解決熱學(xué)U型管問(wèn)題的 “三步曲”

周勝

摘? 要：從全國(guó)卷熱學(xué)考題出發(fā)，分析了學(xué)生在解決關(guān)于熱學(xué)U型管問(wèn)題時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，提出解決此類(lèi)常見(jiàn)問(wèn)題的“三步曲”。

關(guān)鍵詞：高考;熱學(xué);U型管模型

在2019年高考考試大綱關(guān)于選修3-3熱學(xué)的考點(diǎn)中，只有氣體實(shí)驗(yàn)定律為II級(jí)要求，即要求考生能夠理解并運(yùn)用氣體實(shí)驗(yàn)定律解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題。在2019年高考中，全國(guó)三套試卷中的選考第33題第2小問(wèn)，完全遵循考試大綱的要求，分別從不同角度考查了學(xué)生對(duì)氣體實(shí)驗(yàn)定律的運(yùn)用。全國(guó)卷I以實(shí)際生產(chǎn)、生活中用于材料加工的熱等靜壓設(shè)備為背景，要求學(xué)生根據(jù)題意建立恰當(dāng)?shù)臍怏w變化模型，運(yùn)用氣體實(shí)驗(yàn)定律解決相應(yīng)問(wèn)題。全國(guó)卷II則以連通的氣缸活塞為模型背景，學(xué)生在平時(shí)的考試或者練習(xí)中也見(jiàn)過(guò)此類(lèi)模型，因此并不陌生。通過(guò)對(duì)活塞的受力分析和對(duì)氣體的變化過(guò)程分析，可以解決相關(guān)問(wèn)題。全國(guó)卷III以玻璃管模型對(duì)學(xué)生的能力以及學(xué)科素養(yǎng)進(jìn)行考查，這一模型學(xué)生也比較熟悉，通過(guò)分析玻璃管中封閉氣體倒置前后的壓強(qiáng)變化，利用玻意耳定律可以解決細(xì)管的長(zhǎng)度問(wèn)題，加熱封閉氣體，氣體壓強(qiáng)不變，利用蓋-呂薩克定律可以求出密封氣體的最終溫度。

1? ? 原題呈現(xiàn)

（2019年全國(guó)卷III） 如圖1，一粗細(xì)均勻的細(xì)管開(kāi)口向上豎直放置，管內(nèi)有一段高度為2.0 cm的水銀柱，水銀柱下密封了一定量的理想氣體，水銀柱上表面到管口的距離為2.0 cm。若將細(xì)管倒置，水銀柱下表面恰好位于管口處，且無(wú)水銀滴落，管內(nèi)氣體溫度與環(huán)境溫度相同，已知大氣壓強(qiáng)為76 cmHg，環(huán)境溫度為296 K。

（i）求細(xì)管的長(zhǎng)度;

（ii）若在倒置前，緩慢加熱管內(nèi)被封閉的氣體，直到水銀柱的上表面恰好與管口平齊為止，求此時(shí)密封氣體的溫度。

（i）該問(wèn)難度不大，根據(jù)題意可知，理想氣體的變化過(guò)程為等溫過(guò)程，需要用到玻意耳定律PV=C。假設(shè)細(xì)管的橫截面積為S，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，水銀柱高度為h，水銀柱上表面到管口的距離為h'，初始時(shí)，氣體的壓強(qiáng)為P1，體積為V1，末狀態(tài)（倒置時(shí)）氣體壓強(qiáng)為P2，體積為V2。

2? ? 遇到的問(wèn)題及解決策略

教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)，關(guān)于這類(lèi)考題主要涉及的模型有氣缸與活塞模型、玻璃管與U型管模型兩類(lèi)，解決這些問(wèn)題通常需要列出三個(gè)方面的方程：力學(xué)方程，即上下表面氣體的壓力差大小等于重力或者其他力的合力;熱學(xué)方程，即利用氣體實(shí)驗(yàn)定律列出氣體對(duì)應(yīng)的規(guī)律方程;關(guān)系方程，即氣體壓強(qiáng)與外界大氣壓以及液體高度之間關(guān)系的方程[1-3]。常見(jiàn)的U型管問(wèn)題包括液面下降高度問(wèn)題、加入水銀問(wèn)題、氣體長(zhǎng)度變化問(wèn)題以及這些問(wèn)題的綜合。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于U型管問(wèn)題處理時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)狀態(tài)分析不清、氣體變化過(guò)程分析不清、壓面高度差尋找、初末狀態(tài)參量尋找、所列方程關(guān)系混亂、求解出錯(cuò)等問(wèn)題。為此，筆者鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)“一尋、二畫(huà)、三列式”的“三步曲”分析這類(lèi)問(wèn)題，可以較為有效地形成解題思路并解決問(wèn)題。

“一尋”，指尋找關(guān)鍵詞。尋找題中的關(guān)鍵詞信息，即判斷出氣體的變化過(guò)程是等壓、等容，還是等溫過(guò)程，進(jìn)而判斷所需采用的氣體實(shí)驗(yàn)定律。

“二畫(huà)”，指畫(huà)等高線。利用連通器原理，液面等高處壓強(qiáng)一樣，所以一般需畫(huà)出初末狀態(tài)液面對(duì)應(yīng)的等高線，能夠更快地判斷出液面高度之間、壓強(qiáng)之間的關(guān)系。

“三列式”，指列出相應(yīng)表達(dá)式。列出表達(dá)式，一般而言需要根據(jù)氣體實(shí)驗(yàn)定律和液面的幾何長(zhǎng)度關(guān)系列出對(duì)應(yīng)的氣體參量方程和氣體體積關(guān)系方程，而后求解相關(guān)參量。

筆者利用高三復(fù)習(xí)課中的三個(gè)常見(jiàn)例題進(jìn)行說(shuō)明。

例1 （2016年全國(guó)卷III）一U型玻璃管豎直放置，左端開(kāi)口，右端封閉，左端上部有一光滑的輕活塞。初始時(shí)，管內(nèi)汞柱以及空氣柱長(zhǎng)度如圖2所示。用力向下緩慢推動(dòng)活塞，直至管內(nèi)兩邊汞柱高度相等時(shí)為止。求此時(shí)右側(cè)管內(nèi)氣體的壓強(qiáng)和活塞向下移動(dòng)的距離。已知玻璃管的橫截面積處處相同，在活塞向下移動(dòng)的過(guò)程中，沒(méi)有發(fā)生氣體泄漏，大氣壓強(qiáng)P0=75.0 cmHg。環(huán)境溫度不變。

分析 此題為氣體壓縮求活塞移動(dòng)距離問(wèn)題，需要同時(shí)考慮氣體壓縮以及液面下降距離。

“一尋”，題中“環(huán)境溫度不變”，即其中涉及氣體的變化過(guò)程均為等溫過(guò)程，即PV = C（玻意耳定律），因此需要確定初末狀態(tài)的P和V。

“二畫(huà)”，畫(huà)初末狀態(tài)等高線（等壓線），如圖3所示，可以明顯看出左側(cè)液面下降x，右側(cè)液面上升x，最終液面平齊，由此得到2x=20-5，也可分析出右側(cè)氣柱長(zhǎng)度由20 cm變成了20-x=12.5 cm。初始狀態(tài)左側(cè)氣體壓強(qiáng)為P0，根據(jù)等高線，可以得到右側(cè)氣柱初始?jí)簭?qiáng)P1=75 cmHg+15 cmHg=90 cmHg，初始體積V1=S·20 cm3。末狀態(tài)體積為V2=S·（20-7.5） cm3。

最終，左右兩側(cè)液面高度一致，左側(cè)氣體壓強(qiáng)為P3=P2=144 cmHg，初始狀態(tài)壓強(qiáng)為P0=75 cmHg，初始體積為V0=S·4 cm3，由于初末狀態(tài)的PV=C，因此最終左側(cè)氣體的長(zhǎng)度L3為：

例2 （模擬題）如圖4所示，在粗細(xì)均勻的U型管右側(cè)，用水銀封閉一段長(zhǎng)L1=19 cm、溫度T1=280 K的氣體，穩(wěn)定時(shí)，左右兩管水銀面高度差為h=6 cm。已知大氣壓強(qiáng)為P0=76 cmHg。

（1）給右管密閉氣體緩慢加熱，當(dāng)右管內(nèi)氣體溫度為多少時(shí)，兩管水銀面等高。

（2）若不給右管密閉氣體加熱，而是向左管緩慢補(bǔ)充水銀，也可使兩管水銀等高，求補(bǔ)充水銀柱的長(zhǎng)度。

對(duì)于第1小問(wèn)而言：

“一尋”，尋找題目中的關(guān)鍵詞，發(fā)現(xiàn)氣體的溫度、體積、壓強(qiáng)均在變化，故需要采用理想氣體狀態(tài)方程PV/T求解相關(guān)參量。

“二畫(huà)”，畫(huà)出初末狀態(tài)的等高線（如圖5所示），可以明顯看出右側(cè)液面下降x1，左側(cè)液面上升x1，最終液面平齊，由此得到2x1=h，于是x1=3 cm。

“三列式”，采用理想氣體狀態(tài)方程求解參量，需要求出初末狀態(tài)的三個(gè)參量。初始狀態(tài)：

對(duì)于第2小問(wèn)，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的封閉氣體為等溫過(guò)程，左側(cè)加入水銀后，壓強(qiáng)發(fā)生變化，右側(cè)液面也會(huì)發(fā)生變化。假設(shè)右側(cè)液面上升高度為x2，通過(guò)畫(huà)出的等高線（如圖6所示），可以明顯地看出左側(cè)液面上升h+x2，列出的表達(dá)式為：

例3 （模擬題）如圖7所示，粗細(xì)均勻的U型玻璃管，豎直放置，左端開(kāi)口，右端封閉。右端封閉了一定質(zhì)量的理想氣體B，氣柱長(zhǎng)為L(zhǎng)=12.5 cm，左端長(zhǎng)為h=4 cm的水銀柱封閉了一定質(zhì)量的理想氣體A，氣柱長(zhǎng)度也為h，且兩端最上方液面齊平?，F(xiàn)再往左端緩慢加入長(zhǎng)為h的水銀柱。已知大氣壓強(qiáng)為P0=76 cmHg，整個(gè)過(guò)程溫度保持不變。當(dāng)氣柱穩(wěn)定時(shí)，求：右端液面上升的高度L0及氣柱A的長(zhǎng)度LA（計(jì)算結(jié)果均保留一位小數(shù)）。

分析 該題液柱中包含氣體，需要求解液面上升高度以及氣柱長(zhǎng)度問(wèn)題。

“一尋”，通過(guò)題目可以發(fā)現(xiàn)，A和B氣體均屬于等溫過(guò)程，即PV = C（玻意耳定律），故需確定初末狀態(tài)的P和V。

“二畫(huà)”，畫(huà)等高線需從U型管底端計(jì)算，由于氣體壓強(qiáng)處處一致，與液體不同，因此等高線（等壓線）以下不可有氣體，如圖8所示。

以上是筆者針對(duì)熱學(xué)中的U型管模型常見(jiàn)的液面高度、加入液柱長(zhǎng)度、氣柱長(zhǎng)度問(wèn)題中，鼓勵(lì)學(xué)生采用的快速解決問(wèn)題的思路與方法。不足之處，請(qǐng)讀者不吝賜教。

參考文獻(xiàn)：

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[3]靳建設(shè)，淮萍萍，陳勇. 2019年高考物理備考專(zhuān)題——熱學(xué)部分[J]. 中學(xué)物理教學(xué)參考，2019，48（1-2）：112-124.

（欄目編輯? ? 陳? 潔）