帶有積分邊值的分數(shù)階微分包含正解存在性

楊丹丹， 張廣明

(1.淮陰師范學院 數(shù)學科學學院, 江蘇 淮安 223300； 2.中國人民解放軍32127部隊， 遼寧 大連 116100)

0 引言及預備知識

本文主要研究如下分數(shù)階微分包含積分邊值問題:

(1)

其中α，β，γ，δ是非負常數(shù)，滿足ρ=αγ+αδ+βγ>0，Dq表示Caputo分數(shù)階導數(shù),g,h∈C([0,1]×R+),F:[0,1]×R+→ρ(R+)是一個多值映射,ρ(R+)表示 R+的所有非空子集族.

分數(shù)階微分方程是整數(shù)階微分方程的推廣[1]. 近年, 分數(shù)階微分方程解的存在性研究有豐富的結果[2-3].2014 年, Yang研究了帶有積分邊值條件的分數(shù)階微分方程:

(2)

其中0≤t≤1,10，Dq表示Caputo分數(shù)階導數(shù),g,h∈C([0,1]×R+),F:[0,1]×R+→ρ(R+)利用Krasnoselskii 不動點定理和Leggett-Williams不動點定理, 給出了至少一個正解的存在性結果和至少三個正解存在性結果[4].

近年來,關于分數(shù)階微分包含解的存在性研究受到關注[5-9].研究集中在用多值映射的不動點理論,討論有限維空間和Banach空間中的問題. 現(xiàn)有研究成果中,分數(shù)階微分包含正解存在性定理結果不多[10]. 受參考文[4]啟發(fā),本文給出帶有積分邊值條件分數(shù)階微分包含(1)正解的存在性定理.本文的方法不同于文[5][6][9]并將文[4]的單值研究結果推廣到多值情形[1,11-12].

下面給出證明中所用到的定義和引理.

定義1[1]函數(shù)u:(0,∞)|→R的α分數(shù)階Caputo導數(shù)定義為

其中α>0,Γ是伽瑪函數(shù),假設等式右側在(0,∞)上逐點有定義.

定義2[11]若對于每個x0∈X,集合Θ(x0)是X的一個非空閉子集, 若對于X中的每個包含Θ(x0)開子集B,存在x0的一個開鄰域V, 使得Θ(V)?B,則稱Θ在X是上半連續(xù)的.

定義3[3]若Θ是上半連續(xù)當且僅當Θ存在一個閉圖,即

xn→x*,yn→y*,yn∈Θxn意味著y*∈Θx*.

則稱Θ是全連續(xù)的.

定義4[12]對于每個y∈C([0,1],R),令SF,y是F的選擇集合,定義為

SF,y={f∈L1([0,1],R):f∈F(t,y(t))a.e.t∈[0,1]}.

定義5[11]令 (X,d)是由賦范空間(X,‖·‖)引進的度量空間. 定義度量Hd:ρ(X)×ρ(X)→R∪{∞}如下:

設X為Banach空間,C是X的閉凸子集,CK(C) 表示C中所有非空緊凸子集集合. 對于任意有界子集Ω?X,它的非緊測度為γ(Ω)=inf{d>0|Ω可以被有限個直徑小于d的集所覆蓋}.映射A:G?X→X稱為k-集壓縮(k≥0),若A連續(xù),且滿足條件:對每個有界子集Ω?G,均有γ(A(Ω))≤k(Ω),對于k<1的k-集壓縮稱為嚴格k-集壓縮映射. 特別地, 全連續(xù)映射是0-集壓縮, 因此是嚴格k-集壓縮映射.

1) 對?x∈?EΩr∩C,x?F(x);

2) 對?y∈F(x),x∈?EΩL∩C,有‖y‖>‖x‖;

3) ?y∈F(x),x∈?EΩr∩C,有‖y‖≤‖x‖;

4) 對?y∈F(x),x∈?EΩR∩C,有‖y‖≤‖x‖;

方便起見, 引入如下記號:

引理2[4]假設D11D12≠1,y∈C([0,1],R),則u(t)是以下問題的唯一一個解

(3)

(4)

其中

引理4[4]若Q11,Q12∈[0,1),D11D12∈[0,1),β(q-1)>α(2-q),則H(t,s)>0,t,s∈[0,1].λmG(s,s)≤H(t,s)≤MG(s,s),對所有t,s∈[0,1],其中

2 主要結果

列出本文的假設條件:

(A1) 多值函數(shù)F:[0,1]×R→CK(0,∞);

(A2)F是L1-Caratheodory 且具有非空緊凸值;

(A3) 存在連續(xù)非減函數(shù),ψ:[0,∞)→(0,∞)使得‖F(xiàn)(t,x)‖p:sup{|y|:y∈F(t,x)}≤ψ(‖x‖),(t,x)∈(0,1)×R;

(A5) 存在η∈C[0,1],η>0,有‖F(xiàn)(t,x)‖q:=inf{|y|:y∈F(t,x)}≥η(t)ψ(‖x‖),?(t,x)∈[0,1]×R;

下面,將給出關于分數(shù)階微分包含邊值問題(1)正解存在定理.為方便起見,引入以下記號:

定理1 假設(A1)-(A7)成立.則分數(shù)階微分包含積分邊值問題(1)至少存在兩個正解.

定義

K={u∈C[0,1]:u(t)≥0,t∈[0,1],mint∈[0,1]u(t)≥ω‖u‖},

顯然,K是E的一個錐.

下面只需要證明引理1的所有條件都成立.將證明分為如下五個步驟:

1)A:K→CK(K).?x∈K,u∈A(x),那么v∈SF,x使得

因為F:[0,1]×(0,∞)→CK(0,∞),H(t,s)≥0,有u(t)≥0,t∈[0,1], 由引理4有

從而?x∈K,u∈A(x)有u∈K,即A:K→CK(K).

2) ?y∈?EΩr∩K,有y?A(y).

與條件(A4)矛盾.

由條件(A4)和(A7),得到

4) ?u∈A(x),x∈?EΩr∩K,有

‖u‖≤‖x‖.?x∈?EΩr∩K,‖x‖=r,x(t)≥0,t∈[0,1],

即0≤x(t)≤r,t∈[0,1].由ψ非減,由(A3)和(A4)得

5) ?u∈A(x),x∈?EΩR∩K,有‖u‖≥‖x‖.任取x∈?EΩR∩K,則‖x‖=R,mint∈[0,1]x(t)≥ω‖x‖=ωR,故ωR≤x(t)≤R,t∈[0,1],由(A5)和(A7),得