揭示充要條件 促進深度理解 提升思維品質(zhì)①

陶兆龍

(江蘇省南京市金陵中學(xué) 210005)

不注意揭示數(shù)學(xué)知識和方法中蘊含的充要條件，學(xué)生在對概念與方法一知半解的情況下進行機械學(xué)習(xí)在目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中較為常見.這種做法非常不利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

充要條件的學(xué)習(xí)對學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)方法，提升思維品質(zhì)有著很大的促進作用.新的課程標(biāo)準(zhǔn)已將充要條件提前到高一上學(xué)期講授.借此良機，教學(xué)中應(yīng)借助于充要條件，促進學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)知識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 揭示數(shù)學(xué)概念定義中充要條件，促進學(xué)生對概念的深度理解

數(shù)學(xué)概念的定義與充要條件有著極為密切的關(guān)系，很多數(shù)學(xué)定義中都意味著一個充要條件．以適當(dāng)?shù)姆绞阶寣W(xué)生認(rèn)識到其中的充要條件是理解有關(guān)概念的關(guān)鍵．

在對數(shù)定義的教學(xué)中遇到過這樣的窘境．在由特殊到一般地花費了一番周折，成功地引入對數(shù)定義后，讓學(xué)生完成下列練習(xí):

求下列各式的值:

(1)log232．

(2)log279．

有很多學(xué)生一臉茫然，不會算.

后來我們作了改進，在引入定義后，揭示了以下關(guān)系:

logaN=x?ax=N．(a>0，a≠1 )

依據(jù)這一充要條件不僅可以看到求對數(shù)值的“操作過程” (轉(zhuǎn)化為指數(shù))，還能進一步地認(rèn)識到對數(shù)“結(jié)構(gòu)對象”的屬性:對數(shù)實際上是 “指數(shù)”，logaN就是表示實數(shù)a的多少次方等于N的那個數(shù)．

明確了這一充要條件后，學(xué)生就很容易想到求上述對數(shù)值的兩種方法:轉(zhuǎn)化為指數(shù)或直接由對數(shù)的意義求．

空間線面關(guān)系的定義就是判斷相應(yīng)線面關(guān)系的充要條件，既可以作為判定定理用，也可以作為性質(zhì)定理用，以前的教學(xué)中，有很多教師在這方面處理得比較含糊，現(xiàn)在學(xué)習(xí)立體幾何之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了充要條件，所以，引進概念的定義后，便可明確揭示相應(yīng)的充要條件．

如線面垂直的定義:

如果直線l和平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α垂直，記為l⊥α．

由此可得:

直線l⊥α與平面垂直的充要條件是直線l垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線.

理解是應(yīng)用知識的前提，對概念一知半解，靈活運用便無從談起．揭示了數(shù)學(xué)定義中的充要條件，加深了學(xué)生對概念的理解，學(xué)生思維的深刻性得到了訓(xùn)練，為靈活運用概念奠定了基礎(chǔ)．

2 揭示數(shù)學(xué)定理、公式、法則中的充要條件，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)結(jié)論的深度理解

高中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)結(jié)論(定理、公式、法則)多數(shù)是以“若p，則q”的形式呈現(xiàn)，這里p是q的充分條件，其必要性有的具備、有的不具備.教材中因考慮到教學(xué)要求和學(xué)生接受能力等因素，多數(shù)未明確．在充要條件的概念提前到高一上學(xué)習(xí)以后，為用充要條件的形式來闡述數(shù)學(xué)結(jié)論提供了方便．明確數(shù)學(xué)定理、公式與法則中的條件對結(jié)論的充分性和必要性，不僅可以深化學(xué)生對數(shù)學(xué)結(jié)論的理解，還可以避免學(xué)生誤用結(jié)論．

如學(xué)習(xí)等差數(shù)列{an}的通項公式后可引導(dǎo)學(xué)生得到: 數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是存在常數(shù)k，b，使得:an=kn+b(n∈N*).

在單元復(fù)習(xí)階段還可以揭示與等差數(shù)列的前n項和公式有關(guān)的充要條件.

設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是存在常數(shù)a，b，使得:Sn=an2+bn(n∈N*).

與公式有關(guān)的充要條件實際上揭示了等差數(shù)列的本質(zhì)特征．揭示相關(guān)的充要條件，學(xué)生對相關(guān)知識的認(rèn)識會上升到一個新的高度，同時還能學(xué)習(xí)體會到充要條件推證過程中運用的本單元的思想方法，這里有函數(shù)思想與遞推思想等等．

數(shù)學(xué)結(jié)論中的條件有很多是充要的，也有充分非必要的以及必要非充分的，如不加以厘清，學(xué)生會將充分非必要條件或必要非充分條件當(dāng)作充要條件．即將所有結(jié)論一視同仁，皆當(dāng)成充要條件用．

揭示了有關(guān)的幾個充要條件可以使學(xué)生深度理解基本不等式，避免錯誤運用，同時，還培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性與縝密性．

3 揭示數(shù)學(xué)方法中的充要條件，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的深度理解

轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問題最重要的、最基本的思維策略，轉(zhuǎn)化意識與能力的強弱在一定程度上反映出學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平.解決問題的過程中，一般需要將問題的條件與結(jié)論進行轉(zhuǎn)化，通常需要進行等價轉(zhuǎn)化.等價轉(zhuǎn)化實際上就是找到與條件或結(jié)論相對應(yīng)的充要條件，從充要條件的角度揭示轉(zhuǎn)化的等價性，可使學(xué)生更加深刻地理解解題過程中的轉(zhuǎn)化策略，更加自覺地對條件進行充分必要的轉(zhuǎn)化，或有意識地、靈活地進行充分非必要，必要非充分轉(zhuǎn)化．

3.1 轉(zhuǎn)化不充要是思維受阻的重要原因

在解決問題的過程中，有不少同學(xué)能夠?qū)l件進行不同形式的轉(zhuǎn)化，得到很多關(guān)系式，但卻無法找到解題思路.究其原因，往往是沒有充要地轉(zhuǎn)化條件．條件轉(zhuǎn)化得不充分，自然就推不出結(jié)論．有的重復(fù)轉(zhuǎn)化,沒有對轉(zhuǎn)化的充要性(等價性)進行分析,也會使思路陷入混亂.

問題1設(shè)點A和B為拋物線y2=4px(p>0)上除原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．

在解決這一問題時，有很多同學(xué)一會兒設(shè)出A，B兩點的坐標(biāo)，找出其關(guān)系；一會兒設(shè)出直線AB的方程，由方程組找關(guān)系，似乎有很多條件可以用，但又求不出軌跡方程.以下的情況極其常見.

從而y1y2=-16p2．

至此，解題中斷．

同樣，如用直線的斜率為參數(shù)，只要將條件充分必要地轉(zhuǎn)化(等價轉(zhuǎn)化)，便可以建立參數(shù)方程．如既用坐標(biāo)參數(shù)，又用斜率參數(shù)，只要將條件充分必要的體現(xiàn)出來(轉(zhuǎn)化)，也可以求出軌跡方程．

教學(xué)中，通過揭示條件轉(zhuǎn)化的非充分性以及過度轉(zhuǎn)化導(dǎo)致解題中斷，讓學(xué)生認(rèn)識到解題思路的探索首先要對問題的條件進行充分必要地轉(zhuǎn)化，這樣做可以避免思維的盲目性，并為進一步探索指明方向.充分必要地轉(zhuǎn)化所有條件是探索解題思路的基本策略.

3.2 揭示典型問題中的充要條件，深度理解等價轉(zhuǎn)化

有不少典型問題的典型解法實際上已經(jīng)將問題的條件進行了充分必要地轉(zhuǎn)化，但解題過程中并沒有給出明示，如不從充要條件角度揭示轉(zhuǎn)化的等價性，學(xué)生則難以理解這些方法，這些基本方法的學(xué)習(xí)效果會大打折扣．

(b+9)x2-18mx+9m2-9b=0，

分析與解學(xué)生的一般的解法是，

(1)

兩條曲線沒有公共點,其代數(shù)表示即方程組無實數(shù)解．但這里,當(dāng)0

這種錯誤解法和解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系如出一轍,是這一解法的負(fù)遷移．但這兩類問題實際上是有區(qū)別的．

如直線y=x+m與橢圓4x2+y2=4有兩個不同的交點,盡管橢圓上點的橫坐標(biāo)的取值范圍是[-1,1],但并不需要討論方程4x2+(x+m)2=4在[-1,1]上有兩個不等的實根.因為,只要上述方程有兩個不等的實根(Δ>0),由4x2=4-(x+m)2≤4知必有x∈[-1，1]．即此時, 在[-1，1]上有兩個不等的實根的充要條件是方程在R上有兩個不等的實根,兩者是等價的．

這是由于直線方程和圓錐曲線方程的結(jié)構(gòu)對轉(zhuǎn)化后的一元二次方程解的范圍有制約作用．在處理直線與曲線或曲線與曲線位置關(guān)系時,應(yīng)對轉(zhuǎn)化前后方程組和方程解之間的充要條件作出分析,以免學(xué)生機械模仿,不得要領(lǐng)．

3.3 先充分、后必要或先必要、再充分

在探索解決問題方法的過程中，有時要直接將題設(shè)進行等價(充分必要地)轉(zhuǎn)化比較困難,這時可以引導(dǎo)學(xué)生主動地放棄充分性或必要性,采取先尋找其充分條件,再考察其必要性；或先確定其必要條件,再討論其充分性．即采用以退為進的轉(zhuǎn)化策略,最終得到充要條件．這種訓(xùn)練對培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性有較大幫助．

問題4已知函數(shù)f(x)=ax2+cosx(a∈R),記f(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x),若f(x)在x=0處取得極小值，求a的取值范圍．

分析與解求a的取值范圍實際上就是f(x)在x=0處取得極小值的充要條件．

f′(x)=2ax-sinx,f′(0)為零，這里無法由f(x)“在x=0處取得極小值”直接得到與實數(shù)a有關(guān)的式子，為此，進一步研究

g(x)=f′(x),g′(x)=2a-cosx，

存在0

0cosx0=2a,g′(x)<0；

所以g(x)在(0,x0)上單調(diào)減,

g(x)=f′(x)

所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)減,f(x)

這與f(x)“在x=0處取得極小值”矛盾．

充要條件提前學(xué)習(xí)為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展提供了良好的契機,在教學(xué)過程中,要利用好這一工具,注意揭示數(shù)學(xué)知識有關(guān)的充要條件,促進學(xué)生深度理解知識與方法,并靈活運用充要條件進行轉(zhuǎn)化,提高其探索能力．