淺談對(duì)稱(chēng)角的關(guān)系與應(yīng)用

在角的概念推廣中,經(jīng)常會(huì)碰到有關(guān)對(duì)稱(chēng)角的關(guān)系問(wèn)題。下面結(jié)合弧度制的知識(shí),剖析常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)角的關(guān)系,并結(jié)合實(shí)例加以分析與應(yīng)用。

一、對(duì)稱(chēng)角的關(guān)系

在弧度制下常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)角的關(guān)系如下：(1)若角α與角β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則αβ=(2k+1)π(k∈Z)。(2)若角α與角β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),則α+β=2kπ(k∈Z)。(3)若角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則α+β=(2k+1)π(k∈Z)。(4)若角α與角β的終邊在一條直線上,則α-β=kπ(k∈Z)。(5)若角α與角β的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng),則(k∈Z)。(6)若角α與角β的終邊關(guān)于直線y=-x對(duì)稱(chēng),則

二、對(duì)稱(chēng)角的應(yīng)用

1.關(guān)系表示。

例1若α和β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),則α可以用β表示為_(kāi)___。

解析：因?yàn)棣梁挺碌慕K邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),所以α+β=2kπ(k∈Z),那么有α=2kπ-β(k∈Z)。

2.角的求解。

例2若角α的終邊與角的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng),且α∈(-4π,4π),則α=____。

圖1

解析：如圖1所示,設(shè)角的終邊為OA,OA關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的射線為OB,則以O(shè)B為終邊且在0到2π之間的角為故以O(shè)B為終邊的角的集合為因 為α∈(-4π,4π),所以因?yàn)閗∈Z,所以k=-2,-1,0,1。所以

3.關(guān)系式求值。

例3在平面直角坐標(biāo)系中的終邊與α的終邊分別有如下關(guān)系時(shí),試求β的值：(1)若角α,β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)。(2)若角α,β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。(3)若角α,β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。(4)若角α,β的終邊關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱(chēng)。

解析：(1)如圖2①,由于角α,β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),則有α+β=2kπ,k∈Z,可得β=(2)如圖2②,由于角α,β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則有α+β=(2k+1)π,k∈Z,可得(3)如圖2③,由于角α,β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則有β-α=(2k+1)π,k∈Z,可得k∈Z。(4)如圖2④,由于角α,β的終邊關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱(chēng),則有α+β=(2k+1)π+,可得

圖2

4.三角函數(shù)值的求解。

例4已知角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且(α為第一象限角),求sin(α-β)的值。

解析：因?yàn)榻铅僚c角β的始邊都在x軸上,終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則有β=(2k+1)πα,k∈Z。由β=(2k+1)π-α,k∈Z,得αβ=2α-(2k+1)π,k∈Z。又(α為第一象限角),所以故sin(αβ)=sin[2α-(2k+1)π]=-sin2α=-2×