兩類初值系數(shù)固定的解析函數(shù)的性質(zhì)

陶玉琴

(馬鞍山師范高等專科學(xué)校 教師教育系， 安徽 馬鞍山 243041)

0 引言

設(shè)H表示在單位圓盤Ε:={z∈C:|z|<1}內(nèi)解析函數(shù)所成的函數(shù)類．對于一個(gè)固定的常數(shù)k(k∈Ν+),用Α(λ,κ)表示具有下面形式函數(shù)μ(z)構(gòu)成的H的子類,如下:

μ(z)=λ+αkzk+α(k+1)z(k+1)+…,

用Α表示由單葉函數(shù)φ(z)=z+α2z2+α3z3+…組成的函數(shù)類Α(0,1)在單葉函數(shù)理論中,子類Α在泰勒級(jí)數(shù)展開式中的第二個(gè)系數(shù)起著非常重要的作用,得到了許多性質(zhì)．例如,研究子類Α中函數(shù)第二個(gè)系數(shù)的界限,得到類似于Koebe常數(shù)的一個(gè)增加失真估計(jì)數(shù); Gronwall[1]研究了固定第二個(gè)系數(shù)的單葉函數(shù);Miller和Mocanu提出的微分從屬理論[2]被許多學(xué)者推廣到具有固定初始系數(shù)的解析函數(shù)中,Nagpal等學(xué)者[3-8]將其應(yīng)用到單葉函數(shù)理論中的幾個(gè)經(jīng)典結(jié)論,得到了大量有用的結(jié)果．本文固定在E內(nèi)解析函數(shù)φ(z)(φ(z)∈Β(β,k))的第二個(gè)系數(shù),定義函數(shù)φ(z)上的γ階凸積分算子,研究其性質(zhì),還推導(dǎo)得出一些引理,由此獲得一些有趣的結(jié)論．

固定常數(shù)α∈C,令Αα(λ,k)表示Α(λ,k)的子類,且具有形式:

μ(z)=λ+αzk+α(k+1)zk+1+…

引理1[3]設(shè)ν∈V,ν(0)=λ,μ∈Αα(λ,k),且μ(z)不恒等于λ,k≥1．如果μ不從屬于ν,存在ξ0=r0eiθ0∈E和η0∈?EU(ν),使得({z∈C:|z|

1)μ(ξ0)=ν(μ0);

2)ξ0μ′(ξ0)=mη0ν′(η0);

1 主要結(jié)論及證明

固定β∈C,用B(β,K)表示H的子類,且具有形式:

φ(z)=z+βz(k+1)α(k)z(k+2)+…,

對于γ>0,Dγ表示γ階凸積分算子,Dγ定義為:

(1)

事實(shí)上，函數(shù)φ(z)是星象函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)F(z)是γ階凸的,易推導(dǎo)出

引理2 設(shè)k∈Ν+，α>0,0<β≤1,設(shè)函數(shù)U(z)∈Α-β(αk+1)(1,k),并滿足從屬

(2)

如果函數(shù)μ(z)∈Αβ(1,k)滿足微分等式

αzμ′(z)+U(z)μ(z)=1

(3)

那么

因此Ψ(z)在E內(nèi)是單葉的且近似凸的,域Ψ(z)是關(guān)于實(shí)軸對稱的,對于t∈[-π,π],令

(4)

根據(jù)式(2)和式(3),得到

(5)

如果假設(shè)μ(z)不從屬于f(z),那么由引理1知,存在ξ0∈Ε、η0∈?E以及

(6)

使得μ(ξ0)=f(η0)和ξ0μ′(ξ0)=mη0f′(η0),因此由式(5)得到

如果令η0=eit,那么由式(4)和(6)得到U(ξ0)=reit,這里

利用引理2證明下面的結(jié)論．

(7)

證明假設(shè)函數(shù)φ(z)∈B(β,k)滿足式(7),令

(8)

γzμ′(z)+U(z)μ(z)=1

(9)

F(z)=φ(z)(μ(z))γ

(10)

容易得到函數(shù)F(z)與式(1)給出的函數(shù)一致,根據(jù)式(9)和式(10),得到

則

證明設(shè)φ(z)∈B(a,k)滿足

特別地h(0,F;z)h(0,f;z),這里f(z)=zez．

為了研究函數(shù)μ(z)∈Αα(1,1)實(shí)部為正的充分條件,需要證明下面的引理．

引理3 設(shè)k∈Ν+，0<α≤2,假設(shè)函數(shù)U(z)∈Α-α(k+1)(1,k),并滿足從屬

(11)

如果函數(shù)μ(z)∈Αα(1,k)滿足微分等式

z′μ(z)+U(z)μ(z)=1

(12)

那么Re{μ(z)}>0,(z∈E)．

(13)

使得

μ(ξ0)=v(η0)

(14)

以及

(15)

令ν(η0)=ia和mη0ν′(η0)=b,a和b是實(shí)數(shù),則根據(jù)式(13)、(14)和(15)得到

(16)

式(12)中令z=ξ0,由式(15)和(16)得到b+iaU(ξ0)=1.

令U(z)=Α(z)+iB(z),則由上面的等式得到

b-aB(ξ0)=1和aΑ(ξ0)=0

(17)

由式(15)知b<0,再根據(jù)式(16)推導(dǎo)出a≠0以及Α(ξ0)=0．因此有下面兩種情況:

1) 當(dāng)a>0時(shí),根據(jù)式(16)和式(17)得到

易證得

因此B(ξ0)≤-Ck．

2) 當(dāng)a<0時(shí),類似可證得B(ξ0)≥Ck．Re{s}=0,以及|Im{s}|≥Ck,Ψ(Ε)是沿著半直線有縫的復(fù)平面,故在兩種情況下得到

U(ξ0)=Α(ξ0)+iB(ξ0)?Ψ(Ε),

這與式(11)矛盾,因此必須有Re{μ(z)}>0(z∈E)．

定理3 令-2≤α<0,如果函數(shù)μ(z)∈Αα(1,1)滿足從屬:

(18)

則Re{μ(z)}>0(z∈Ε)．

由式(18)得到

定義

則顯然

U(z)∈Α2α(1,1),U(z)Ψ(z),以及zφ′(z)+U(z)φ(z)=1．

因此,由引理3得到Re{φ(z)}>0,即Re{μ(z)}>0(z∈E)．

令-2≤β<0,如果函數(shù)φ(z)∈B(β,1)滿足從屬:

則φ(z)在E內(nèi)是星象函數(shù)．