n維Goodwin模型的全局Hopf分支*

曾小彩，熊佐亮

(1.江西師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)信學(xué)院，江西 鷹潭 335000;2.南昌大學(xué) 理學(xué)院，南昌 330000)

1 引言

在文獻(xiàn)[1]中，研究了以下n維Goodwin模型

(1)

其中x1(t),xi(t)(i=2,3,…,n)分別表示t時(shí)刻mRNA，蛋白質(zhì)的濃度，τi>0(i=2,3,…,n)表示轉(zhuǎn)錄和轉(zhuǎn)譯時(shí)滯，μi>0(i=2,3,…,n)為動(dòng)力學(xué)常數(shù)，對(duì)系統(tǒng)(1)詳細(xì)的解釋見文獻(xiàn)[1-4].

對(duì)于系統(tǒng)(1)，在文獻(xiàn)[1]中已經(jīng)獲得了其正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和局部Hopf分支的存在性，而關(guān)于系統(tǒng)(1)全局Hopf分支的結(jié)果尚未討論和研究.我們知道從局部分支出來的的周期解只是在分支值的小領(lǐng)域內(nèi)存在，對(duì)于局部周期解的延拓即全局周期解是否存在有著重要的實(shí)際意義.本文中，我們利用吳建宏等人建立的全局Hopf分支定理研究了系統(tǒng)(1)的全局Hopf分支，并給出了數(shù)值模擬以進(jìn)一步驗(yàn)證我們所得到的結(jié)論.有關(guān)更多時(shí)滯微分方程全局Hopf分支的討論可見文獻(xiàn)[5-7].

證明系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)E線性部分的特征方程為

λn+P1λn-1+P2λn-2+…+Pn-1λ+Pn+Qe-λτ=0.

(2)

假設(shè)λ=iω(ω>0)是方程(2)的根，代入分離實(shí)部和虛部，可得

(3)

當(dāng)n=2k時(shí)，有

(4)

當(dāng)n=2k+1時(shí),(3)式兩邊平方相加得

ω2n+D2ω2(n-1)+D4ω2(n-2)+…+D2(n-2)ω4+D2(n-1)ω2+D2n=0.

(5)

其中

?

H(z)=zn+D2zn-1+D4zn-2+…+D2(n-2)z2+D2(n-1)z+D2n.

(6)

如果D2k>0,k=1,2…,n.可知H(0)=D2n>0.且

H′(z)=nzn-1+(n-1)D2zn-2+(n-2)D4zn-3+…+2D2(n-2)z+D2(n-1).

由于z>0,知方程(5)沒有實(shí)根，從而方程(2)沒有純虛根.

(7)

其中M1(ω)=-[(-1)kωn+(-1)k-1ωn-2P2+…-ω2Pn-2+Pn],

M2(ω)=-[(-1)kωn-1P1+(-1)k-1ωn-3P3+…-ω2Pn-2+Pn].

引理2若D2k>0,k=1,2…,n.且則對(duì)所有的τ>0，(2)式?jīng)]有實(shí)根.

引理4對(duì)于系統(tǒng)(1)，有如下結(jié)論成立：

2 全局Hopf分支分析

由引理4可知，當(dāng)τ=τj,j=0,1,2,…n時(shí)，系統(tǒng)(1)在正平衡點(diǎn)處經(jīng)歷了局部Hopf分支.接下來，我們將利用全局Hopf分支定理研究系統(tǒng)(1)在正平衡點(diǎn)處的由局部Hopf分支延拓的全局周期解的存在性,相關(guān)文獻(xiàn)[8-9].

目前，正陽縣已有300多名農(nóng)村青年民兵參與“正陽?！敝脖７?wù)隊(duì)，全縣共擁有136家“正陽牛”打藥分隊(duì)和287臺(tái)自走式高地隙打藥機(jī)械、植保無人機(jī)6架，產(chǎn)值達(dá)1500萬元。2018年累計(jì)噴藥100多萬畝，并承接了2018年正陽縣部分小麥條繡病的統(tǒng)防統(tǒng)治工作。從此，牛超打響了“正陽?！敝脖７?wù)的品牌。

(8)

(H3)F(Φ,τ,p)關(guān)于Φ是可導(dǎo)的.

引理6當(dāng)τ有界時(shí)，系統(tǒng)(8)的所有非常數(shù)周期解是一致有界的.

證明令x1(t),x2(t),…,xn(t)是(8)的解且定義

其意味著系統(tǒng)(8)的解不能橫截穿過x軸和y軸，因此系統(tǒng)(8)的周期軌道必定位于每個(gè)象限中.由系統(tǒng)(8)的初值可知，對(duì)所有的t≥0,有xi(t)>0(i=1,2,…,n).且有

(9)

由(9)式可得q/(1+Q2)≤xn(ξn)≤q,即系統(tǒng)(1)的非常數(shù)周期解是一致有界的.

引理7系統(tǒng)(1)沒有周期為τ的非常數(shù)周期解.

證明假設(shè)系統(tǒng)(1)有周期為τ的非常數(shù)周期解，則如下系統(tǒng)有非常數(shù)周期解：

(10)

顯然，系統(tǒng)(10)和系統(tǒng)(1)有著相同的平衡點(diǎn)，注意到系統(tǒng)(10)的周期軌道不會(huì)穿過x1軸，x2軸，…，xn軸，因此，沒有解會(huì)穿過坐標(biāo)軸.另一方面，假設(shè)系統(tǒng)(1)有周期解，非常數(shù)周期解一定位于第一象限.在第一象限中，我們知道唯一的正周期解E是全局漸近穩(wěn)定的.因此，系統(tǒng)(1)沒有非常數(shù)周期解.

定理1如果條件(H1),(H2)和(H3)都滿足，則對(duì)于每個(gè)τ>τj,j≥1,系統(tǒng)(8)至少有j-1個(gè)周期解.

證明由第一部分的討論可知(E,τj,2π/ω)是一個(gè)孤立的中心，則存在>0,δ>0和光滑曲線λ∶(τj-δ,τj+δ)→C，使得對(duì)任意τ∈[τj-δ,τj+δ],有

則有橫截?cái)?shù)

圖1 數(shù)值模擬圖

從(7)式知，當(dāng)j>0,有2π/ω<τj.由引理7，當(dāng)τ=0時(shí)，系統(tǒng)(8)沒有非常數(shù)周期解，因此連通分支(E,τj,2π/ω)在τ空間的投影是有下界.如果連通分支(E,τj,2π/ω)在τ空間的投影是有界的，且包含于(0,τ*),τ*>τj.由引理4可知，當(dāng)時(shí)，有p<τ*.意味著連通分支(E,τj,2π/ω)在τ空間的投影是有界的.因此，要使連通分支(E,τj,2π/ω)無界，必須滿足連通分支(E,τj,2π/ω)在τ空間的投影無界，即連通分支(E,τj,2π/ω)在τ空間的投影區(qū)間包含[τj,∞),因此，當(dāng)τ>τj,j≥1系統(tǒng)(8)至少有j-1個(gè)周期解. 證畢

3 小結(jié)

本文研究了一類具有多時(shí)滯的n維Goodwin模型在正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支.當(dāng)參數(shù)τ通過一個(gè)臨界值時(shí)，系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)處產(chǎn)生局部Hopf分支,進(jìn)一步，利用吳建宏等人建立的一般泛函微分方程的全局Hopf分支定理，研究了該模型以時(shí)滯τ為參數(shù)的全局Hopf分支的存在性，最后給出一個(gè)例子結(jié)合數(shù)值模擬驗(yàn)證了得到的結(jié)果.