鐘世萍,曾姚姚
(贛南師范大學 數(shù)學與計算機科學學院,江西 贛州 341000)
附加affinor結構q和度量g的微分流形(M,g,q)的研究受到廣泛的關注,其中很多學者研究的是q滿足一些二階的恒等式q2=±id(稱為近復結構或仿近復結構)[1-4],另外K.Yano 和S.Ishihara[5]系統(tǒng)地研究了q滿足三階方程q3+q=0的流形(M,g,q).此外,I. Dokuzova 等人不僅研究了循環(huán)結構q滿足三階恒等式q3=±id,q≠id的流形(M,g,q),而且還探討了(反)循環(huán)結構q滿足四階恒等式q4=id,q2≠id和q4=-id的流形(M,g,q)等等[6-11].最近,I. Dokuzova等人[8,10]討論了具有特殊循環(huán)結構的4-維李群.本文將研究具有反循環(huán)和anti-abelian結構的4-維李群.
設M是一個4-維黎曼流形,在M上任一點p的切空間TpM上賦予一個張量結構S.在給定一個基底時,S是一個反循環(huán)矩陣(稱S為反循環(huán)結構),具體如下:
(1)
則S有以下性質S4=-id,
(2)
設度量g和結構S滿足
g(Sx,Sy)=g(x,y),x,y∈Γ(TpM).
(3)
由(1)和(3)可得,度量g結構如下:
(4)
在本文中x,y,z,u都是代表M上的光滑向量場或TpM中向量.本文使用Einstein求和符號,i,j,k,a,b取值始終為{1,2,3,4}.
R(x,y)z=xyz-yxz-[x,y]z,
(5)
R(x,y,z,u)=g(R(x,y)z,u).
(6)
Ricci張量ρ,數(shù)量曲率τ以及它的關聯(lián)的數(shù)量曲率τ*分別定義為
ρ(y,z)=gijR(ei,y,z,ej),
(7)
(8)
(9)
設G是4-維實李群,(η,[,])是在基{x1,x2,x3,x4}下的李代數(shù),定義反循環(huán)結構S,度量g和括號[,]:
Sx1=x2,Sx2=x3,Sx3=x4,Sx4=-x1,
(10)
(11)
?Sxi,Sxj」=-?xi,xj」,i.e.,S是anti-abelian 結構.
(12)
以此方式引入的流形用(G,g,S,[,])表示,稱(G,g,S,[,])為具有反循環(huán)和anti-abelian結構的4-維李群.
下面,我們考慮一類4-維李群(G,g,S,[,])的曲率性質.設
[x1,x2]=-[x1,x4]=-[x2,x3]=[x3,x4]=λ1x1+λ2x2+λ3x3+λ4x4
[x1,x3]=-[x2,x4]=(-λ2-λ4)x1+(λ1-λ3)x2+(λ2-λ4)x3+(λ1+λ3)x4,
(13)
其中λi∈R.我們發(fā)現(xiàn)由(13)確定的李代數(shù)(η,[,])所決定的李群(G,g,S,[,])具有一個anti-abelian結構S.上述(13)可以通過(10)(11)以及Jacobi恒等式得到.
引理1xixj可得到如下結果:
x1x1=λ1(x4-x2)+x3(λ2+λ4),x1x2=λ1x1+λ3x3,x1x3=λ3(x4-x2)-x1(λ2+λ4),
(14)
證明由(11)(13)以及著名的Koszul公式2g(xixj,xk)=g([xi,xj],xk+g([xk,xi],xj)+g([xk,xj],xi),我們可以計算xixj如式(14).
引理2曲率張量R=Rijkl的非零部分,結果如下:
(15)
證明利用(5)(6)(11)(13)(14),計算得到曲率張量R=Rijkl的非零部分如式(15).
引理3Ricci張量ρ=(ρij)如下:
(16)
證明根據(jù)(7)(11)(15),計算得到Ricci張量ρ=(ρij)如式(16).
(17)
引理4數(shù)量曲率τ以及它的關聯(lián)量τ*如下:
(18)
證明應用(8)(11)(16)(17),得到數(shù)量曲率τ以及它的關聯(lián)量τ*如式(18).
根據(jù)引理2-4,我們有
定理1若(G,η,S)是一個具有如(13)所示的李代數(shù)(η,[,])的流形,則:
根據(jù)定理1,我們有
推論1若(G,η,S)是一個有如下所示的李代數(shù)(η,[,])的流形[x1,x2]=-[x1,x4]=-[x2,x3]=[x3,x4]=λ1x1+λ1x3+λ4x4,[x1,x3]=-[x2,x4]=-λ4x1-λ4x3+2λ1x4,則
推論2若(G,η,S)是一個帶有如下所示的李代數(shù)(η,[,])的流形
[x1,x2]=-[x1,x4]=-[x2,x3]=[x3,x4]=(λ2+λ4)x1+λ2x2+(λ4-λ2)x3+λ4x4,
[x1,x3]=-[x2,x4]=(-λ2-λ4)x1+2λ2x2+(λ2-λ4)x3+2λ4x4,則
R1213=R2434=-2(λ2+λ4)λ4,R1224=R1334=2λ2(λ4-λ2),
R1413=R2423=2(λ2+λ4)λ2,R2414=R2313=2(λ4-λ2)λ4,R1212=R2334=-R1214=-2λ2λ4.
ρ23=-4(λ4+λ2)λ4,ρ24=-4λ2λ4,ρ34=-4(λ4+λ2)λ2.