量子力學中的可能值與平均值

高峰，張登玉，彭瓊

(衡陽師范學院 物理與電子工程學院，湖南 衡陽 421002)

到十九世紀末，關于機械運動、熱現(xiàn)象、電磁現(xiàn)象及光的經(jīng)典物理學已經(jīng)建立了非常完善的理論體系，人們認為所有的物理規(guī)律都已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)，今后的工作只需要進行更精確地計算來完善物理學，并把這些規(guī)律運用到生產(chǎn)實踐和生活中。但是，在十九世紀與二十世紀交替的年代里，人們發(fā)現(xiàn)問題很多：令人難以捉摸的熱輻射現(xiàn)象，神奇的光電效應，不守規(guī)矩的低溫下固體的比熱等等，經(jīng)典物理學都無能為力。龐大的經(jīng)典物理學大廈開始出現(xiàn)了裂縫，特別是在解決黑體輻射問題中面臨的紫外災難及邁克爾遜—莫雷實驗對以太的否定被號稱為物理學晴朗的天空中存在的兩朵烏云，使得當時幾乎所有的物理學家都寢食難安。然而，正是這兩朵令人不安的烏云卻轉(zhuǎn)化成了近代物理學誕生的彩霞，導致了量子力學和相對論物理的誕生，為爾后不斷涌現(xiàn)的高科技、新學科、新技術的發(fā)展奠定了基礎[1]。

量子力學是反映微觀粒子(原子、電子、離子、原子核、基本粒子等)運動規(guī)律的科學。自從1900年12月17日德國物理學家普朗克(M.Plank)在柏林科學院物理學會的一次會議上，作關于嘗試克服黑體輻射困難的報告中首次提出了能量子思想，至今已過去了近120年。如今，隨著人們對自然現(xiàn)象研究的不斷深入，完整的量子物理學理論已經(jīng)在化學、生物學、材料學、宇宙學、信息科學等自然科學領域和許多近代技術中得等到了越來越廣泛的應用[2-3]。

在經(jīng)典力學中，任何物體的運動都可以被精確確定，描寫物體運動學特性和動力學特性的物理量(如坐標、動量、角動量、能量等)在任何時刻都具有確定的數(shù)值。然而，在量子力學中，因為微觀粒子具有波粒二象性，許多物理量就不能同時具有確定值，例如坐標和動量、時間和能量等，因此微觀粒子沒有確定的運動軌跡，描寫它們運動學特性和動力學特性的物理量就具有了統(tǒng)計意義。盡管我們無法準確確定微觀粒子在某一時刻的物理量數(shù)值，不過可以根據(jù)量子力學原理得到各個力學量可能的取值及其測得各可能值的概率，例如通過求解力學量算符的本征方程就可以求得該力學量的本征值，測量該力學量的可能值就是相應力學量算符的本征值。因此，研究力學量的可能值及其在任意態(tài)的平均值是量子力學中的重要內(nèi)容[4]。本文主要介紹力學量可能值與平均值的基本知識及計算力學量可能值與平均值的基本方法，通過一些典型事例分析如何正確使用這些方法。

1 可能值與平均值

量子力學中的可能值是指某力學量可能取得的數(shù)值。前面已指出，由于微觀粒子的波粒二象性，使得經(jīng)典物理學中所定義的力學量在量子力學中有了新的意義，比如說，在某一時刻去測量粒子的坐標、動量、角動量、能量和時間等等，而試圖指明它們各具多少數(shù)值，就毫無意義了。事實上，量子力學中的力學量必須用算符表示，力學量算符的本征方程及薛定諤(Erwin Schr?dinger)方程告訴我們，所有力學量都具有一系列可能的取值。因此，求解力學量算符的本征方程就是獲知力學量可能值的一種基本方法，下面證明測量某力學量的可能值就是該力學量算符的本征值。

根據(jù)量子力學的算符理論，任意態(tài)|ψ>可按一

由(7)式可知，Q?在|ψ>中 的Q值就獨立地分屬于 各分波了，其中λn為Q?在|n>中的Q值，|Cn|2則為對應分波的強度，總的Q值就等于各分波之Q值之和。所以，將態(tài)按照Q?的本征態(tài)實行譜的分解，可看作是對力學量Q進行的測量。假定入射粒子處于Q?的本征態(tài)|1>，對應的本征值為λ1，按態(tài)的運動規(guī)律，它將到達接收器 ；如果處于Q?的本征態(tài)|2>，對應本征值為λ2的粒子將到達接收器 ；等等。因此，接收器顯示的每一結果將與Q?的一個確定的本征態(tài)和本征值相對應，如圖1所示。

圖1 態(tài)的譜分解圖

2 可能值和平均值的計算方法

在量子力學中，計算力學量的可能值和平均值是十分重要的內(nèi)容。一般來說，計算力學量可能值有三種方法：(1)直接求解相應力學量算符的本征方程；(2)將給定的狀態(tài)波函數(shù)按相應力學量算符的本征態(tài)展開，通過比較得出力學量的可能值；(3)利用算符的對易關系進行計算，例如通過引入上升算符和下降算符(J?±=J?x±iJ?y)可以求得任意角動量平方算符J?2及其z分量算符J?z的本征值。在具體計算過程中，到底使用何種計算方法，要根據(jù)具體問題所給出的已知條件及計算要求而定。力學量平均值的計算通常有兩種方法：狀態(tài)平均法和概率平均法。狀態(tài)平均法是計算平均值的一般方法，在已經(jīng)給定狀態(tài)函數(shù)的情況下，直接使用(9)式或(10)式進行計算。概率平均法是在已知或容易得到力學量各可能值及其取各可能值的概率的情況下，使用(7)式進行計算。但是概率平均法僅在力學量算符具有分離譜的情況下使用才是比較合適的，如果力學量算符具有連續(xù)譜時使用這種方法，計算仍然是不容易或不可能的。下面結合具體實例進一步說明在何種情況下使用哪種計算方法比較簡單方便。

求粒子能?量的可能值及其相應的概率、能量的平均值。

解題分析：本題要求三個物理量，前面介紹了三種求力學量可能值的方法，求解相應力學量算符的本征方程是一般方法，相對說來這種方法比較復雜，后面兩種方法只能在特殊情況下才能使用?？疾煲幌卤绢}給出的波函數(shù)，它是由三角函數(shù)表示的，而一維無限深勢阱中的粒子的哈密頓算符(或能量算符)的本征函數(shù)也是三角函數(shù)，因此可以考慮將題目所給出的波函數(shù)按照一維無限深勢阱中的粒子的哈密頓算符的本征函數(shù)展開。對于這類問題，特別要注意到利用三角函數(shù)的相關公式(如平方公式、倍角公式、積化和差及和差化積公式、等等)，而不需要按照使用(5)、(6)式的常規(guī)展開方法去展開。寬度為a的一維無限深勢阱中粒子哈密頓算符的本征函數(shù)及本征值分別為

求動量的可能值及平均值。

解題分析：從本題已知的波函數(shù)來看，其形式是比較簡單的，但若使用狀態(tài)平均法來計算，則有該積分不收斂，所以不能使用狀態(tài)平均法。現(xiàn)使用尤拉公式，有

在本實例中，因為粒子的定態(tài)波函數(shù)不是平方可積的，所以無法使用狀態(tài)平均法計算粒子的動量平均值，但使用概率平均法卻是有效的。

3 分析與討論

量子力學是近代物理學的兩大支柱之一，力學量算符理論是量子力學的核心內(nèi)容[5]，本文主要討論了量子力學中力學量的可能值和平均值的計算方法，由前面的分析可以得知計算力學量的可能值和平均值都有多種方法。在解決具體問題時到底使用何種方法，一定要根據(jù)具體情況靈活選擇合適的方法。計算方法選擇得適當，可以起到事半功倍的效果，否則，可能計算過程十分復雜，甚至無法得到所要的計算結果。特別是計算力學量的平均值時，狀態(tài)平均法即(9)式或(10)式的使用是有條件的，條件就是狀態(tài)函數(shù)必須是平方可積的，如實例三就不能用該方法計算。若要概率平均法和狀態(tài)平均法都能夠使用，通常情況下這要求(5)式中的級數(shù)|∑|m>Cm要一致收斂于|ψ>[6]，一致收斂的要求是比較高的，一般情況下，只要求平均收斂或者說均方收斂就可以了[7-8]。概率平均法的使用雖然沒有條件限制，也只能在可以方便地求得力學量可能值及其相應的取值概率的情況下使用才是合適的?？傊?，在計算力學量可能值及平均值時，要具體情況具體分析，靈活選用適當?shù)挠嬎惴椒ā?/p>