一道不定積分考研題的解法及推廣

趙 科

（開封大學(xué) 信息工程學(xué)院，河南 開封 475004）

0 引言

如果在區(qū)間 I上，可導(dǎo)函數(shù) F（x）的導(dǎo)函數(shù)為 f（x），那么函數(shù) F（x）就稱為 f（x）在區(qū)間上的原函數(shù)．函數(shù)f（x）的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為f（x）的不定積分，記作 ∫f（x）dx，并表示為 ∫f（x）dx=F（x）+C[1]．

不定積分是大學(xué)數(shù)學(xué)的幾個重要模塊之一，是很多專業(yè)課程的預(yù)備知識．學(xué)習(xí)不定積分能提升學(xué)生的計算能力、觀察能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維與創(chuàng)造性思維．2018年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)（三）第10題就涉及求不定積分．其具體內(nèi)容如下：

本文擬給出問題（＊）的兩種解法，并針對一般形式的不定積分，介紹一種計算方法．在后面的計算中，會多次使用換元積分法和分部積分法．

換元積分法的內(nèi)容如下：

設(shè) f（x）連續(xù)，x=φ（t）及 φ'（t）皆連續(xù)，x=φ（t）的反函數(shù) t=φ-1（x）存在且連續(xù)，并且 ∫f（φ（t））φ'（t）dt=F（t）+C，則 ∫f（x）dx=F（φ-1（x））+C[1]．

分部積分法的內(nèi)容如下：

設(shè)函數(shù) u=u（x）及 v=v（x）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么∫udv=uv- ∫vdu[2]．

1 問題（＊）的兩種解法

2 問題（＊）的拓展

2．1 拓展一

2．2 拓展二

2．3 拓展三

3 結(jié)束語