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    分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

    2020-05-11 06:13陳家祥
    廣西教育·B版 2020年1期
    關(guān)鍵詞:分類討論思想高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

    陳家祥

    【摘 要】本文論述分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用:深入發(fā)掘教材內(nèi)容,刻意滲透分類討論思想;結(jié)合具體知識要點,實時應(yīng)用分類討論思想;科學(xué)合理劃分類別,組織學(xué)生全面分析討論;注重基礎(chǔ)知識教學(xué),深化分類討論思想應(yīng)用;提倡小組合作學(xué)習(xí),促使學(xué)生主動分類討論。

    【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 課堂教學(xué) 分類討論思想

    【中圖分類號】G? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

    【文章編號】0450-9889(2020)01B-0117-02

    分類討論思想屬于數(shù)學(xué)中一種常用又重要的思想方法,它根據(jù)要求與特點將研究的知識或問題分成多個類別,轉(zhuǎn)化成多個小項進(jìn)行分析和解決,最后匯總結(jié)果,確保結(jié)果完整。教師在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中運用分類討論思想時,可引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜凌亂的數(shù)學(xué)知識或問題劃分成多個明了清晰的小類別,以便全面理解與掌握,讓他們形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)意識與態(tài)度。

    一、深入發(fā)掘教材內(nèi)容,刻意滲透分類討論思想

    教材是任何學(xué)段和學(xué)科教學(xué)中的一切教學(xué)行為的基本依據(jù),因此在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教師要想更好地運用分類討論思想,首先要深入發(fā)掘教材內(nèi)容,從中提取有關(guān)分類討論思想的知識點,帶領(lǐng)學(xué)生對知識進(jìn)行類比劃分,逐類討論,以助他們?nèi)胬斫鈹?shù)學(xué)知識。高中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中應(yīng)事先閱讀與研究教材內(nèi)容,刻意滲透分類討論思想,為學(xué)生提供明確的分類對象,突破灌輸式教學(xué)模式的限制,讓他們在分類討論思想指導(dǎo)下高效學(xué)習(xí)。

    比如,在教學(xué)“空間幾何體的結(jié)構(gòu)”中講到空間物體的類別時,教師可以有意識地運用分類討論思想。在多媒體課件中出示以下圖片:電線桿、方便面盒、吊線墜、一次性紙杯、螺母、臺燈燈罩、足球、斗笠、水杯,以及秤砣、金字塔、瓦房屋頂、交通錐等,要求學(xué)生把這些物體分類。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)物體的結(jié)構(gòu)特征把它們分成兩類,引領(lǐng)他們概括共性,得出旋轉(zhuǎn)體與多面體的定義。接著,教師組織學(xué)生分類討論旋轉(zhuǎn)體與多面體的不同之處和結(jié)構(gòu)特征,使其發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)體是平面圖圍繞軸旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體;多面體則由面、棱、頂點構(gòu)成,主要特征是有棱角。然后指導(dǎo)他們結(jié)合棱柱定義展開分類討論,將棱柱分為直棱柱、斜棱柱、正棱柱三個類別。

    針對上述案例,教師通過課件展示各種空間物體,引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)幾何結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分類討論,增強(qiáng)他們對各種空間幾何體的了解和認(rèn)識,使其學(xué)會區(qū)分,使其觀察能力得到有效鍛煉。

    二、結(jié)合具體知識要點,實時運用分類討論思想

    高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容體系復(fù)雜、內(nèi)容繁瑣,涉及的范圍更是廣泛,不過并非所有知識要點都能滲透分類討論思想,教師不能盲目或者隨意運用,而是要有針對性地運用分類討論思想,為學(xué)生提供新式學(xué)習(xí)思路,指導(dǎo)他們在分類討論中逐步理解和掌握新知識。這就要求高中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中,需要根據(jù)具體情況運用分類討論思想。明確分類標(biāo)準(zhǔn),使其按照不同情況找準(zhǔn)分類方法,確保討論內(nèi)容不重復(fù)、不遺忘,以有利于他們準(zhǔn)確理解新知識。

    比如,在進(jìn)行“集合”教學(xué)中,當(dāng)講到集合的分類時,依據(jù)集合所含元素個數(shù)不同,將集合分為以下幾個類別:(1)不含任何元素的集合是空集 Ф,強(qiáng)調(diào) 0 并不是空集;(2)含有有限個元素的集合是有限集;(3)含有無窮個元素的集合是無限集。讓學(xué)生分類討論,按照集合的類別羅列一些相應(yīng)的例子。比如,既是三角形又是平行四邊形的集合是空集,x2=-2 也是一個空集;所有家庭成員、班內(nèi)所有同學(xué)、高中階段學(xué)習(xí)的所有學(xué)科等均是有限集;偶數(shù)、奇數(shù)、自然數(shù)、負(fù)數(shù)都是無限集合。講到集合間的關(guān)系時,也可運用分類討論思想,教師結(jié)合例題帶領(lǐng)學(xué)生解讀并集、交集、補集、全集和子集等概念,明確劃分集合的分類標(biāo)準(zhǔn),幫助他們深刻理解集合。

    教師結(jié)合具體內(nèi)容運用分類討論思想,讓學(xué)生全面掌握集合類型;列舉相應(yīng)例子,讓學(xué)生更好地理解集合類型的劃分標(biāo)準(zhǔn),讓他們初步了解元素與集合之間的從屬關(guān)系。

    三、科學(xué)合理劃分類別,組織學(xué)生全面分析討論

    分類討論思想的主要優(yōu)勢在于全面性和完整性,可以從若干個層面對知識或問題展開分析與討論,保證思考行為的有序性與系統(tǒng)性。在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中運用分類討論思想時,教師應(yīng)當(dāng)和學(xué)生一起科學(xué)合理地劃分類別,也就是說,根據(jù)分類對象與標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,并堅持分類討論的以下幾個原則:(1)每級分類按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行;(2)分類應(yīng)逐級進(jìn)行;(3)同級互斥、不得越級。組織他們?nèi)娣治雠c討論,使其最終得出正確的結(jié)論或結(jié)果。

    以“函數(shù)”教學(xué)為例,當(dāng)學(xué)習(xí)完函數(shù)的概念后,教師出示例題。

    〖例 1〗已知函數(shù) ,求函數(shù)的定義域,以及 f(-3)和? 的值;當(dāng) a>0 時,求 f(a),f(a-1)的值。

    〖例 2〗已知一個矩形的周長是 80 厘米,其中一邊長 x,求矩形面積關(guān)于 x 的函數(shù)解析式,寫出定義域。

    組織學(xué)生分析和解題,隨后引領(lǐng)他們結(jié)合答案總結(jié)幾類函數(shù)的定義域:①假如 f(x)是整式,函數(shù)的定義域是實數(shù)集 R;②假如 f(x)是分式,函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)集合;③假如 f(x)是二次分式,函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)式子大于或等于零的實數(shù)集合;④假如 f(x)由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成,函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合。

    這樣學(xué)生通過分類討論和總結(jié),知道函數(shù)定義域由問題實際背景確定。如果沒明確定義域,那么函數(shù)的定義域指能使這個式子有意義的實數(shù)集,且值域要寫成集合或區(qū)間形式。

    四、注重基礎(chǔ)知識教學(xué),深化分類討論思想應(yīng)用

    在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,部分定理、公式、概念等基礎(chǔ)知識當(dāng)中均蘊含分類討論思想,這為分類討論思想的應(yīng)用帶來良好契機(jī)。但部分高中生邏輯思維能力不強(qiáng),他們在分類討論中極易出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等問題。原因是對基礎(chǔ)知識掌握不夠牢固,無法弄清分類情況,從而步入分類討論的誤區(qū)。這就要求高中數(shù)學(xué)教師高度重視基礎(chǔ)知識的教學(xué),借助分類討論的優(yōu)勢引領(lǐng)學(xué)生分類討論,輔助他們系統(tǒng)、牢固地掌握所學(xué)內(nèi)容,深化分類討論思想的應(yīng)用。

    例如,在“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)實踐中,當(dāng)學(xué)生正確認(rèn)識三角函數(shù)的定義域后,教師在多媒體課件中出示一個平面直角坐標(biāo)系,以 O 為圓心畫一個單位圓,標(biāo)出點 A(1,0)為任意角 α 的一邊,終邊與單位圓相交于點 P(x,y)。組織學(xué)生分類討論:① y 叫做 α 的正弦(sine),記做 sin α,即 sin α=y;② x 叫做 α 的余弦(cosine),記做 cos α,即 cos α=x;③ 叫做 α 的正切(tangent),記做 (x≠0)。搭配問題:在上述三角函數(shù)定義中,自變量是什么?對應(yīng)關(guān)系有什么特點?函數(shù)值是什么?學(xué)生可能對三角函數(shù)自變量的認(rèn)識存在問題,教師引領(lǐng)他們結(jié)合單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦和正切的值域,并把 α 分為銳角、不是銳角、終邊在 y 軸上幾個類別討論。

    上述案例,教師在教學(xué)基礎(chǔ)知識時,采用分類討論思想,組織學(xué)生分類討論角,使他們明白正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)比值為函數(shù)值的函數(shù)。

    五、提倡小組合作學(xué)習(xí),促使學(xué)生主動分類討論

    高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,面對部分難度較大的知識或問題時,僅僅憑借個人能力難以透徹、全面地理解。他們在獨立學(xué)習(xí)或解題時通常出現(xiàn)考慮不夠周全的情況,以至理解得不夠全面。高中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中運用分類討論思想時要靈活調(diào)整,大力提倡小組合作學(xué)習(xí)方式,組織學(xué)生進(jìn)行小組學(xué)習(xí),讓學(xué)生在小組內(nèi)討論、相互啟發(fā)與補充,并盡量討論到每一種情況,使其突破個人思維的局限性,體現(xiàn)小組合作學(xué)習(xí)的優(yōu)勢,以此提升整體學(xué)習(xí)效率,推動他們之間互動。

    比如,在“數(shù)列的概念與簡單表示法”的教學(xué)中,教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察教材 26 頁的主題圖,觀察自然現(xiàn)象中出現(xiàn)的數(shù)的規(guī)律,讓他們分組討論數(shù)的規(guī)律,并觀察 28 頁的兩幅圖,使其在小組內(nèi)討論,引出數(shù)列的概念。接著,教師要求學(xué)生以小組為單位討論生活中的數(shù)列實例,如銀行利息、房貸、購買商品分期付款等,告知他們數(shù)列中的每一個數(shù)稱為這個數(shù)列的項,排在第幾位就是第幾項。之后,學(xué)生在小組內(nèi)討論數(shù)列的分類,先在組內(nèi)總結(jié),再在班內(nèi)匯總結(jié)果,使其按照數(shù)列特點進(jìn)行適當(dāng)分類。例如,按照數(shù)列的項數(shù)分為有限數(shù)列與無窮數(shù)列;按照數(shù)列中數(shù)的大小特點分成遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列,然后說出教材中幾種數(shù)列的類型。

    在上述案例中,教師組織學(xué)生采用小組合作學(xué)習(xí)的方式,使其在討論交流中找準(zhǔn)、找全數(shù)列的幾種分類,讓他們初步理解數(shù)列的順序性,感受數(shù)列是刻畫自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。

    六、借助解題教學(xué)契機(jī),實踐運用分類討論思想

    解題教學(xué)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要一環(huán),不僅可以檢測學(xué)生對所學(xué)知識的掌握與應(yīng)用情況,而且能夠使他們發(fā)現(xiàn)個人的不足與缺陷,使其有目的性地改進(jìn)和強(qiáng)化,同時也是分類討論思想實踐應(yīng)用的機(jī)會。高中數(shù)學(xué)教師在具體的課堂實踐中,應(yīng)該精心設(shè)計解題訓(xùn)練,借助解題教學(xué)的契機(jī)引領(lǐng)學(xué)生運用分類討論思想分析和處理問題,使其掌握分類討論思想的應(yīng)用方法與技巧,學(xué)會用來靈活解題,借此提高他們的解題水平與應(yīng)用能力,并收獲信心。

    比如,在開展“不等式”教學(xué)時,當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)完教材內(nèi)容后,教師可設(shè)置練習(xí)題:

    設(shè) 0(ax)2 解集中的整數(shù)剛好是 3 個,那么實數(shù) a 的取值范圍是什么?

    在這里要先把原不等式進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化,變成[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0。很明顯,要對 a 與 1 之間的關(guān)系展開分類討論。①當(dāng) a≤1 時,顯然不符合題意,可舍棄;②當(dāng) a>1 時,,根據(jù)題意得知 ,要想讓不等式的解集中剛好有 3 個正數(shù),那么 ,整理可得 2a-2

    上述案例,學(xué)生結(jié)合不等式的定義運用分類討論思想解題,將較為復(fù)雜的問題分解成兩個基礎(chǔ)性問題,通過對基礎(chǔ)性問題的解答求出正確答案,鍛煉他們的應(yīng)用意識與能力。

    總而言之,分類討論思想是一種相當(dāng)重要的數(shù)學(xué)思想方法,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中,教師需把分類討論思想科學(xué)應(yīng)用至多個知識要點的講解和習(xí)題訓(xùn)練中,指導(dǎo)學(xué)生高效學(xué)習(xí),使其快速找到解題思路,提高他們的邏輯思維能力。

    (責(zé)編 盧建龍)

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