循法 推理 關(guān)聯(lián)
——初中數(shù)學幾何問題“自然性”設(shè)計的視角與實踐

□邵文鴻

（杭州市富陽區(qū)永興學校初中部，浙江杭州 311400）

觸發(fā)學生積極思維是數(shù)學課堂教學的應(yīng)有追求.用“問題”引發(fā)學生思考是我們常用的教學策略.在實際的教學過程中，教師呈現(xiàn)的問題不“自然”，是造成不能有效激發(fā)學生思考的重要原因.所謂數(shù)學問題“自然性”設(shè)計，是指設(shè)計的數(shù)學問題能契合研究方法，符合數(shù)學邏輯，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu).現(xiàn)以初中幾何內(nèi)容學習為例，從三個角度談?wù)剶?shù)學問題“自然性”設(shè)計的策略，以期拋磚引玉.

一、從幾何研究的方法角度設(shè)計問題

幾何學習一般遵循從定義、概念出發(fā)，研究圖形的性質(zhì)與判定，再去研究圖形性質(zhì)與判定應(yīng)用的學習“流程”.除此之外，我們也可以從構(gòu)成幾何圖形要素性質(zhì)遷移以及幾何圖形性質(zhì)與判定互逆的角度來研究幾何問題.

（一）從幾何要素性質(zhì)遷移的角度

一般幾何圖形的性質(zhì)主要研究構(gòu)成圖形的要素與相關(guān)要素之間有何穩(wěn)定的關(guān)系.我們可以從一個或幾個要素具有的性質(zhì)的角度，提出其他要素是否具有類似關(guān)系的問題.這就是從幾何圖形要素性質(zhì)遷移的角度提出問題.

案例1：圖形旋轉(zhuǎn)的探究

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=a，△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α 角 度 得 到 △A'B'C.（0°≤α≤ 360°）

問題1：請?zhí)骄緼'B'與AB的夾角與旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系.

問題2：請?zhí)骄緼A'與BB'的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

圖1

【設(shè)計解析】問題1中的∠ACA'、∠BCB'是由△ABC與△A'CB'中兩條對應(yīng)邊構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角，發(fā)現(xiàn)∠BCB'等于旋轉(zhuǎn)角，現(xiàn)從△ABC與△A'CB'的組成要素考慮，自然提出第三條邊AB與A'B'的夾角與旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系.問題2是在問題1研究三條邊的位置關(guān)系后，自然提出圖形旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點連線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，從中找出對應(yīng)點連線段中蘊含的關(guān)系與原△ABC形狀與數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)聯(lián)系.

（二）從幾何圖形性質(zhì)與判定互逆的角度

幾何圖形的判定定理本質(zhì)上是描述確定一個圖形的條件.研究圖形的判定定理會產(chǎn)生兩個問題：一是確定這個圖形最少需要幾個條件？二是確定這個圖形需要的條件從哪里找？從學生的角度會想到確定圖形需要的最少條件可以采用逐步減少條件的辦法.確定圖形需要條件從哪里來的問題需要為學生探究提供線索；確定圖形需要的條件產(chǎn)生可以從圖形性質(zhì)定理的逆命題中去尋找，這樣的問題設(shè)計是比較自然的.

案例2：平行四邊形判定定理的發(fā)現(xiàn)

如圖2，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC與BD交于點O.

圖2

問題3：從邊、角、對角線的角度來看，結(jié)合圖形，你能寫出?ABCD的哪些性質(zhì)？

問題4：請你寫出這些命題的逆命題，并把它們排序整理，你認為可以分為哪幾類？

問題5：你寫出的逆命題中哪些真命題能作為平行四邊形的判定定理？

【設(shè)計解析】問題3引導學生結(jié)合圖形回顧平行四邊形的性質(zhì).問題4引導學生從已知的平行四邊形性質(zhì)命題中提出逆命題，并對提出的逆命題進行分類排序整理.問題5引導學生猜想命題的真假，若學生認為是真命題，嘗試證明；若認為是假命題，嘗試舉反例.這樣的問題設(shè)計讓學生體會到不僅可以從圖形性質(zhì)與判定互逆的角度提出問題，而且讓學生感到問題的探索過程是水到渠成的.

二、從學科邏輯的推理角度設(shè)計問題

基于學科邏輯，從類比與演繹兩個角度去設(shè)計問題，既讓問題的產(chǎn)生具有自然性，又讓學生的思考具有導向性.

（一）從類比的角度

從類比推理的角度設(shè)計問題是指當兩個或兩類幾何研究對象如果有部分屬性相同時，設(shè)計某些問題探究兩個或兩類幾何研究對象的其他屬性是否也相同.“類比”是從特殊到一般的問題設(shè)計，旨在引導學生在探索命題適用范圍從小到大的推理過程中有新的發(fā)現(xiàn).

案例3：相似三角形的判定

問題6：兩個三角形全等的判定方法有哪些？

問題7：請你嘗試類比兩個三角形全等的判定方法，提出兩個三角形相似的判定方法有哪些？

【設(shè)計解析】問題6的回顧是讓學生在探究相似三角形的判定時找到新知識生長的固著點，讓新知識的發(fā)現(xiàn)有源可溯.問題7旨在引導學生思考全等三角形是相似三角形的特殊情況.在此基礎(chǔ)上研究相似三角形，是特殊到一般的推理過程，從“類比推理”的角度來設(shè)計相似三角形的判定問題，這樣的問題設(shè)計符合學科內(nèi)部發(fā)展的邏輯順序.

（二）從演繹的角度

從演繹推理的角度設(shè)計問題實際上是引導學生在從一般到特殊的推理過程中自然發(fā)現(xiàn)問題，在探究命題的適用范圍從大到小的推理過程中有新的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，積累數(shù)學演繹思考的經(jīng)驗.

案例4：等腰三角形性質(zhì)的研究（等腰三角形“三線合一”定理的探究）

問題8：軸對稱圖形的性質(zhì)是什么？

問題9：如圖3，有一張等腰三角形紙片，AB=AC，請你折一折，你發(fā)現(xiàn)△ABC的對稱軸是什么，并從對稱的角度說出線段的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系以及與角的數(shù)量關(guān)系.

圖3

圖4

問題10：如圖4，已知在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分線AD所在的直線是對稱軸.從對稱性的角度你可以發(fā)現(xiàn)△ABC有什么性質(zhì)？

【設(shè)計解析】問題8先讓學生回顧一般對稱圖形性質(zhì)的目的是提供演繹推理的先行組織者.問題9引導學生發(fā)現(xiàn)等腰三角形的兩底角頂點實際上是一對對稱點，從一般對稱圖形的角度去探索線段與角的數(shù)量關(guān)系.問題10自然地從一般對稱圖形的性質(zhì)得到等腰三角形“三線合一”定理，從一般到特殊演繹的角度設(shè)計問題，發(fā)現(xiàn)結(jié)論.

巧妙地殺菌消毒也能提升水質(zhì)，該研究采用二段投加純二氧化氯法，2/3藥劑投加于取水頭部，它能發(fā)揮三個作用：①充當清道夫滅殺渾水管道內(nèi)沾附在管壁上的蜉螺及細菌，并減少阻力適度節(jié)能；②提前滅藻使藻類進入第一反應(yīng)室能輕易被夾氣托起先期排除，研究說明藻毒素有害人體；③始終保持濾池濾床無細菌及賈第鞭毛蟲、隱孢子蟲的滋生。其1/3經(jīng)充分混合投加至清水池，與常規(guī)一樣由測量儀測定合格結(jié)果，保持一定的殘余量，殺除供水管道中的細菌及病毒。

三、從知識結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)角度設(shè)計問題

基于知識的整體性與關(guān)聯(lián)性，從定理擴展、數(shù)形結(jié)合、正反聯(lián)系的角度設(shè)計問題，有利于學生形成穩(wěn)定的認知結(jié)構(gòu).

（一）從定理擴展的角度

幾何定理的學習，不僅要關(guān)注定理的形成與應(yīng)用過程，而且要探索使定理成立的條件減弱或加強后有何新的發(fā)現(xiàn)，這就是從定理擴展的角度設(shè)計問題的內(nèi)涵.其價值在于，使學生在學習定理之后會用聯(lián)系的觀點思考定理成立的條件，從系統(tǒng)整體的角度來進一步認識定理的內(nèi)涵與外延.

案例5：勾股定理的教學

問題11：如圖5，已知△ABC中，若∠C=Rt∠，則AC2+BC2=AB2.如圖6，若△ABC是銳角三角形（∠C是最大角），則AC2+BC2與AB2有什么數(shù)量關(guān)系？

圖5

圖6

問題12：如圖7，若△ABC是鈍角三角形（∠C是鈍角），則AC2+BC2與AB2有什么數(shù)量關(guān)系？

圖7

【設(shè)計解析】學生在學習了直角三角形中兩直角邊（較小邊）的平方和等于斜邊（最長邊）的平方之后，問題11的設(shè)計旨在引導探索銳角三角形較小邊的平方和與最長邊的平方有何數(shù)量關(guān)系.在銳角三角形三邊關(guān)系探究的基礎(chǔ)上，問題12的設(shè)計自然讓學生聯(lián)想與探究鈍角三角形三邊的關(guān)系.三角形可分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，直角三角形有勾股定理，從聯(lián)系的角度看，勾股定理擴展到其他類型的三角形一定會有新的結(jié)論.

（二）從數(shù)形結(jié)合的角度

數(shù)與形是同一數(shù)學知識不同側(cè)面的知識表征，數(shù)與形具有深刻的內(nèi)在統(tǒng)一性.在學習“數(shù)”時要聯(lián)想到形的直觀，在學習“形”時需要借助數(shù)的入微刻畫.一些幾何定理不僅反映圖形的性質(zhì)，而且蘊含著圖形所反映的數(shù)量關(guān)系的特征，在問題設(shè)計時要有意識地把它揭示出來.

案例6：三角形相似的應(yīng)用

問題13：如圖8，點C是半圓O上的任一點（不與A、B重合），過點C作CD垂直于AB，試說明CD與AD、BD的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合圖形你能說明式子的幾何意義嗎？

圖8

圖9

【設(shè)計解析】問題13從數(shù)與形的角度來設(shè)計旨在引導學生發(fā)現(xiàn)點C在變化過程中可以用數(shù)的關(guān)系來刻畫，以發(fā)現(xiàn)不變的數(shù)量模型.即學生在得到CD2=AD?BD之后，發(fā)現(xiàn)線段OC≥CD,即，解釋了算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)的數(shù)學模型.

（三）從正反聯(lián)系的角度

從聯(lián)系的角度來考察幾何的學習，我們不僅要引導學生正向思考，也要啟發(fā)他們逆向思維.那么，問題的設(shè)計則不僅要引導學生從正面探索結(jié)論，也要引導他們從反面認識命題.所以，在學生學習幾何原命題之后，教師適切地設(shè)計逆命題的探究問題，則可以加強知識間的聯(lián)系，優(yōu)化學生原有的認知結(jié)構(gòu).

案例7：幾何反例的構(gòu)造

問題14：請說出命題“平行四邊形的一組對邊平行一組對角相等”的逆命題，并請你判斷逆命題的真假，若命題為真，請證明；若命題為假，請舉出反例.

【設(shè)計解析】問題14的設(shè)計意圖是讓學生加強對命題正反的認識與聯(lián)系.如圖9，教師引導學生任意作一等邊△ABC，在底邊BC上取一點D，使得BD＞DC，連接AD，由點D作∠1=∠2，截取DE=AC，連接AE，可得四邊形ABDE，易知∠B=∠E，又DE=AC=AB，四邊形ABDE滿足已給條件，但AE=DC＜BD，所以四邊形ABDE不是平行四邊形.