且使上述期望有意義，則稱｛Sn，n≥1｝為弱鞅，如果進(jìn)一步假設(shè)f是非負(fù)的，那么稱｛Sn，n≥1｝為弱下鞅.

定義2［2］設(shè)｛Sn，n≥1｝是一隨機(jī)變量序列，如果對(duì)任意的j ＞i≥1，都有

其中f是任意分量不減函數(shù)，并且使上述條件期望有意義，則稱｛Sn，n≥1｝為條件弱鞅，如果進(jìn)一步假設(shè)f是非負(fù)的，那么稱｛Sn，n≥1｝為條件弱下鞅.自Hadjikyriakou［2］提出條件弱鞅和條件弱下鞅的概念以后，很多學(xué)者給出了條件弱（下）鞅的一些概率不等式及其應(yīng)用結(jié)果.例如，Christofides 等［3］建立了條件弱鞅的極大值不等式以及相應(yīng)的強(qiáng)大數(shù)定律；Wang［4］等得到了條件弱下鞅的極大值不等式以及非負(fù)條件弱鞅的極小值不等式；王星惠［5］討論了條件弱鞅及其函數(shù)的一些重要不等式，如極大（小）值不等式，Doob 型不等式，基于cY 函數(shù)的條件弱鞅的極大值不等式，以及非負(fù)條件弱鞅的最大φ不等式；馮德成等［6］給出了條件弱鞅的一類極小值不等式.

受文獻(xiàn)［7］的啟發(fā)，本文利用文獻(xiàn)［4］中的極大值和極小值不等式得到了條件弱鞅的γ 型概率不等式，同時(shí)得到了條件弱鞅的一個(gè)強(qiáng)大數(shù)定律.

1 主要結(jié)論及其證明

引理1［8］設(shè)X是一非負(fù)隨機(jī)變量，則有

引理2［4］設(shè)｛Sn，n≥1｝是一個(gè)條件弱鞅，且g（·）是R 上的不減凸函數(shù)，滿足EFg（Si）＜∞a.s.，i≥1，則對(duì)任意的F -可測(cè)隨機(jī)變量ε ＞0，a.s.，以及任意的n≥1 有

引理3［4］設(shè)｛Sn，n≥1｝是一個(gè)條件弱鞅，且g（·）是R上的不減凸函數(shù)，滿足EFg（Si）＜∞，a.s.，i≥1，則對(duì)任意的F -可測(cè)隨機(jī)變量ε ＞0，a.s.，以及任意的n≥1 有

引理4［9］設(shè)｛Sn，n≥1｝是一個(gè)條件弱下鞅，滿足S0＝0，｛ck，k≥1｝是一列不減的正實(shí)數(shù).假設(shè)存在一個(gè)正常數(shù)p ＞1，使得對(duì)每個(gè)n≥1，都有