涉及兩個(gè)三角形的Napoleon定理及其自相似推論

陳都

[摘要]本文將Napoleon定理拓展推廣到涉及兩個(gè)三角形的情形，與著名的Neuberg-Pedoe不等式密切相關(guān)，從全新的視覺，對Napoleon定理進(jìn)行了相似性嵌合推廣，并運(yùn)用推廣后的Napoleon定理，探究了一類有趣的三角形自相似現(xiàn)象。

[關(guān)鍵詞]廣義Napoleon定理;相似性嵌合;自相似

Napoleon（1769-1821）不僅是19世紀(jì)法國著名的軍事家、政治家，而且還是法蘭西科學(xué)院院士，他在軍事和政治上的雄才大略，早已為世人公認(rèn)，然而他對數(shù)學(xué)的濃厚興趣和精深造詣卻鮮為人知，即便是行軍打仗，他也會充分利用空閑時(shí)問來研究幾何問題，如“Napoleon三角形”就是其中典型一例。

Napoleon定理（1）以任意三角形的三邊為邊，向外作三個(gè)正三角形，則這三個(gè)正三角形的中心也構(gòu)成正三角形——外Napoleon三角形：

（2）以任意三角形的三邊為邊，向內(nèi)作三個(gè)正三角形，則這三個(gè)正三角形的中心也構(gòu)成正三角形——內(nèi)Napoleon三角形：

（3）外、內(nèi)Napoleon三角形的面積之差，等于原三角形的面積。

上述定理是歐氏幾何中最奇異精彩的定理之一，它因簡明深邃的結(jié)論和靈活多樣的證法而引人人勝，是歐氏幾何的經(jīng)典課題，百余年來，人們對它進(jìn)行了廣泛而細(xì)致的研究，得到了許多深刻而優(yōu)美的結(jié)論，如文[1]-[5]對Napoleon定理進(jìn)行了卓有成效的引申、加強(qiáng)、推廣，類似的應(yīng)用，取得了豐碩成果，本文擬將Napoleon定理推廣到兩個(gè)三角形中，并給出一類有趣的嵌合自相似推論。