圓外切四邊形面積公式探索
——從“2018年南京數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題”談起

程銀生

(江蘇省南京市南師附中新城初中黃山路分校 210019)

“結(jié)果如此巧合!”，“ 這僅僅是巧合嗎？” 2018年南京數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題以此親切的口吻與考生對(duì)話，以聊天的方式“發(fā)現(xiàn)問題”、“提出問題”，引導(dǎo)學(xué)生“分析問題”、“解決問題”．命題者用心良苦，牽著考生的手，進(jìn)一步，再進(jìn)一步．筆者深受感染，沿著命題者指引的方向進(jìn)行探索，現(xiàn)將發(fā)現(xiàn)呈現(xiàn)給大家，請(qǐng)多指導(dǎo)．

1 題目及解答

結(jié)果如此巧合!

下面是小穎對(duì)一道題目的解答．

題目：如圖①，Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D，AD=3，BD=4，求△ABC的面積．

圖①

解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F，CE的長為x．

根據(jù)切線長定理，

得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．

根據(jù)勾股定理，

得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2．

整理，得x2+7x=12．

小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4，即△ABC的面積等于AD與BD的積．這僅僅是巧合嗎？

請(qǐng)你幫她完成下面的探索．

已知：△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D，AD=m，BD=n．

可以一般化嗎？

(1)若∠C=90°，求證：△ABC的面積等于mn．

倒過來思考呢？

(2)若AC?BC=2mn，求證∠C=90°．

改變一下條件……

(3)若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面積．

解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)E、F，CE的長為x，

根據(jù)切線長定理，得

AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x．

(1)如圖①，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，

得 (x+m)2+(x+n)2=(m+n)2，

整理得x2+(m+n)x=mn，

(2)由AC?BC=2mn，得

(x+m)(x+n)=2mn，

整理得x2+(m+n)x=mn，

所以AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2

=2[x2+(m+n)x]+m2+n2

=2mn+m2+n2=(m+n)2=AB2，

根據(jù)勾股定理逆定理可得∠C=90°；

(3)如圖②，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，

圖②

在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理可得

=(m+n)2，

整理得x2+(m+n)x=3mn，

2 過程探秘

2.1 含60°角的三角形特殊化

△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D，AD=m，BD=n，∠C=60°．

當(dāng)∠A=90°時(shí)(如圖③)，I為△ABC的內(nèi)心，四邊形ADIE為正方形，

所以EI=AD=m，BF=BD=n，

圖③

根據(jù)第(1)問結(jié)論，得

當(dāng)∠A=60°時(shí)(如圖④)，I為△ABC的內(nèi)心，則AD=BD，

圖④

2.2 結(jié)果猜想

圖⑤

(3)特例驗(yàn)證

3 結(jié)論證明

△ABC的三邊分別為a、b、c，內(nèi)切圓與三邊相切于點(diǎn)D、E、F(如圖⑤)，AE=AD=m，BD=BF=n，CF=CE=l，⊙I的半徑為r．

則l=p-c，m=p-a，n=p-b．

根據(jù)海倫公式

①

②

③

[三角形的面積等于三條切線長的積與內(nèi)切圓半徑的商]

[三角形內(nèi)切圓的半徑等于三條切線長的積與三條切線長和的商的算術(shù)平方根]

4 結(jié)論拓展

4.1 三角形面積公式拓展

△ABC的內(nèi)切圓I的半徑為r，旁切圓J的半徑為R，點(diǎn)D、E、F、G、H、K為兩圓與三角形三邊的切點(diǎn) (如圖⑥)，

AE=AF=a，BD=BF=b，CD=CE=c，CH=CG=d，AK=AG=e．

圖⑥

那么△ABC的周長為2(a+b+c) ，

因?yàn)锳B+AC+BC

=AB+AG+GC+BC

=BK+BH=2BK=2BH

=2(a+b+e) =2(d+b+c)，

所以a=d,c=e，

對(duì)以上結(jié)論可作如下呈現(xiàn)：

[文字語言：三角形的面積等于旁切圓的三條切線長的積與半徑的商]

圖⑦

4.2 圓外切四邊形面積公式

四邊形ABCD為⊙I的外切四邊形，⊙I半徑為r，點(diǎn)E、F、G、H為切點(diǎn) (如圖⑧)，AE=AH=a，BE=BF=b，CF=CG=c，DH=DG=d．設(shè)兩對(duì)邊DA、CB的延長線相交于點(diǎn)M，MH=MF=m．

圖⑧

④

又因?yàn)镾四邊形 ABCD= (a+b+c+d)r，

所以(a+b+c+d) (cd-r2)= (c+d) (cd-ab)．

所以acd+bcd+c2d+cd2- (a+b+c+d)r2=c2d+cd2-abc-abd．

所以(a+b+c+d)r2=abc+abd+acd+bcd．

⑥

所以S四邊形 ABCD= (a+b+c+d)r

⑦

[文字語言：圓外切四邊形面積等于每三條切線長積的和與內(nèi)線圓半徑的商；也等于一邊上兩切線長與對(duì)邊積加上這一邊與對(duì)邊兩切線長的積的和除以內(nèi)線圓半徑的商]

由⑥式得四邊形內(nèi)切圓半徑

上式代入⑦式，得圓外切四邊形的面積公式

[圓外切四邊形面積等于四條切線長的和乘以每三條切線長積的和的積的算術(shù)平方根]

特別地，當(dāng)d=0時(shí)，即為海倫公式的變形①．

結(jié)語

G.波利亞說過：沒有任何一道題是可以解決的十全十美，總剩下些工作要做．這里剩下的工作就是指解題反思，它可以優(yōu)化解題過程，提高理解水平，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維……所以無論是學(xué)生還是老師都應(yīng)該養(yǎng)成解后反思的習(xí)慣．正如此題，如果不反思，就只是兩個(gè)三角形的面積問題，不可能出現(xiàn)一般三角形的情形，更不可能出現(xiàn)圓外切四邊形的面積公式，結(jié)果的巧合，也僅僅是巧合而已．