素材美中尋，設(shè)問動中找

劉鑫

[摘 ?要] 以60°、120°、60°、120°為內(nèi)角的一般平行四邊形和菱形，是教材中很常見的兩種圖形，它們組合起來的圖形端莊、美觀，用它們作為命題素材，從中能探究出有價值的結(jié)論.

[關(guān)鍵詞] 江西中考;動態(tài)探究;命題過程

2019年江西省中考數(shù)學第22題是一道動態(tài)探究型試題，是幾何壓軸題. 現(xiàn)將該試題的命制過程展現(xiàn)出來，與大家分享.

試題呈現(xiàn)

在圖1、2、3中，已知？荀ABCD，∠ABC=120°，點E為線段BC上的動點，連接AE，以AE為邊向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°.

（1）如圖1，當點E與點B重合時，∠CEF=______°.

（2）如圖2，連接AF，

①填空：∠FAD______∠EAB（填“>”“<”“=”）;

②求證：點F在∠ABC的平分線上.

（3）如圖3，連接EG，DG，并延長DG交BA的延長線于點H，當四邊形AEGH是平行四邊形時，求 的值.

命題過程

（一）素材美中尋

1. 素材的粗選——研究后的頓悟

根據(jù)江西省近幾年中考試題的特色、《考前指導》的精神和第22題的定位，它應(yīng)當是一道平面幾何探究題，是一道直線形幾何綜合題.

一開始，根據(jù)命題組商定和雙向細目表的安排，準備用圖4作為素材命制這道題. 這個素材的產(chǎn)生，可以說是命題組的教師們對中考試題研究后的頓悟.

圖4中幾何元素間的關(guān)系是：矩形ABCD中，點E為線段BC上的一個動點，連接AE，以AE為邊向上作等腰三角形AEF.

經(jīng)過七稿的打磨后發(fā)現(xiàn)，用圖4作為素材命制出來的試題單調(diào)、乏味;并且在查重時發(fā)現(xiàn)，圖4與2018年其他省的一道試題的圖形雷同，于是放棄用圖4作為第22題的命題素材.

2. 素材的加工——素材美中尋

由于命題時間緊迫，命題組決定，不再另選素材，而是對圖4進行改編、加工——把“矩形ABCD”改為“平行四邊形ABCD”，把“以AE為邊向上作等腰三角形AEF”改為“以AE為邊向上作菱形AEFG”，其他不變，大致圖形如圖5所示.

大家都知道，平行四邊形和菱形因其“傾斜程度”不同，其形狀千差萬別，為了選取恰當?shù)钠叫兴倪呅魏土庑危}組用幾何畫板進行了一系列的比對、篩選.

最后發(fā)現(xiàn)，當∠BAD=60°且∠EAG=120°時（即：平行四邊形ABCD和菱形AEFG的內(nèi)角都為60°、120°、60°、120°），圖形最為美——比例協(xié)調(diào)、線條簡潔、重心平穩(wěn)，其中的兩個平行四邊形也是教材中最常見的平行四邊形;而當∠BAD≠60°或∠EAG≠120°時，圖形重心不穩(wěn)、比例不協(xié)調(diào).

（二）設(shè)問動中找

1. 規(guī)律性設(shè)問的來源——尋找變化中的不變性

利用幾何畫板，對點E進行拖動，就會發(fā)現(xiàn)隨著點E的運動，菱形AEFG的大小在變化，利用幾何畫板的追蹤功能，對點F和點G進行追蹤就會發(fā)現(xiàn)，它們留下的痕跡分別是兩條線段l 和l （如圖6）.

如何理解線段l 呢？——認真觀察、分析就會發(fā)現(xiàn)，線段l 就相當于是線段BC繞點B旋轉(zhuǎn)60°得到的：因為點F可以看作是點E繞點A旋轉(zhuǎn)60°得到的，這樣，射線BF與BA，BC的夾角都是60°.

于是，我們得到猜想：點F在∠ABC的平分線上.

對于線段l ，命題組沒有找到有價值的結(jié)論，也沒有在上面進行深挖.

2. 綜合性設(shè)問的來源——抓住特定的瞬間

為了尋找更綜合的問題，命題組在圖6的基礎(chǔ)上刪除線段l ，l 和射線BF，增加了兩條射線：射線DG和射線BA，它們相交于點H，并連接線段GE（如圖7）

利用幾何畫板，拖動點E，就會發(fā)現(xiàn)有兩處特殊的位置關(guān)系：一是線段GE∥HB（如圖8），二是點D，F(xiàn)，G，H四點共線（如圖9）.

但是，單獨拖動一個點E，不一定能使得GE∥HB和D，F(xiàn)，G，H四點共線同時出現(xiàn);只有同時拖動點E，B兩點，或同時拖動點E，C兩點時，才會“偶爾”出現(xiàn)這種特定的位置關(guān)系，也就是說，既要改變BE的長，又要改變AB或BC的長，才能出現(xiàn)這種特定的位置關(guān)系.

什么情況下會出現(xiàn)GE∥HB呢？

執(zhí)果索因，很容易倒推得到：因為∠AEF=60°，要使GE∥HB，就必須滿足∠BAE=∠AEG=30°，此時BE=AB.

什么情況下會出現(xiàn)D，F(xiàn)，G，H四點共線呢？

初步分析可知，當D，F(xiàn)，G，H四點共線時，DH必須與AE平行.

所以，問“什么情況下，GE∥HB和D，F(xiàn)，G，H四點共線同時出現(xiàn)”就等同于問“什么情況下，四邊形AEGH是平行四邊形”.

作為幾何壓軸題，這個問題該怎么問呢？

下面介紹我們命題組是怎樣打磨這個問題的.

我們按照圖10至圖13的順序，進行手工畫圖：

①如圖10，首先畫好？荀ABCD的一部分（暫時不確定點C，D的具體、準確位置），使得∠ABP=120°，同時在射線BP上截取BE=AB（以保證GE∥AB）;連接AE，以AE為邊向上作菱形AEFG，使得∠EAG=120°，并作射線BA.

②如圖11，沿箭頭方向分別延長線段GF和線段FG.

③如圖12，直線GF交射線BA于點H，交射線AQ邊于點D.

④如圖13，過點D作DC∥AB交射線BP于點C，完成？荀ABCD的畫圖.

利用圖13，可以得到這樣的結(jié)論——當 =3，且BE=AB時，四邊形AEGH是平行四邊形.

（三）設(shè)問排列細斟酌

綜合種種因素，最后決定：在點E的“起步”位置設(shè)置一個簡單的填空作為問題（1），并提供相應(yīng)的圖1;把猜想“點F在∠ABC的平分線上”作為第2問，為了降低難度，在它前面還增加一個鋪墊性的填空“∠FAD______∠EAB（填“>”“<”“=”）”;把綜合性的結(jié)論“當 =3，且BE=AB時，四邊形AEGH是平行四邊形”倒過來設(shè)問，并把它作為最后一問.

試題題干采用“通覽式”的表述：“在圖1、2、3中……”，這樣，就不再糾結(jié)圖1與圖2的排列順序了.

試題簡析

（一）綜合性強

本試題只有77個漢字，圖文簡潔、明了，表述準確，幾何元素間的關(guān)系簡單、清晰，綜合地考查了線段、角度、三角形、全等三角形、四邊形、平行四邊形（特別是特殊平行四邊形）等幾何知識;考查了分類討論、幾何變換等數(shù)學思想方法;考查了綜合應(yīng)用所學知識分析問題、解決問題的能力和探究能力;考查了邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng).

（二）入手易，區(qū)分度好

閱卷中發(fā)現(xiàn)，絕大部分學生都能正確回答問題（1）和問題（2）的第一小問，這說明達到了我們的送分目的.

閱卷中還發(fā)現(xiàn)，考生在證明點F在∠ABC的平分線上時，思路廣闊，思維靈活，方法很多.

抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)，本試題平均分為2.72，說明入手易，有區(qū)分度，起到了壓軸效果，體現(xiàn)了選拔功能.

（三）導向性好

本試題取材于教材，有力地考查了學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，還體現(xiàn)了信息技術(shù)與學科的深度融合，表現(xiàn)了很好的導向性.