讓“數(shù)”與“形”聯(lián)袂而行

王宜琴

【摘要】“數(shù)形結(jié)合”的應用大致可分為兩種情形：借助于“數(shù)”的精確性來闡明“形”的某些屬性;借助“形”的幾何直觀性來闡明“數(shù)”之間的某種關系。也就是說，幾何直觀實質(zhì)包括以下兩種情形：“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011版）》提出，核心概念之一的幾何直觀，其本質(zhì)含義主要是指利用圖形描述和分析問題，體現(xiàn)的是“數(shù)形結(jié)合”中“以形助數(shù)”的思想，借助“形”的幾何直觀性來闡明“數(shù)”之間的某種關系。

【關鍵詞】幾何直觀 數(shù)形結(jié)合

小學數(shù)學教學包括諸多的教學環(huán)節(jié)，而習題教學與訓練是諸多教學中重要環(huán)節(jié)之一。在實際教學中，特別是到了中高年級，隨著已知條件越來越復雜，有很多習題讓部分學生“束手無策”?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011版）》指出：“借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。”筆者就“幾何直觀”在習題教學與訓練中的應用，談一些心得體會。

一、借助幾何直觀，變“模糊”為“清晰”

小學生由于年齡的特點，其思維方式以具體形象思維為主，思維水平正處于具體運算階段向形式階段的過渡期，這一階段的小學生對于概念的建構(gòu)還離不開具體事物的支持。而幾何直觀憑借其直觀性的特點，能將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形語言有機地結(jié)合起來，充分突出問題的本質(zhì)，幫助學生突破理解上的難點。

例如，蘇教版數(shù)學五年級上冊“小數(shù)的意義和性質(zhì)”單元練習判斷題：0.5和0.50大小相等，意義也相同。

本題學生錯誤率比較高，很多學生第一反應是該題是正確的。根據(jù)學生已有的經(jīng)驗和知識水平，由小數(shù)的性質(zhì)很容易就能得出0.5等于0.50，而對于“小數(shù)0.5與0.50的意義是否相同”，很多學生往往處于 “一知半解”狀態(tài)。此時不妨通過圖形直觀和對比分析，幫助學生借助直觀的圖形，突破理解上的難點，真正理解數(shù)學概念的本質(zhì)內(nèi)涵。

以下是教學的主要環(huán)節(jié)：

（1）問：0.5和0.50大小相等嗎？學生根據(jù)小數(shù)的性質(zhì)得出0.5與0.50大小相等。

（2）追問：那么0.5與0.50的意義是否一樣呢？首先我們先看0.5表示什么呢？一些思維能力較強的學生能夠想到：0.5的小數(shù)意義是把整數(shù)“1”平均分成10份，表示其中的5份。用圖形怎樣表示呢？

（3）0.50表示什么？根據(jù)學生的回答，用圖形表示出0.50的小數(shù)意義：把整數(shù)“1”平均分成100份，表示其中的50份。

由圖，學生不難發(fā)現(xiàn)：0.5和0.50有著不同的意義，0.5是一位小數(shù)，表示十分之五，精確到十分位;0.50是兩位小數(shù)，表示百分之五十，精確到百分位。而涂色部分的面積是相等的，所以大小相等，即0.5=0.50。

例如，五年級上冊“小數(shù)的意義和性質(zhì)”單元練習題：把0.54、0.56、0.49、0.6、5.05按從小到大的順序排列。

對于小數(shù)的大小比較，不少教師會借助數(shù)軸，把這些大小不一的小數(shù)在數(shù)軸上一一找到相對應的位置，再去比較它們的大小?？v觀整個小學階段的教學，數(shù)軸發(fā)揮著極其重要的作用，可以不夸張地說：數(shù)軸是認數(shù)最直觀的工具。在小學數(shù)學教材中，數(shù)軸幫助學生直觀地認識了自然數(shù)、分數(shù)、小數(shù)、負數(shù)、百分數(shù)等，使學生逐步認識到所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，這些有理數(shù)與數(shù)軸上的點是“一一對應”關系。

在概念教學的過程中，注重引導學生積極運用幾何直觀，巧妙地“以形助數(shù)”，可以幫助學生把抽象、模糊的數(shù)學概念逐漸生動化、直觀化、清晰化，順利化解學生的學習難點，抓住概念的本質(zhì)。

二、借助幾何直觀，變“復雜”為“簡單”

“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微?！睌?shù)形結(jié)合是一個重要的數(shù)學思想，更是解決數(shù)學問題時最常用的方法。它借助簡單的圖形、符號或文字所作的示意圖，溝通數(shù)學知識之間的聯(lián)系，促進學生抽象思維和形象思維的緊密發(fā)展，凸顯問題最本質(zhì)的特征，實現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的互換，使得看似無法解決的問題簡單化、明朗化。

例如，筆者參加2018年區(qū)級四年級教師命題能力比賽時，出了這樣一道實際問題：

四（1）班同學全部參加隊列表演，小慧的位置無論從哪個方向看都是（4，4）。

（1）請為他們設計一下這個隊列。（用一個點●來表示1個人，小慧的位置用一個★表示）

（2）如果最外圈的同學都穿紅色運動服，那么需要準備多少套紅色運動服？

該試題題型比較綜合，看似條件比較少，其實對學生的思維要求相對比較高。它將四年級下冊的數(shù)對知識和畫圖策略巧妙地結(jié)合起來，既考查了學生是否能根據(jù)數(shù)對想象出物體在具體情境中的位置，又考查了學生是否有能力靈活運用畫圖策略解決問題。小慧的位置無論從哪個方向看都是（4，4），那么學生首先要思考的是：小慧的前、后、左、右分別有幾個人呢？對于部分學生來說，不借助幾何直觀，僅憑大腦想象是很難解決該題的，這就需要引導學生動手畫一畫，充分發(fā)揮畫圖策略的優(yōu)勢，體驗畫圖策略的有效性。通過數(shù)形結(jié)合幫助學生把抽象問題具體化、直觀化，從而使學生尋找到解決問題的突破口。

例如，2017-2018學年度第二學期無錫市小學數(shù)學四年級期末調(diào)研試卷中一道實際問題：

小華和小明分別從一座橋的兩端同時出發(fā)，往返于橋的兩端之間。小華的速度是65米/分，小明的速度是70米/分，經(jīng)過4分鐘兩人第一次相遇，這座橋長多少米？兩人從出發(fā)到第二次相遇，一共走了多少米？

這樣的行程問題，對學生而言具有一定難度，因為這里關系到兩個對象的運動方向及路程。面對如此復雜的數(shù)量關系，即便是平時的學習過程中接觸過類似的習題，很多學生仍云里霧里不知如何是好。在這里，幾何直觀是解決這一類問題的最佳選擇，我們不妨借助線段和箭頭來表示行走的路程和方向，把這兩個運動對象路程之間的數(shù)量關系直觀形象地表示出來。對比文字敘述，用線段圖來解決“行程”問題，可以化抽象的文字為形象、直觀的圖形，使抽象的數(shù)量關系直觀化，相對于文字表述線段圖更簡約，更方便學生理解題意尋求合適的方法解題。學生很容易就可以得出第一次相遇兩個一共走了一個橋長;第二次相遇兩人共走了3個橋長。甚至還可以繼續(xù)追問：第三次相遇，兩人走的路程一共是幾個橋長呢？

實踐證明，學生經(jīng)歷了抽象（題目）→形象（圖）→抽象（數(shù)量關系）的相互轉(zhuǎn)化的過程，才能真正理解問題的本質(zhì)。幾何直觀，使學生親身經(jīng)歷將復雜的數(shù)學問題抽象成簡約的數(shù)學圖形并進行解釋與應用的過程，讓學生在獲得數(shù)學理解的同時，思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面也得到進一步提升和發(fā)展。

三、借助幾何直觀，變“模仿”為“內(nèi)化”

笛卡爾曾說過：“沒有圖形就沒有思考?！焙芏鄦栴}解決的靈感，往往來自學生頭腦中的幾何直觀。小學生學習數(shù)學主要以形象思維為主，他們在圖形與幾何的學習過程中，普遍感到空間思維比較抽象、難以理解。幾何直觀是學生空間觀念形成的基礎，我們要充分挖掘教材中的一些現(xiàn)有素材的內(nèi)涵與價值，幫助學生積累豐富的幾何表象，把學生的思維向高層次引導，使學生掌握知識本質(zhì)的同時，提高數(shù)學學習的積極性，提高思維的靈活性。

例如，六年級上冊“表面積的變化”中的例題：

用上面的兩個長方體拼成三個不同的大長方體，你有什么發(fā)現(xiàn)？

在實際教學中，首先讓學生動手擺一擺、指一指、說一說，了解幾種拼法，增強體驗。同時要較好地體現(xiàn)出多媒體的優(yōu)勢，通過多媒體清晰直觀地演示2個相同的長方體可以拼成哪幾種不同的大長方體，使學生明白重疊的面越大，表面積減少得越多;重疊面越小，表面積減少得越少，讓學生的空間觀念和思維能力得到很好的鍛煉。

為了鞏固所學知識，培養(yǎng)學生數(shù)學思考和解決問題的能力，筆者隨后設計了這樣一道專項訓練習題：把一個長10厘米、寬8厘米、高6厘米的長方體切成兩個大小相等、形狀相同的長方體。切成的兩個長方體的表面積之和最大是多少平方厘米？

習題與例題相比，是例題的變式問題，通過這樣的變式，擴大學生認知的深度與寬度。習題的解決，簡單的模仿是行不通的，此時需要借助幾何直觀搭建思維跳板，幫助學生拓展思路，變“模仿”為“內(nèi)化”，理解習題是“形”變“質(zhì)”不變，從而打開解題的突破口。

【例1】練習題：學校一條走廊長6米、寬3米，走廊上鋪上邊長是3分米的正方形地磚，需要多少塊？

【例2】變式題：學校一條走廊長6米、寬4米，走廊上鋪上邊長是3分米的正方形地磚，需要多少塊？

【例3】練習題：一個長1.1米，寬0.9米的長方形紙片，剪成幾個直徑是2分米的圓，可以剪幾個？

解決例1時，學生最常見的解法是：用“塊數(shù)=大面積÷小面積”，得出60×30=1800（平方分米），3×3=9（平方分米），1800÷9=200（塊）。很少有學生能想到“總塊數(shù)=每行塊數(shù)×行數(shù)”這個數(shù)量關系。解決例2、例3時，如果學生還是借助已有的知識經(jīng)驗和基礎，選用“塊數(shù)=大面積÷小面積”這個知識點來解決，顯然是行不通的。像這樣類型的問題，五年級多邊形的面積單元學生們會接觸很多。對于圖形的密鋪，必須要借助幾何直觀，理解這一類題本質(zhì)都是一樣的，就是要去思考沿著長擺幾個，沿著寬擺幾排。

在實際的教學中，教師通常會通過實物、形體模型和圖形，生動形象地描述幾何或其他數(shù)學問題，展開豐富多彩的空間聯(lián)想，直觀地反映和揭示問題的思路，形成表象，從而有效地解決問題。換句話說，隨著經(jīng)驗的積累，這些經(jīng)常感知的直觀圖形會逐漸印刻在學生的腦海中，成為學生隨時可以提取的數(shù)學表象，它們是學生能及時展開數(shù)學想象的重要素材。學生大腦中的表象越豐富，他們越是容易把一些抽象的問題轉(zhuǎn)化成直觀的表象，也容易從直觀的表象中抽象出本質(zhì)特質(zhì)，也就是直觀思維能力越強，自然會變“模仿”為“內(nèi)化”。

四、借助幾何直觀，變“定勢”為“創(chuàng)造”

美國數(shù)學家斯蒂思曾說過： “如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個圖形， 那么就整體地把握了問題的實質(zhì)?！薄耙孕沃鷶?shù)” 中的“形”，或有形或無形。若有形，則可為圖表與模型;若無形，則可另行構(gòu)造或聯(lián)想。因此“以形助數(shù)”的途徑大體有三種情形：第一是運用圖形;第二是構(gòu)造圖形;第三是借助代數(shù)式的幾何意義。在實際教學中很多復雜問題的解決可以根據(jù)問題中“數(shù)”的結(jié)構(gòu)，另辟蹊徑構(gòu)造出與之相應的“形”，并利用這些“形”的特征及規(guī)律來尋求解決問題的方法，避免一些復雜的數(shù)字討論。

例如，教學蘇教版數(shù)學六年級上冊“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”這一內(nèi)容時，教材上安排了這樣一道習題：

教學片段如下：

出示+++，計算出結(jié)果。通過通分，學生很快得到+++=。

變式：++++…+。追問：你還愿意用通分的方法來計算嗎？學生頓時茫然。

設疑：這道題的各個加數(shù)很有特點，依次是，，，，…。我們常說遇到難題可以借助圖形解決，那么可不可以畫圖呢？

學生討論，多媒體出圖：我們不妨用一個大正方形代表單位“1”，將這個大正方形平均分成2份，就可以得到，再平均分得到，繼續(xù)平均分……（如上圖）。 引導學生看圖，得出+++=1-=。

探究規(guī)律：如果繼續(xù)平均分下去，++++結(jié)果是多少呢？再一次次平均分下去，直到+++++…+，你能很快得出結(jié)果嗎？如果直到+++++…+呢？

【例4】探索規(guī)律：

例4也是一道比較典型的探索規(guī)律題，就學生的知識基礎和經(jīng)驗而言，學生解決這道題的第一選擇就是直接計算。參與計算的數(shù)比較少，這是一個好方法;若參與計算的數(shù)多，這就是一道復雜的數(shù)字干擾問題。很多抽象的數(shù)學問題都可以轉(zhuǎn)化成可借用的幾何直觀問題，解決這道題，巧妙地借助點子圖，幫助學生將復雜的數(shù)字討論立刻切換成直觀的表象，使學生能更好地從直觀的表象中抽象出問題的本質(zhì)屬性，探究出這一類問題的規(guī)律，感受到幾何直觀的價值。像這樣，教師通過編選一些特定的問題，借助幾何直觀，幫助學生不從頭腦中已有的思維形式和思維方法中去找答案，而是對問題的本身進行具體的分析、進行一系列的探索性思維活動，使頭腦中已有的思維方式實現(xiàn)大跨度地遷移，從可供選擇的途徑中篩選出解決問題的最佳方法，變“定勢”為“創(chuàng)造”。

其實在小學課堂教學中，像這樣的例子還有很多，比如分數(shù)的四則運算、畫圖策略、圓柱圓錐體積的計算等，這些具體的問題的背景和情境不同，運用的直觀方法也大不相同，但都很好地體現(xiàn)了“幾何直觀”這個常用的數(shù)學思想方法在小學習題教學與訓練中的應用。總之，“幾何直觀”作為新課標提出的核心概念，是數(shù)學學習中常用的思考問題的方法，它在數(shù)學教學中具有非常重要的意義?！皵?shù)”與“形”的聯(lián)袂而行，讓小學數(shù)學的習題教學與訓練，真正實現(xiàn)了“化難為易、化繁為簡、化隱為顯”的目的。

【參考文獻】

[1]許新征.對幾何直觀的認識與教學思考[J].教育研究與評論，2012（10）.

[2]蔡杰.也談“幾何直觀”的認識及運用[J].課程教育研究，2012（35）.