一題兩翼，“形”“理”兼得

陳紀(jì)韋華 陳秀娟

縱觀近幾何壓軸題一般出現(xiàn)在數(shù)學(xué)試卷的最后一兩題，分值大，綜合性強(qiáng).考查幾何模塊的核心知識(shí)：圖形的性質(zhì)與圖形的變化，其結(jié)論證明或幾何量計(jì)算重視考查學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，具有很好的選拔性.縱觀近幾年各地市的幾何壓軸題，以發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理能力、運(yùn)算能力為核心展開(kāi)，命題趨勢(shì)上大致形成兩類(lèi)：一是通過(guò)算證“確定性圖形”，考查學(xué)生推理發(fā)現(xiàn)單一圖形的性質(zhì);二是通過(guò)觀察探究圖形的“幾何變換”，計(jì)算（證明）多個(gè)圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中變與不變的關(guān)系.這也與《課標(biāo)》第三學(xué)段中圖形與幾何的內(nèi)容相吻合，體現(xiàn)了中考命題的一致性原則.下面以2019年莆田市九年級(jí)中考質(zhì)檢數(shù)學(xué)卷第24題為例，探討對(duì)幾何壓軸題中的“幾何變換”與“解確定性圖形”的思考，從戰(zhàn)略的層面加深對(duì)試題的把握.

1 試題呈現(xiàn)

如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ADE，旋轉(zhuǎn)角為α（0°<α<90°），連接BD交CE于點(diǎn)F圖1 圖2

（1）如圖2，當(dāng)α=45°時(shí)，求證：CF=EF;

（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，

①問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論;

②連接CD，當(dāng)△CDF為等腰直角三角形時(shí)，求tanα2的值

本題以常見(jiàn)的等腰直角三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)為載體，第1題從一般到特殊，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為45°時(shí)，探究CF與EF的數(shù)量關(guān)系，難度小，入口寬;第2題在第1題基礎(chǔ)上，第①題利用角與角的轉(zhuǎn)化，三角形的性質(zhì)等，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、試驗(yàn)，探究等腰Rt△ABC在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的不變量，動(dòng)中窺靜，體現(xiàn)了從特殊到一般，有一定的區(qū)分度;第②小題當(dāng)△CDF形狀確定時(shí)，通過(guò)問(wèn)題設(shè)計(jì)，讓學(xué)生推理計(jì)算幾何量，體現(xiàn)了從一般回歸特殊的命題設(shè)計(jì)思路，問(wèn)題的解決需要學(xué)生體會(huì)“解三角形”的思想，這在某種程度上與高中的“解三角形”相銜接.三小題層層推進(jìn)，題與題之間和諧共生，考查效度高.從知識(shí)維度看，考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、直角三角形斜邊中點(diǎn)的性質(zhì)、全等三角形（相似三角形）的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)等幾何核心知識(shí);從思想方法維度看，考查了特殊與一般思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合等;從能力維度看，分層次分水平考查了運(yùn)算能力、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)、空間觀念等，在解答過(guò)程中注重引導(dǎo)學(xué)生獲取信息，對(duì)圖形不斷提煉，重新加工，通過(guò)深入思考、分析，從而有效培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2 解法簡(jiǎn)析

對(duì)于第1題筆者不做分析;

（1）對(duì)于第2題第①題，研究Rt△ABC在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的不變量，EF=CF且∠CFD=45°.有如下解法：

思路1 立足于證中點(diǎn)的暢想，可通過(guò)作平行構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)三角形來(lái)證中點(diǎn)

解法1：如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EG∥CB交BF延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G.依題∠ADB=∠ABD，故∠EDG=∠CBF，又EG∥CB，則∠G=∠CBF=∠EDG，故EG=ED，EG=BC，因此△FEG≌△FCB，得EF=CF

解法2：如圖4，分別過(guò)點(diǎn)A，C，E，作AP⊥BF于點(diǎn)P，CN⊥BF于點(diǎn)N，EM⊥BF交BF延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M.證△EMD≌△DPA，得EM=PD，證△APB≌BNC，得CN=BP，又等腰△ABD中，AP⊥BD，得PD=PB，故EM=CN，故△EMF≌△CNF，因此EF=CF圖3 圖4 圖5

思路2 利用分割點(diǎn)或端點(diǎn)構(gòu)造位似三角形證中點(diǎn)

解法3：如圖5，過(guò)點(diǎn)C作CP∥DF交ED延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，EP交BC于點(diǎn)Q.∠EDF=∠DBC，得∠BDQ=∠DBQ，則DQ=BQ，又CP∥BD，得∠QCP=∠QBD，∠QPC=∠QDB，則∠QCP=∠QPC，可得CQ=PQ，故PD=BC=DE，因此EFCF=EDDP=1，即EF=CF

思路3：進(jìn)一步分析圖形旋轉(zhuǎn)過(guò)程，有AEAD=ACAB=2，∠EAC=∠DAB，則△AEC∽△ADB，可得∠ACE=∠ABD，則有∠CFB=∠CAB=45°.可利用45°角構(gòu)造等腰直角三角形，結(jié)合用全等三角形證線(xiàn)段相等來(lái)解決問(wèn)題

解法4：如圖6，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BF交CE于點(diǎn)G，連接AF.可得Rt△DFG為等腰三角形，故DF=DG，則△GED≌△FAD，可得∠AFD=∠EGD=45°，故AF⊥CE，則EF=CF圖6 圖7

解法5：如圖7，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥BF交FC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，連接AF.可得Rt△FBG為等腰三角形，故BF=BG，故△ABF≌△CBG，可得∠AFB=∠G=45°，故AF⊥CE，則EF=CF

解法6：如圖8，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CE交DF延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G.可得Rt△EGF為等腰三角形，故∠G=∠CFB=45°，又DE=BC，故△GED≌FCB，可得EG=CF，又EG=EF，因此EF=CF

解法7：如圖9，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥CF交BF于點(diǎn)G.可得Rt△CFG為等腰三角形，故∠EFD=∠CGB，△EFD≌△CGB，可得EF=CG，又CG=CF，因此EF=CF圖8 圖9 圖10

思路4 利用“三線(xiàn)合一”來(lái)證明EF=CF

解法8：如圖10，∠BFC=∠EAD=45°，故點(diǎn)E，F(xiàn)，D，A四點(diǎn)共圓，則∠EFA=∠EDA=90°，又EA=AC，故EF=FC

（2）對(duì)于第2題第②題，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BD于點(diǎn)P.又AB=AD，故∠PAB=12∠DAB=α2，則∠CBF=α2

用“確定性三角形”的思路審視，即需要研究三角形是否確定？如何確定？三角形中的角邊中哪些元素是確定的？根據(jù)這些條件如何求出來(lái)其他的元素？也即是說(shuō)三角形是確定的，必是可解的，可求的.因此，依題△CDF為等腰直角三角形，故CF與DF的比值確定.又CE=2BD，CF=12CE，故CF=22BD，因此CF與BF的比值固定.即在△CFB中，∠CFB=45°，CF與BF的比值固定，因此△CFB可解，即tan∠CBF可求

第1種情況，當(dāng)∠CDF=90°時(shí)，如圖11，△CDF為等腰直角三角形，則CF=2DF，又CF=22BD，則DF=12BD，故CD=12BD，可得tanα2=tan∠CBD=CDBD=12;圖11 圖12

第2種情況，當(dāng)∠FCD=90°時(shí)，如圖12，△CDF為等腰直角三角形，則CF=22DF，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DF于點(diǎn)G.又CF=22BD，故DF=BD，CG=12DF，故CG=13BG，可得tanα2=tan∠CBG=CGBG=13綜上，tanα2=12或13.

3 試題推廣

（1）幾何變換既是學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是認(rèn)識(shí)圖形的思想與方法.幾何變換是“讓圖形在頭腦中動(dòng)起來(lái)”，來(lái)認(rèn)識(shí)圖形變化的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)，是培養(yǎng)學(xué)生看到了什么，思考到了什么，想象到了什么？通過(guò)思考想象，猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，這也是合情推理，也為演繹證明奠定了基礎(chǔ).講清幾何變換思想，能更大限度地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).對(duì)于上述試題的第①題，探究由等腰Rt△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)中的不變量，這讓筆者進(jìn)一步聯(lián)想到，能否對(duì)等腰Rt△ABC進(jìn)一步一般化推廣

思考1 將等腰Rt△ABC一般化為直角三角形時(shí)，有何結(jié)論？

如圖13，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ADE，連接BD交CE于點(diǎn)F.則∠CFB=∠CAB且EF=CF圖13 圖14

思考2 將等腰Rt△ABC一般化為一對(duì)相似的直角三角形，有何結(jié)論？

如圖14，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，Rt△ABC∽R(shí)t△ADE，將Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BD交CE于點(diǎn)F.則有EFCF=tan∠ACEtan∠AEC=tan∠ABDtan∠ADB

思考3 將等腰Rt△ABC弱化為等邊長(zhǎng)的直角三角形，又有何結(jié)論？

如圖15，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=90°，∠ADE=90°，AD=AB，將Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BD交CE于點(diǎn)F.則有EFCF=DEBC圖15 圖16

思考4 將等腰Rt△ABC弱化為更一般的三角形，結(jié)論又如何？

如圖16，在△ABC和△ADE中，AB=AD，DE=BC，∠EDA+∠ABC=180°，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BD并延長(zhǎng)交CE于點(diǎn)F.則有EF=CF.圖17

思考5 限制的條件越少，則研究幾何的性質(zhì)越本質(zhì).對(duì)于試題，可轉(zhuǎn)化為核心問(wèn)題“BC=DE，∠EDF=∠CBF，求證EF=CF”.這是一個(gè)典型的幾何模型，可調(diào)整位置，抽象圖形，如圖17.因此，試題的命制技術(shù)上往往找準(zhǔn)起點(diǎn)，把握特征，不斷地將顯性關(guān)系轉(zhuǎn)化為隱性關(guān)系，構(gòu)造不同載體的問(wèn)題

（2）確定性思想是一種數(shù)學(xué)分析問(wèn)題的方式，在解決問(wèn)題時(shí)，戰(zhàn)略上先思考問(wèn)題是否“確定”，若這個(gè)問(wèn)題的基本量都知道（或通過(guò)轉(zhuǎn)化可得該問(wèn)題的基本量），那這個(gè)問(wèn)題就確定了，理論上這個(gè)問(wèn)題可解，盡管可能求解時(shí)有一定的難度.后續(xù)往往不急于算解，而是在明確了做什么后，思考怎么做，做做看.例如，一個(gè)三角形的基本量確定了，該三角形的形狀、大?。娣e、周長(zhǎng)、中線(xiàn)、高、角平分線(xiàn)、內(nèi)切圓、外接圓等）都確定，在此基礎(chǔ)上，解三角形——已知三角形的幾個(gè)元素求其他的元素，方法為作高構(gòu)造直角三角形（利用勾股定理、三角函數(shù)等），能更深刻地認(rèn)識(shí)三角形的圖形性質(zhì)

思考6 分析后發(fā)現(xiàn)△CFB基本量確定，是可解的，可通過(guò)賦自變量，建立線(xiàn)與線(xiàn)，線(xiàn)與角之間的函數(shù)關(guān)系解三角形

如圖1，若DF=mCF，BD=2CF，則BF=（2+m）CF.又cos∠CFB=CF2+BF2-BC22CF·BF，化簡(jiǎn)得BC=m2+2m+1CF.且S△CFB=12CF·BF·sin∠CFD=2（2+m）4CF2

思考7 通過(guò)條件轉(zhuǎn)化，分析后發(fā)現(xiàn)△EFD基本量確定，也可解.因此也可求△EFD的其他元素，例如邊、角、面積、周長(zhǎng)等.

4 命題思考

試題的價(jià)值在于引導(dǎo)教師課堂中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).一道好的試題，“形”“理”兼得，因此在解題教學(xué)中，應(yīng)變?cè)囶}的講評(píng)者為試題的開(kāi)發(fā)者.解題教學(xué)時(shí)先應(yīng)強(qiáng)化通性通法的回歸，例如本題先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用幾何直觀從復(fù)雜的圖形中分解、分析、構(gòu)造基本圖形，歸納出“證中點(diǎn)”和“解三角形”的解題模式.而后，在解題的過(guò)程中，將得到的方法、策略和思想進(jìn)行內(nèi)化、比較、提升.，例如可讓學(xué)生思考：解題分為哪幾個(gè)步驟？考查了哪些知識(shí)點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法？還有哪些方法？最優(yōu)解法是哪種？解題時(shí)“卡殼”在哪里？如何突破等，建構(gòu)成自己的解題體系最后，正如數(shù)學(xué)家希爾伯特指出，“一個(gè)問(wèn)題的解決意味著一系列新的問(wèn)題的誕生”.解題后，教師還應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生思考：一般化圖形，弱化圖形的形狀，改變圖形的位置，結(jié)論是否改變？改變、對(duì)換條件和結(jié)論，試題是否成立？變更問(wèn)題的表述形式，是否可以化歸？拓寬拓深試題的教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂落實(shí)

試題的價(jià)值還在于評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)達(dá)成水平.幾何壓軸題對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的測(cè)量，應(yīng)該以核心知識(shí)（幾何變換和圖形性質(zhì)）為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)思想方法、關(guān)鍵能力為引領(lǐng).“一題兩翼”，在幾何變換中重視考查直觀想象素養(yǎng)，“讓圖形動(dòng)起來(lái)”，來(lái)研究推導(dǎo)圖形間的位置數(shù)量關(guān)系，對(duì)圖形的對(duì)稱(chēng)性等本質(zhì)性質(zhì)進(jìn)行認(rèn)識(shí);在圖形的性質(zhì)中重視考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，算證前“戰(zhàn)略性”“確定性”地去邏輯分析問(wèn)題，有條理地合情推理?xiàng)l件、結(jié)論間的邏輯關(guān)系，然后嚴(yán)密的演繹論證，準(zhǔn)確優(yōu)化的計(jì)算結(jié)果.同時(shí)，注重設(shè)問(wèn)之間的綜合性和層次性：分水平綜合考查學(xué)生的多種核心素養(yǎng).進(jìn)而體現(xiàn)出個(gè)性差異，區(qū)分出各水平學(xué)生所達(dá)到的不同階段性要求.