數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)“高等代數(shù)”課程教學(xué)之我見

汪定國(guó) 楊新強(qiáng) 蔣鶴立

[摘 要] 該文主要從注重高等代數(shù)與初等數(shù)學(xué)的結(jié)合、一題多解、加深教學(xué)內(nèi)容的深度與難度以及改革學(xué)生學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)四個(gè)方面，探討了數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)高等代數(shù)課程教學(xué)的有關(guān)問題。

[關(guān)鍵詞] 高等代數(shù);教學(xué);初等數(shù)學(xué);一題多解;評(píng)價(jià)

[基金項(xiàng)目] 重慶市高等教育學(xué)會(huì)教改課題“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)新模式的探索與實(shí)踐”（CQGJ17066B）

[作者簡(jiǎn)介] 汪定國(guó)（1976—），男，四川廣元人，博士，重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副教授，主要從事離散數(shù)學(xué)的教學(xué)與理論研究。

[中圖分類號(hào)] G642.0 ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A ? ?[文章編號(hào)] 1674-9324（2020）17-0329-02 ? ?[收稿日期] 2020-03-06

“高等代數(shù)”是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科專業(yè)的三大主干基礎(chǔ)課程之一，是該專業(yè)非常重要的一門學(xué)科基礎(chǔ)課程，對(duì)該專業(yè)本科階段的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)占有重要地位，在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)方面具有奠基功能。而且在中學(xué)數(shù)學(xué)中平面幾何教學(xué)減弱的情況下，高等代數(shù)課程在培養(yǎng)數(shù)學(xué)的邏輯推理能力方面更是起著不可缺少的作用。但高等代數(shù)課程概念多、抽象推理多，學(xué)習(xí)有一定的難度，尤其是對(duì)于剛剛從中學(xué)進(jìn)入到大學(xué)的大一學(xué)生，由于思維模式的局限，更是覺得困難重重。這些都給高等代數(shù)的教學(xué)提出了巨大的挑戰(zhàn)。關(guān)于高等代數(shù)教學(xué)的研究結(jié)果也有很多，下面談?wù)劚救藦亩嗄甑摹案叩却鷶?shù)”課程的教學(xué)過程中所得到的幾點(diǎn)感受。

一、注重高等代數(shù)與初等數(shù)學(xué)的結(jié)合

高等代數(shù)理論包含多項(xiàng)式理論與線性代數(shù)理論，對(duì)于高等代數(shù)的內(nèi)容安排，多數(shù)教材是將多項(xiàng)式理論放在第一章，并且授課對(duì)象一般是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)大一的學(xué)生，他們剛剛從中學(xué)進(jìn)入大學(xué)，其思維方式習(xí)慣于針對(duì)具體對(duì)象，而對(duì)于一般的、抽象的研究對(duì)象不容易理解。從而對(duì)于多項(xiàng)式理論的教學(xué)，可以首先復(fù)習(xí)初等數(shù)學(xué)中的有關(guān)理論。

另外，在教學(xué)的過程中也要注重中學(xué)數(shù)學(xué)與高等代數(shù)的結(jié)合，要讓學(xué)生知道，中學(xué)更多的是知道“怎樣做”，而很少去深入研究“為什么”。高等代數(shù)解決了初等數(shù)學(xué)中很多遺留問題，回答了初等數(shù)學(xué)中很多的“為什么”。例如多項(xiàng)式的根及因式分解理論、線性方程組的解法等，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)解題有“居高臨下”的作用。比如中學(xué)數(shù)學(xué)中分解因式的“十字相乘法”，為什么不在有理數(shù)范圍內(nèi)考慮，而只需要在整數(shù)范圍內(nèi)考慮呢？多項(xiàng)式理論中的因式分解理論中的定理“一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式f（x）在有理數(shù)域中可約的充要條件是f（x）在整數(shù)環(huán)中可約”對(duì)此做了理論支撐;又如中學(xué)解線性方程組時(shí)的消元法的理論依據(jù)是什么？即為什么可以保證在消元過程中對(duì)方程組的變換不會(huì)改變方程組的解呢？在高等代數(shù)的線性方程組的消元法理論中就有定理“方程組的三種初等變換都是同解變換”解釋了消元法過程不改變方程組的解的疑問。

如果在教學(xué)過程中，有意識(shí)注重了高等代數(shù)理論與初等數(shù)學(xué)理論的結(jié)合，不僅讓學(xué)生能夠快速地轉(zhuǎn)換自己的思維方式，而且明白了很多中學(xué)時(shí)代可能想要去探索的問題，這樣能夠大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)好高等代數(shù)那就順理成章了。

二、注重培養(yǎng)學(xué)生“一題多解”的習(xí)慣與能力

所謂一題多解，主要體現(xiàn)在沒有唯一的、固定的模式，而是以其多樣化的答案為明顯的特征?？梢酝ㄟ^縱橫發(fā)散、知識(shí)串聯(lián)、綜合溝通，達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的目的，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的好方法。

牛頓曾經(jīng)說過：“在學(xué)習(xí)科學(xué)時(shí)，題目比規(guī)則還有用些?！痹诟叩却鷶?shù)課程的教學(xué)中，對(duì)于定理、例題以及課后作業(yè)應(yīng)該注重一題多解，可以從多種解法的比較中得到啟發(fā)，加深對(duì)有關(guān)概念、定理的理解，并能開闊思路、活躍思維、舉一反三、觸類旁通，進(jìn)而融會(huì)貫通和綜合運(yùn)用有關(guān)的理論知識(shí)，提高分析問題和解決問題的能力。

在該例題中，通過這樣兩種證明方法可以看出，要證明一個(gè)矩陣為0，既可以證明這個(gè)矩陣的每個(gè)元素為0，也可以證明這個(gè)矩陣的秩為0。同時(shí)將這個(gè)問題跟齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系建立了聯(lián)系，達(dá)到了融會(huì)貫通的目的。

三、適當(dāng)加深教學(xué)內(nèi)容的深度與難度

高等代數(shù)課程不僅是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)課程，而且也是數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試的必考科目。雖然很多學(xué)校專門開設(shè)了一學(xué)期的高等代數(shù)選講，但是課時(shí)并不多，選講內(nèi)容卻很多，于是對(duì)于之前一年的教學(xué)內(nèi)容很難再次進(jìn)行加深與加難。這就有必要在第一年學(xué)習(xí)階段教學(xué)中適當(dāng)?shù)丶由罱虒W(xué)內(nèi)容的深度與難度。

在平常的教學(xué)中，對(duì)于每個(gè)教學(xué)內(nèi)容，要闡述清楚該內(nèi)容的學(xué)習(xí)目的、應(yīng)用以及與前后知識(shí)的聯(lián)系，清晰展示每個(gè)教學(xué)內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系，要讓學(xué)生知道，為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容。同時(shí)，對(duì)于課程中的所有定理要進(jìn)行詳細(xì)的證明，并且在證明中需要清晰的展現(xiàn)出證明思路以及解釋用這樣的思路的原因，以此培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的能力。

四、改革對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)方式

由于高等代數(shù)課程一般都是針對(duì)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的大一學(xué)生開設(shè)，他們剛剛經(jīng)過艱苦的高中學(xué)習(xí)，剛進(jìn)入大學(xué)后，思想上開始放松，加之中學(xué)教育與家庭教育的影響，總認(rèn)為中學(xué)辛苦了，進(jìn)入大學(xué)先要好好放松一下，殊不知對(duì)于數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)而言，必須要付出比中學(xué)更多的辛苦與努力才能學(xué)好專業(yè)課。這就使得在大學(xué)的專業(yè)課程教學(xué)的同時(shí)，還需要轉(zhuǎn)變學(xué)生的思想觀念，讓學(xué)生能夠更加重視專業(yè)課的學(xué)習(xí)，時(shí)刻保持學(xué)習(xí)的動(dòng)力。這些都需要改革對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)方式，不能再用傳統(tǒng)的期末一考定成績(jī)的方式，而應(yīng)該加重平時(shí)考核的力度。建議可以采用如下評(píng)價(jià)機(jī)制：平時(shí)成績(jī)與期末考核成績(jī)各占50%。平時(shí)成績(jī)主要包含：平時(shí)作業(yè)占總成績(jī)的10%、課堂出勤和課堂表現(xiàn)占總成績(jī)的10%、平時(shí)測(cè)驗(yàn)（一般進(jìn)行三次）占總成績(jī)的30%。這樣的模式強(qiáng)調(diào)了平時(shí)的考核，也使得學(xué)生在上課、作業(yè)、及時(shí)復(fù)習(xí)鞏固等幾個(gè)環(huán)節(jié)中都必須認(rèn)真對(duì)待且要切實(shí)的完成。

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門很重要的基礎(chǔ)課，該課程有一定的抽象性，對(duì)于剛剛從中學(xué)進(jìn)入大學(xué)的學(xué)生來說，確實(shí)有一定的難度，而且對(duì)將來學(xué)生的進(jìn)一步發(fā)展有重要的影響。這也就對(duì)高等代數(shù)課程教學(xué)提出了更高的要求。本人提出了幾點(diǎn)淺見，希望與高等代數(shù)課程的教學(xué)人員共勉。

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Abstratc：This paper lays stress on the four aspcts-the combination of higher algebra and elementary algebra，multi-solution to a problem，increasing the depth and difficulty in teaching material，reforming the evaluation of students' learning- to probe into some related problems in higher algebra course，mathematics and applied mathematics major.

Key words：Higher algebra;Teaching;Elementarymathematics;Multiple solutions to one problem;Evaluate