淺談?wù)w思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

姜華文

[摘 ?要] 新課改風(fēng)向標(biāo)下，數(shù)學(xué)思想的滲透始終是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，而整體思想在數(shù)學(xué)思想中占據(jù)主要地位，有著廣泛的應(yīng)用性，是貫穿初中數(shù)學(xué)解題領(lǐng)域的主線之一. 因此，關(guān)注到整體思想在解題中的應(yīng)用具有重要的現(xiàn)實(shí)意義. 對(duì)此，文章的重點(diǎn)從求值問(wèn)題、方程問(wèn)題和應(yīng)用問(wèn)題入手，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)解題思維，滲透整體思想，最終讓數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)課堂落地生根.

[關(guān)鍵詞] 整體思想;數(shù)學(xué)解題;思想方法;數(shù)學(xué)思維

新課程改革推進(jìn)下，明確提出了“四基”理念，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要意義. 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的核心內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)解題中最具生命力的存在，是遺忘數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)方法之后還需保留的思維方式.

初中階段常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想眾多，整體思想則占據(jù)主要地位，有著廣泛的應(yīng)用性，是貫穿初中數(shù)學(xué)解題領(lǐng)域的主線之一，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決有著意想不到的作用，也是后續(xù)高中數(shù)學(xué)解題中的基本內(nèi)容之一，因此整體思想一直是中考命題的重心. 整體思想就是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體處理的解題方法，它的表現(xiàn)形式多種多樣，有整體代換、整體變形、整體設(shè)元等. 本文將以數(shù)學(xué)解題中的整體思想為主線進(jìn)行全面梳理，充分挖掘其中蘊(yùn)含的解題策略，以期在解題教學(xué)中能更充分地發(fā)揮數(shù)學(xué)思想的教育教學(xué)價(jià)值，有助于培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平.

求值問(wèn)題中運(yùn)用整體思想可化繁為簡(jiǎn)

用整體的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)法則，用整體的觀點(diǎn)分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性、敏捷性，從而提高解決問(wèn)題的效率. 初中數(shù)學(xué)中的代數(shù)式求值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與式”中的重點(diǎn)題型，往往在歷年中考中扮演著極其重要的角色. 這類題目呈現(xiàn)的是一個(gè)含有未知變量的等式，然若通過(guò)常規(guī)思維去求未知變量并代入求解，則會(huì)生成相當(dāng)大的計(jì)算量，過(guò)程相當(dāng)煩瑣，有些甚至無(wú)法下手. 但若運(yùn)用整體思想靈活進(jìn)行整體代換，則可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

例1 ?已知4c2-c-6=0，試求出8c2-2c-5的值.

分析 ?該題涉及代數(shù)式的求值問(wèn)題，而學(xué)生較為熟悉的常規(guī)解題思路則是求出具體的c的值，然后代入得出代數(shù)式的值. 其一，觀察求值式子可以看出所求的是一個(gè)關(guān)于c的多項(xiàng)式，自然就需要挖掘條件4c2-c-6=0去求出具體的值. 而很顯然條件4c2-c-6=0無(wú)法輕易進(jìn)行因式分解，那么未知數(shù)c的值就很難得出了. 再轉(zhuǎn)換思路，從一元二次方程的求根公式著手進(jìn)行求解，盡管理論上是可行的，但解題過(guò)程相當(dāng)?shù)臒┈?，也極易出錯(cuò). 于是這兩種常規(guī)的解題思路自然是不可行的. 再深入觀察并分析，可關(guān)注到未知式中的部分“8c2-2c”剛好是已知式中的部分“4c2-c”的兩倍，那么這里就很顯然考查了學(xué)生的整體思想. 不難想到進(jìn)行恒等變形，將已知式變形為4c2-c=6，未知式中的8c2-2c變形為2（4c2-c），那么問(wèn)題便迎刃而解了.

例2 ?已知x2-3x=6，試求出6x-2x2的值.

分析 ?本例題乍一看已知式與未知式之間似乎毫無(wú)關(guān)聯(lián)，而深入觀察則可發(fā)現(xiàn)之間存在著密切的內(nèi)在聯(lián)系. 事實(shí)上，未知式是已知式相反數(shù)的2倍，有了這一思路，我們便可以將已知式x2-3x=6變形為3x-x2=-6，再將式子兩邊同時(shí)乘以2，即可快速求得未知式的值.

上述兩道例題關(guān)注到了整體思想的合理運(yùn)用，同時(shí)也是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和解題能力的一種考查，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升有一定助推作用. 由此可以看出，不少代數(shù)求值類問(wèn)題若拘泥于常規(guī)解法，則很難進(jìn)行突破，易形成舉步維艱的局勢(shì). 而用整體思想進(jìn)行解題，則可以快速而準(zhǔn)確地把握解題的方法和策略，則可以達(dá)到柳暗花明、一舉成功的效果，讓問(wèn)題解決得清晰明了，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

解方程問(wèn)題中運(yùn)用整體思想可曲徑通幽

在初中階段的數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)中，整體換元法是時(shí)常會(huì)用到的一種數(shù)學(xué)思想方法，一般運(yùn)用于解方程或方程組問(wèn)題中，掌握并應(yīng)用好這一思想方法可以提高解題能力. 所謂的整體換元法，就是在解題過(guò)程中，將某個(gè)式子視為一個(gè)整體，以一個(gè)變量取而代之，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化解決. 事實(shí)上，整體換元法的運(yùn)用不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生減少不必要的運(yùn)算量，達(dá)到提升運(yùn)算速度，掌握速算技巧的目的，還有助于學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，從而為學(xué)生在中考取得較好的成績(jī)謀求最大利益.

例3 ?已知12x2-4x+1= ，試求出x的值.

分析 ?該題涉及方程問(wèn)題的解決，若從一般思路出發(fā)謀求解題路徑，則需去除等式右側(cè)的分母，那么式子兩側(cè)就需同時(shí)乘以6x2-2x，并整理. 很顯然，此時(shí)式子的未知數(shù)的最高次項(xiàng)為四次，等式的復(fù)雜不言而喻，對(duì)下一步的計(jì)算造成了較大的壓力. 而從式子的整體著手，認(rèn)真觀察方程的結(jié)構(gòu)可以看出6x2-2x是12x2-4x的一半，那么只需令y=6x2-2x，所以2y=12x2-4x，化簡(jiǎn)式子可得2y+1= ，等式兩側(cè)同時(shí)乘以y，整理可得2y2+y-3=0，這樣一來(lái)，y的值即可快速求出. 而又因?yàn)閥=6x2-2x，那么再求出x的值就十分簡(jiǎn)捷了.

例4 ?解方程組2x+3y=12①，7x-17y=97②.

分析 ?本題若從常規(guī)換元出發(fā)進(jìn)行求解，則可設(shè)2x=6+t，3y=6-t，則有x=3+ ，y=2- . 很顯然，這樣一來(lái)分式也隨之出現(xiàn)了，為進(jìn)一步運(yùn)算帶來(lái)了很大的麻煩. 而我們換一種換元思路，去設(shè)2x=6+6t，3y=6-6t，則有x=3+3t，y=2-2t，這樣一來(lái)則可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題效果.

以上題型熟悉且不常見(jiàn)，較易入手且又富有一定的思考價(jià)值，重點(diǎn)考查了學(xué)生整體思想的運(yùn)用，并與新課標(biāo)理念相融合，這樣的題型指引為后面的中考復(fù)習(xí)指明了正確的方向. 由此可見(jiàn)，整體換元法具有廣泛的應(yīng)用性和普遍性，熟練掌握換元法可以為數(shù)學(xué)解題創(chuàng)造更多的契機(jī). 合理應(yīng)用整體換元法可化難為易、化繁為簡(jiǎn)，為解決復(fù)雜的方程和方程組問(wèn)題供給重要的解題工具.

應(yīng)用問(wèn)題中運(yùn)用整體思想可另辟蹊徑

數(shù)學(xué)解題推崇的就是簡(jiǎn)捷，因此在解決一些數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)若能著眼于整體深入觀察，則可以觸及問(wèn)題本質(zhì)，獲得簡(jiǎn)捷的解法. 在應(yīng)用問(wèn)題中運(yùn)用整體思想，不僅達(dá)到另辟蹊徑、出奇制勝的效果 ，還有助于學(xué)生思維敏捷性的培養(yǎng).

例5 ?小明、小紅和小剛是好朋友，小紅和小明從各自的家中出發(fā)，并朝著對(duì)方家的方向前進(jìn)，小紅與小明兩家相距30 km，小紅的步行速度為1 km/h，小明的步行速度為2 km/h. 而小剛與他們不同，三人同時(shí)出發(fā)，但它在小紅與小明相遇前騎著自行車以5 km/h的速度在二人之間進(jìn)行往返運(yùn)動(dòng)，直至兩人相遇. 那么，小剛從小紅和小明出發(fā)直至相遇共騎行路程為多少？

分析 ?通過(guò)反復(fù)解讀不難得出這里要求的是小剛一共所騎行的距離，那么就需得出小剛在遇到小紅與小明二人其中之一時(shí)所走的路程，然后將各段所行路程相加即為所求距離. 這一方法進(jìn)行解題則是源于小剛在不斷往返中與小紅和小明多次遇見(jiàn)，若逐個(gè)分析并累計(jì)計(jì)算路程，不少學(xué)生會(huì)因?yàn)榇螖?shù)繁多而造成疏忽，顯然計(jì)算錯(cuò)誤是無(wú)法避免的. 若此處利用整體思想進(jìn)行解決，根本不需經(jīng)歷煩瑣的計(jì)算，只需根據(jù)公式“路程=速度×?xí)r間”計(jì)算即可. 因?yàn)樾偟男旭偹俣仁且阎?，時(shí)間即為小紅與小明兩人相遇所用時(shí)間，這樣一來(lái)，解題思路清晰明了，解題策略也甚是巧妙，更不可能出現(xiàn)計(jì)算上的錯(cuò)誤，真是一舉兩得.

解題的目標(biāo)就是為了達(dá)到思維和能力提升的目的，此處通過(guò)整體思想對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行“再創(chuàng)造”即達(dá)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的目的. 通過(guò)以上例題可以看出整體思想在應(yīng)用問(wèn)題中的作用，這一方法應(yīng)用所取得的效果是其他解題策略所無(wú)法達(dá)到的，從而體現(xiàn)了“整體思想”的重要性.

總之，數(shù)學(xué)思想是形成數(shù)學(xué)能力的催化劑，是促進(jìn)數(shù)學(xué)解題的靈魂. 在中考中，幾乎每一個(gè)把關(guān)題和探究題都蘊(yùn)含著一種以上的數(shù)學(xué)思想. 我們只有在教學(xué)中不斷滲透整體、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等多種數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生勤于總結(jié)，勇于反思，從解題策略中反復(fù)提煉理論精華，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用，達(dá)到提升數(shù)學(xué)思維的目的，最終讓數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)課堂落地生根.