斐索干涉儀中壓電陶瓷的非線性校正

王 芳，盧慶杰，韓 森,2

(1.上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093；2.蘇州慧利儀器有限責(zé)任公司，江蘇 蘇州 215123)

0 引言

目前，高精密元件和高性能光學(xué)系統(tǒng)在科學(xué)研究和生產(chǎn)工程領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用，而先進(jìn)的檢測(cè)技術(shù)和高端的檢測(cè)儀器對(duì)光學(xué)元件和光學(xué)系統(tǒng)的制造及使用尤為重要。光學(xué)干涉測(cè)量技術(shù)是現(xiàn)代最精密的測(cè)試技術(shù)之一，它能快速、準(zhǔn)確地完成對(duì)光學(xué)元件面形與系統(tǒng)的檢測(cè)。相移干涉測(cè)量技術(shù)的基本概念是通過采集一組相移干涉圖，精確地提取干涉圖的相位[1-4]。壓電陶瓷(PZT)致動(dòng)器相移法通常被使用，即利用PZT在電壓的驅(qū)動(dòng)下產(chǎn)生位移形變的特性，使用其作為相移產(chǎn)生裝置。但由于PZT具有嚴(yán)重的遲滯非線性，直接導(dǎo)致相鄰幀干涉圖之間的相移量為非線性，從而提取的相位將攜帶誤差，影響著干涉儀的的測(cè)量結(jié)果。針對(duì)PZT的遲滯非線性問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已大量研究了遲滯模型(目前較成熟的模型主要有Preisach模型、Duhem模型及Maxwell模型等[5-11])及控制方法(主要有基于遲滯模型的前饋控制法、不基于遲滯模型的PID反饋控制法及前饋控制與反饋控制相結(jié)合的混合控制方法等[12-13])。

針對(duì)斐索干涉儀相移器的遲滯非線性特性，本文設(shè)計(jì)了一種基于PZT傳遞函數(shù)的前饋開環(huán)校正法的控制系統(tǒng)來校正PZT的遲滯非線性，該方法不存在反饋回路，簡(jiǎn)單有效。整個(gè)控制系統(tǒng)包括電壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和位移采集系統(tǒng)。PZT傳遞函數(shù)是通過PZT的輸入功能函數(shù)和輸出功能函數(shù)的關(guān)系來描述PZT的固有屬性，然后通過結(jié)合PZT的固有屬性及PZT的理想輸出位移可得到PZT理想的輸入電壓，最終完成PZT的非線性校正。

1 系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1.1 相移誤差產(chǎn)生的相位誤差

根據(jù)雙光束干涉理論，干涉場(chǎng)中的光強(qiáng)分布[14]可表示為

I(x,y)=Idc(x,y)+Iac(x,y)cos[φ(x,y)+δn]

(n=-1,0,1,2,3)

(1)

式中：I(x,y)為測(cè)得的每幀干涉圖像的每個(gè)像素點(diǎn)的光強(qiáng);Idc(x,y)為光強(qiáng)的偏移量;Iac(x,y)為調(diào)制光強(qiáng)峰谷值的一半;φ(x,y)為參考波前與被測(cè)波前的相位差;δn為相移量。

測(cè)量時(shí)可得到每幀干涉圖像每個(gè)像素點(diǎn)的光強(qiáng)。其中φ(x,y)，Idc(x,y),Iac(x,y)均是未知的，因此,至少需要3個(gè)干涉圖才能決定在不同圖像間的相位變化φ(x,y)。本文采用五步相移算法及相移量為π/2的方法來獲取φ(x,y),且

(2)

式中I1～I(xiàn)5為每步相移后測(cè)得的光強(qiáng)強(qiáng)度。

根據(jù)δn與PZT位移量ΔL之間的關(guān)系，則式(1)可表示為

I(x,y)=Idc(x,y)+Iac(x,y)·

(3)

由式(3)可知，PZT的非線性位移將導(dǎo)致非等步長(zhǎng)的相移改變量，進(jìn)而產(chǎn)生相位誤差。

相位誤差σφ可表示為

(A+B+C)

(4)

式中:λ=632.8 nm為激光干涉儀的波長(zhǎng)；ΔL1,ΔL2,ΔL3,ΔL4,ΔL5為PZT每步的位移量。

(5)

(6)

(7)

根據(jù)以上分析，相位誤差可通過移相誤差求得,進(jìn)而可求得被測(cè)表面形貌的高度(h)誤差及峰谷(PV)與起伏高度均方根誤差(RMS)，分別表示為

(8)

ΔPV=Δhmax-Δhmin

(9)

(10)

1.2 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

由于相位誤差引起高度(h)誤差，而相位誤差是由PZT移相誤差引起的，因此有必要提出一種控制系統(tǒng)和方法來校正PZT的遲滯非線性。實(shí)驗(yàn)研究對(duì)象PZT作為斐索(Fizeau)干涉儀相移器的關(guān)鍵部件，推動(dòng)參考鏡移動(dòng)，進(jìn)而產(chǎn)生光程差。圖1為斐索(Fizeau)型干涉儀的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

圖1 斐索型干涉儀實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

1.2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

圖2為實(shí)驗(yàn)控制系統(tǒng)框圖。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)采用矩形壓電陶瓷疊層致動(dòng)器作為驅(qū)動(dòng)源。該P(yáng)ZT內(nèi)部集成了電阻應(yīng)變儀，最大輸入電壓150 V,行程10 μm，電阻應(yīng)變儀的固有阻值為1 kΩ。數(shù)據(jù)采集設(shè)備使用NI公司數(shù)據(jù)采集卡(PCIe-6321)和連接器(SCB-68A)，主要作用是與LabVIEW系統(tǒng)結(jié)合產(chǎn)生PZT的驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)及與位移傳感器、LabVIEW系統(tǒng)結(jié)合獲取PZT的輸出位移。電壓放大器采用壓電控制器(XE-650.OA)，放大倍率為12.5，主要作用是放大PZT的驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)。位移傳感器是一個(gè)單臂惠斯通橋式電路，其中內(nèi)置于PZT的電阻應(yīng)變儀為其中的1個(gè)臂，其余3個(gè)臂的阻值均為1 kΩ,電阻精度均為1%。位移傳感器采用5 V直流電壓供電，采用MATLAB軟件平臺(tái)設(shè)計(jì)前饋開環(huán)校正算法程序，對(duì)采集到的位移數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，最終求出PZT理想的驅(qū)動(dòng)電壓值。

圖2 PZT控制系統(tǒng)

1.2.2 PZT位移非線性校正控制算法

為了補(bǔ)償PZT非線性特性產(chǎn)生的相位誤差，提出了一種前饋開環(huán)控制模型校正PZT的非線性特性,開環(huán)控制思想?yún)⒖嘉墨I(xiàn)[12],即將PZT的傳遞函數(shù)模型串聯(lián)在PZT之前，使PZT輸入與輸出呈線性關(guān)系。

輸入電壓Vin(t)是已知的PZT驅(qū)動(dòng)電壓，根據(jù)干涉儀的測(cè)量要求，通過計(jì)算機(jī)、NI數(shù)據(jù)采集設(shè)備、LabVIEW系統(tǒng)及電壓放大器產(chǎn)生，Vin(t)可表示為

Vin(t)=kt

(11)

式中k為常數(shù)，根據(jù)干涉儀的測(cè)量要求設(shè)置k值。

當(dāng)PZT被驅(qū)動(dòng)后，可得其輸出位移Xout(t)，對(duì)Xout(t)信號(hào)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合處理，則

(12)

式中：p∈(0,P),P≥1；t∈(tm,tm+1),m=0,1,2，…；ap,P,tm，tm+1均為常數(shù)。

如果PZT的功能參數(shù)未知，則Vin(t)與Xout(t)間的關(guān)系為

Xout(t)=o(Vin(t))

(13)

式中ο為函數(shù)關(guān)系的表示符號(hào)。

同時(shí)理想的輸出位移可表示為

Xideal(t)=at+b

(14)

式中a，b是常數(shù)，且a，b根據(jù)干涉儀測(cè)量要求設(shè)定其數(shù)值。

針對(duì)同一個(gè)PZT，其新的理想輸入電壓Videal(t)與Xideal(t)間的關(guān)系可表示為

Xideal(t)=o(Videal(t))

(15)

根據(jù)式(13)～(15)可得：

(16)

式中Kq,Q是常數(shù)，且Q>1。

1.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

1.3.1 線性校正PZT的位移

實(shí)際中，針對(duì)干涉儀利用五步相移算法對(duì)光學(xué)樣品進(jìn)行表面三維形貌測(cè)量時(shí)，只使用到三角波驅(qū)動(dòng)電壓的正向電壓驅(qū)動(dòng)PZT推動(dòng)參考鏡產(chǎn)生相移，所以，此實(shí)驗(yàn)研究對(duì)象針對(duì)三角波驅(qū)動(dòng)電壓的正向電壓，并對(duì)產(chǎn)生的位移進(jìn)行線性校正。

在1.2節(jié)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)產(chǎn)生幅值為100 V，頻率為0.5 Hz的周期三角波信號(hào)作為PZT的驅(qū)動(dòng)電壓。系統(tǒng)的采樣速率為0.5 kSPS。在系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)PZT時(shí)，同步采集PZT的位移數(shù)據(jù)并存儲(chǔ)。取出PZT半個(gè)周期的位移增長(zhǎng)數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件平臺(tái)以及1.2.2節(jié)介紹的開環(huán)控制算法，可得到PZT產(chǎn)生理想位移所需理想驅(qū)動(dòng)電壓。然后將MATLAB計(jì)算出的驅(qū)動(dòng)電壓值用來重新驅(qū)動(dòng)PZT，系統(tǒng)再次采集PZT的位移數(shù)據(jù)，校正流程如圖3所示。圖4為PZT位移校正前、后的驅(qū)動(dòng)電壓值。圖5為PZT校正前、后的位移值。

圖3 非線性校正控制算法框圖

圖4 PZT校正前、后的驅(qū)動(dòng)電壓

圖5 PZT校正前、后的位移

圖6為PZT校正前、后的驅(qū)動(dòng)電壓差及位移差。由圖可看出，PZT校正前、后輸出與輸入函數(shù)呈反函數(shù)關(guān)系。

圖6 PZT校正前、后的驅(qū)動(dòng)電壓差與位移差

圖7 PZT校正前、后相移器的移相

1.3.2 相位誤差與高度誤差的模擬

圖8為PZT校正前、后系統(tǒng)的相位誤差。圖9為PZT校正前、后系統(tǒng)的高度誤差。校正前，MATLAB軟件編程產(chǎn)生32個(gè)相位值，以及5個(gè)相移誤差值，系統(tǒng)將會(huì)產(chǎn)生最大相位誤差為9.85×10-6rad，高度誤差為4.96×10-4nm。校正后，PZT的位移軌跡為線性，在相同時(shí)間間隔內(nèi)可實(shí)現(xiàn)每步的相移量固定為π/2，相位誤差及高度誤差可被改善。

圖8 PZT校正前、后系統(tǒng)的相位誤差

圖9 PZT校正前、后系統(tǒng)的高度誤差

2 結(jié)束語

本文結(jié)合斐索型干涉儀的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，搭建了PZT相移器的控制系統(tǒng)，包括電壓驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與位移采集系統(tǒng)。然后結(jié)合前饋開環(huán)控制算法，可有效完成PZT的遲滯非線性校正。實(shí)驗(yàn)中，控制系統(tǒng)的采樣頻率為0.5 kSPS，輸入電壓頻率為0.5 Hz。校正前、后位移差小于10%。校正后，改善了移相誤差，同時(shí)改善了相位誤差和高度誤差，從而有效提高了干涉儀的測(cè)量精度。