由一道習(xí)題引發(fā)的教學(xué)思考

徐麗珍

學(xué)生總是匆忙完成作業(yè)，不多加以思考、探究，往往忽略了問題本質(zhì)，就題解題的學(xué)習(xí)態(tài)度。如果一線教師碰到此類問題，不加以挖掘問題本質(zhì)，那么就太浪費(fèi)教學(xué)資源，因此，一線教師不光要加以重視學(xué)生存在困惑，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究問題，從初識(shí)問題、認(rèn)識(shí)問題到深化問題，使得學(xué)生能悟出此類問題本質(zhì)，并加以理解，讓學(xué)生在此類問題的解決上有所突破。

一、背景展現(xiàn)、發(fā)現(xiàn)問題

這是一道高一的習(xí)題：

題目：在△ABC中，設(shè)

(1)求證：△ABC為等腰三角形；

答題分析：答(1)沒有問題。(2)學(xué)生答的不理想：①答題的正確率不高，部分同學(xué)是空白的，表現(xiàn)為沒有想法；②做了的同學(xué)，方法選擇比較煩瑣或者計(jì)算錯(cuò)誤；③選擇較好的解題方法的同學(xué)很少。因此，面對這樣的一種教學(xué)現(xiàn)狀，直接提供好的方法，顯然不對。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)思維的形成過程，需要學(xué)生能從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)此類問題，在解題上需要實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題思路、簡化解題過程，值得探究。

二、初識(shí)問題，探究模型

學(xué)生錯(cuò)誤是學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)還不夠落實(shí)，基本技能不太掌握，因此高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)以“基礎(chǔ)知識(shí)的掌握、基本技能的提高、基本思想方法的落實(shí)”為原則。在教學(xué)中，教師不是直接告訴學(xué)生，而是通過問題設(shè)計(jì)，充分激發(fā)學(xué)生的思維，學(xué)生能自然地感悟到知識(shí)的形成，然后尋找問題與知識(shí)間的聯(lián)系，會(huì)對學(xué)生分析問題產(chǎn)生積極的影響，開闊了解題的思路。

例(2012·浙江15)在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則

這類問題的特殊性就是極化恒等式，但是從解題的情況來看，學(xué)生只是恰巧碰對了，未能真正理解極化恒等式的本質(zhì)。

【設(shè)計(jì)意圖】例1 的設(shè)計(jì)讓學(xué)生能簡單認(rèn)識(shí)極化恒等式是用基底表示數(shù)量積運(yùn)算的一種應(yīng)用，是對基礎(chǔ)知識(shí)的簡單深化。由于條件與結(jié)論之間的關(guān)系緊密，學(xué)生很容易突破問題。

三、認(rèn)識(shí)問題，探究本質(zhì)

我們知道，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則本質(zhì)是一樣的，那么你能從平行四邊形的角度看極化恒等式嗎?

學(xué)生：已知平行四邊形ABCD中，對角線交于O點(diǎn)，則

即在平行四邊形模型中，我們求共起點(diǎn)的兩個(gè)向量的數(shù)量積，只要知道哪些量就能求呢?

學(xué)生：我們只要知道這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；

很好，我們把這個(gè)模型稱為極化恒等式的平行四邊形模型；

很好，這個(gè)式子就是極化恒等式的符號(hào)表示式；

那么，前人是怎么發(fā)現(xiàn)極化恒等式的呢?大家請看一個(gè)我們都熟悉的問題。

題目：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。你能用向量方法證明平行四邊形的對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍嗎?

你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題的背景與極化恒等式的聯(lián)系嗎?

這個(gè)時(shí)候，學(xué)生的眼神會(huì)告訴我們，如果在碰到這個(gè)問題時(shí)，能夠再細(xì)心一點(diǎn)，或許就能發(fā)現(xiàn)極化恒等式。

請同學(xué)們歸納極化恒等式的表現(xiàn)形式；

她是你的煞星！你要做的，是將刀插入她的心臟！不能再繼續(xù)猶豫和顧慮，這只會(huì)讓你更加得軟弱，更加得無法握住刀柄！

追問：極化恒等式解決什么問題?

學(xué)生：極化恒等式描述的是兩個(gè)數(shù)量積、這兩個(gè)向量的和的模和這兩個(gè)向量差的模的關(guān)系；

【設(shè)計(jì)意圖】尋找知識(shí)點(diǎn)并重構(gòu)對知識(shí)的再理解，使得知識(shí)的內(nèi)涵得以豐盈，使知識(shí)的展開、方法的形成不再是無本之木、無源之水。學(xué)生能夠更加系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)到問題是源于課本而又高于課本的一種現(xiàn)象，這樣使得學(xué)生能夠更好地認(rèn)識(shí)問題。

題目：在△ABC中，設(shè)

(1)求證：△ABC為等腰三角形；

經(jīng)過這一系列的努力，學(xué)生解(2)小題不再是構(gòu)造函數(shù)思想來求了，學(xué)生能分析出設(shè)O為AC的中點(diǎn)，即，是個(gè)常量，在△ABC中，OC隨著角B在變換，

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過錯(cuò)誤題目的再探，自然地解決問題，能讓學(xué)生深刻體會(huì)細(xì)細(xì)研究問題的重要性，對模型的認(rèn)識(shí)到位，自然出現(xiàn)最優(yōu)的解法，增加學(xué)生的解題興趣。

辨析：雖然我們都用的是三角形模型的極化恒等式求數(shù)量積的范圍問題，但是只能是中線是變量嗎?

學(xué)生：利用極化恒等式求解數(shù)量積的問題，化歸思想是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)線段的長度問題，若其中一個(gè)是變量，就可以探究這個(gè)數(shù)量積的范圍問題。

老師：答得很好，在一定程度上我們認(rèn)識(shí)了使用極化恒等式的特點(diǎn)。

變式1

學(xué)生：設(shè)DB的中點(diǎn)為E，，此時(shí)，學(xué)生有些困惑，因?yàn)檫@兩個(gè)量都隨著D在變換，不能求出的取值范圍。

追問：使用極化恒等式有什么要求?

學(xué)生：使用極化恒等式的化歸思想，要轉(zhuǎn)化為已知的線段長或者已知一個(gè)變量，若兩個(gè)都是變量，就不能使用了。

追問：那么此題的數(shù)量積怎么求呢?

【設(shè)計(jì)意圖】通過變式1 的辨析，學(xué)生更清楚極化恒等式的化歸思想的應(yīng)用，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了極化恒等式的本質(zhì)，同時(shí)也明白極化恒等式求數(shù)量積不是萬能的。

四、深化問題，提升素養(yǎng)

變式2：(2013·浙 江)設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足，且對于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有則( )

A.∠ABC＝90° B.∠BAC＝90°

C.AB＝ACD.AC＝BC

【設(shè)計(jì)意圖】通過真題檢驗(yàn)，希望同學(xué)們能夠增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，深化了對極化恒等式的本質(zhì)的理解。進(jìn)一步證明高考就是對高于課本的知識(shí)考查，讓學(xué)生碰到問題能更好地去研究問題，提升學(xué)生解題的能力，實(shí)現(xiàn)何以知其所以然的解題境界。

五、教師反思，感悟提升

大部分學(xué)生在平時(shí)解題時(shí)，只是匆忙地完成解題，沒有養(yǎng)成探究問題的習(xí)慣，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只能在題海戰(zhàn)術(shù)中摸爬滾打，這樣學(xué)生學(xué)得很累，沒有達(dá)到高效課堂的效果。碰到這種情況，如果教師能以學(xué)生存在的問題作為備課的主題，在課堂中引導(dǎo)學(xué)生以問題和變式為載體，從中發(fā)現(xiàn)他們的共性，能讓學(xué)生抽象出一般的數(shù)學(xué)問題，從而建立數(shù)學(xué)模型，然后能讓學(xué)生進(jìn)一步深化理解和應(yīng)用辨析，掌握模型的本質(zhì)和模型的應(yīng)用，從而深化對模型的理解，最后達(dá)到真正的領(lǐng)會(huì)和掌握，這樣，就能到達(dá)從一道題到一類題的過渡，達(dá)到課標(biāo)要求。通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增加學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力。羅增儒教授指出：誰也無法教會(huì)我們解所有的數(shù)學(xué)題，重要的是，通過有限的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無限道題的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。