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      觀形溯源探全等 悟圖抒感尋輔助

      2020-05-06 09:00:05郭小蔚
      中學(xué)理科園地 2020年1期
      關(guān)鍵詞:手拉手輔助線小題

      郭小蔚

      摘? ?要:手拉手模型是常見的三角形全等模型,從線段或三角形旋轉(zhuǎn)構(gòu)建雙等邊三角形和雙等腰直角三角形兩個(gè)方面,談構(gòu)建手拉手全等模型輔助線添加方法,引導(dǎo)學(xué)生分辨題型,提高解題效率.

      關(guān)鍵詞:手拉手全等型;輔助線

      三角形是初中幾何的核心內(nèi)容.縱覽近幾年全國中考數(shù)學(xué)試題,在對學(xué)生創(chuàng)新能力和遷移能力的考查中,三角形全等問題成為主要的考核內(nèi)容,選擇題、填空題、證明題都有涉及全等三角形知識的考核,而且全等三角形越來越經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸題部分,手拉手模型是全等三角形常見的模型,近幾年中考幾何壓軸題經(jīng)常出現(xiàn)手拉手的模型.

      當(dāng)命題的題設(shè)無法直接得出結(jié)論時(shí),就需要搭橋鋪路,構(gòu)建題設(shè)與結(jié)論的“小三通”——輔助線了.輔助線就成了連結(jié)題設(shè)與結(jié)論的快速通道.等腰三角形是特殊的幾何圖形,在解決全等三角形的有關(guān)問題時(shí),常常添加輔助線構(gòu)造兩個(gè)共頂點(diǎn)的全等的等腰三角形,這兩個(gè)有共同頂角頂點(diǎn)的全等的等腰三角形俗稱“手拉手模型”.但由于含有手拉手條件的問題其輔助線作法靈活,不少學(xué)生難以掌握,本文就針對構(gòu)建手拉手全等模型談?wù)勢o助線的添加方法.

      1? 線段或三角形旋轉(zhuǎn)構(gòu)建雙等邊三角形的手拉手的模型

      1.1? 吟其題,觀其形,簡圖在心中

      數(shù)學(xué)教學(xué)離不開圖形,而對圖形的掌握和利用又是學(xué)生的一個(gè)薄弱點(diǎn).中考復(fù)習(xí)中設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境,讓學(xué)生領(lǐng)悟、理解、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)全等構(gòu)建法,簡圖在心中,這對學(xué)生來說是一種方向、一種創(chuàng)新,可使學(xué)生更熟練掌握構(gòu)建全等三角形輔助線的添加方法.

      【例題1】江西省2018年中等學(xué)校招生考試24題

      菱形ABCD中,∠ABC=60°,P為射線BD上一動(dòng)點(diǎn),以AP為邊向右側(cè)作等邊三角形ΔAPE,點(diǎn)E的位置隨點(diǎn)P的位置變化而變化.

      (1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí),連接CE,BP與CE的數(shù)量關(guān)系是______________,CE與AD的位置關(guān)系是______________ .

      (2)當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí),(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請予以證明;若不成立,請說明理由(請選擇圖2,予以證明或說理).

      (3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長線上時(shí),連接BE,若AB=2,BE=2,求四邊形ADPE的面積.

      引導(dǎo)學(xué)生吟題觀形,本題存在共頂點(diǎn)的線段AP,AE,等邊ΔAPE及∠ABC=60°,學(xué)會一邊讀題,一邊從復(fù)雜的圖形中抽象出自己熟悉的基本圖形,如圖4的圖4-1,本題的第(1)小題有明顯的提示語:BP與CE的數(shù)量關(guān)系是什么?證明線段相等在初中階段最常用的方法就是證明三角形全等,再觀察可發(fā)現(xiàn),本題小題與小題之間的關(guān)系是并列關(guān)系,第(2)(3)小題E在菱形ABCD外,圖形雖然變了,但是解題方法可以延續(xù),一樣連結(jié)AC,構(gòu)建共點(diǎn)旋轉(zhuǎn),證明ΔBAP與ΔCAE全等即可得證.

      發(fā)現(xiàn)基本圖形,連結(jié)AC構(gòu)建成完整的手拉手模型,再證ΔBAP與ΔCAE全等,第(2)小題和第(3)小題E點(diǎn)在菱形ABCD外部,雖然圖形沒有完全一樣,但究其根本還是手拉手全等型,剝離出本題的基本圖形如圖4-2,圖4-3所示,延續(xù)第(1)小題的輔助線方法,SAS證全等一樣可以解決問題.本題是2018年江西中等學(xué)校招生考試24題,處于倒數(shù)第二題的位置,輔助線的構(gòu)建是解題的關(guān)鍵.

      1.2? 探其源,感其情,形美在題中

      探索題設(shè)與結(jié)論之間的快速通道,釋題、析圖、變換、組合,尋其根本,揭示問題的本質(zhì),對數(shù)學(xué)美的探究與教育,回歸教材是關(guān)鍵,即使學(xué)生并不能完全說明原題是教材的哪些題目的改編題,但是教師給予他們關(guān)注的視角與路徑,學(xué)生在耳濡目染中,會更關(guān)注圖形,從圖形中發(fā)現(xiàn)教材中的基本圖形,回歸基礎(chǔ),能夠領(lǐng)悟到圖形美,盡管圖形復(fù)雜,但心有靈犀一點(diǎn)通.能有意識地套用基本圖形,逢山開路,遇水搭橋,構(gòu)建輔助線,發(fā)現(xiàn)問題,解決問題.

      【例題2】2018年廣州市初中畢業(yè)生考試第25題

      如圖5,在四邊形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=AC

      (1)求∠A+∠C的度數(shù);

      (2)連接BD,探究AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

      (3)若AB=1,點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng),且滿足AE2=BE2+CE2,求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長度.

      本題是2018年廣州市初中畢業(yè)生考試的最后一題,題目簡練,圖形干凈,很多全等三角形知識貯備提取障礙的同學(xué)只做了第(1)小題后直接放棄對第(2)小題,第(3)小題的探索,當(dāng)然,也有一小部分同學(xué)即使在第(2)小題輔助線不會添加,但結(jié)合了第(3)小題的AE2=BE2+CE2寫出了第(2)小題的結(jié)論.這道壓軸題雖然題目精練,但圖形特征明顯,標(biāo)記一:∠B=60°,標(biāo)記二:AB=BC,如果根據(jù)第(2)小題連結(jié)了BD,那么特征就更明顯了,ΔBCD就出現(xiàn)了,四邊形的問題又轉(zhuǎn)化為三角形來研究,根據(jù)題目標(biāo)記一:∠B=60°,標(biāo)記二:AB=BC,典型的的手拉手“殘疾”模型,把線段BD逆時(shí)針(順時(shí)針也行)旋轉(zhuǎn)60°,構(gòu)建如圖6.

      筆者瀏覽了大量試題發(fā)現(xiàn),解答題中的小題與小題之間的關(guān)系基本是這兩種情況:一是小題與小題之間是遞進(jìn)關(guān)系,第(1)小題為第(2)小題服務(wù),第(2)小題為第(3)小題服務(wù);二是小題與小題之間是并列關(guān)系,題與題之間圖形不同,條件不同,但是題與題之間延續(xù)的是相同的方法.

      本題的第(3)小題與第(2)小題就是并列關(guān)系,第(3)小題可以延續(xù)第(2)小題的方法再構(gòu)建一個(gè)手拉手全等型.

      把BE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線段BF,連結(jié)線段AF,AE,EF,如圖7,易得ΔBEF是等邊三角形, ΔBFA≌ ΔBEC,

      ∴CE=AF .

      ∵AE2=BE2+CE2,

      ∵AE2=EF2+AF2,

      ∴∠AFE=90°.

      ∵∠BFA=∠BFE+∠AFE=60°+90°=150°.

      ∵∠BEC=150°,

      E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng).

      ∴E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心的劣弧BC上,不包括端點(diǎn)B,C,

      ∴l(xiāng)弧BC==.

      本題題目的背景雖然是四邊形問題,但是學(xué)生如果對構(gòu)造手拉手模型的應(yīng)用不是很熟練的話,要做這個(gè)壓軸題就有一定的難度了。

      1.3? 悟其美,抒其感,輔助在手中

      全等三角形給予學(xué)生數(shù)學(xué)美的享受,作為初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn),三角形引領(lǐng)學(xué)生由淺入深,開啟數(shù)學(xué)美的旅程,隨著中考復(fù)習(xí)對數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累,學(xué)生有意識地在題設(shè)與結(jié)論之間建立條件反射弧,提煉圖形美,完成基本圖形構(gòu)造.

      【例題3】(2019年龍巖市九年級學(xué)業(yè)(升學(xué))質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題第16題)

      如圖8,ΔABC中,∠ABC=30°,AB=4,BC=5,P是ΔABC 內(nèi)部的任意一點(diǎn),連接PA,PB,PC,則PA+PB+PC的最小值為_______.

      這道題其實(shí)是一個(gè)費(fèi)馬點(diǎn)問題,要讓PA+PB+PC取得最小值,常規(guī)解法是讓PA+PB+PC連成一條線段,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,求出最小值.對于不熟悉費(fèi)馬點(diǎn)的學(xué)生來說,這題也有特征性的語言,∠ABC=30°,本題是填空題壓軸題,很多考生選擇放棄,其實(shí)這題我們一樣可以把ΔBAP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得ΔBED,如圖9易得:

      PA+PB+PC(min)

      =

      =.

      2? 線段或三角形旋轉(zhuǎn)90°構(gòu)建雙等腰直角三角形的手拉手的模型

      2019年南平質(zhì)檢的第8題也是一個(gè)手拉手模型,

      【例題4】如圖10,在等腰直角ΔABC中,∠ACB=90°,D為ΔABC內(nèi)一點(diǎn),將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到CE,連接BE, 若∠DAB=10°,則∠ABE是(? ? ? ).A.75 °? ? ? ?B. 78°? ? ? C. 80°? ? ?D.92°

      這題在2019年南平質(zhì)檢第8題的位置,學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)ΔCBE≌ ΔCAD,從而得出∠ABE=80 °.

      【例題5】福建省漳州市2019年初中畢業(yè)班質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第10題

      如圖11,正方形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),AE交BD于點(diǎn)F,BH⊥AE于點(diǎn)G,連接OG,則下列結(jié)論中

      ①OF=OH? ? ? ? ? ②ΔAOF∽ΔBGF,

      ③ tan∠GOH=2? ④FG+GH=GO,正確的個(gè)數(shù)是(? ? ? ).

      A. 1? ? ? B. 2? ? ?C. 3? ? ? ?D.4

      本題是漳州市2019年初中畢業(yè)班質(zhì)量檢測的第10小題,是選擇題的壓軸題,第①②小題利用三角形相似很容易得出,但大多考生對③④束手無策,如果考生們把第①的OF=OH線段相等作為特征一,把正方形ABCD的對角線AC與BD的夾角為90°作為特征二,又是一個(gè)手拉手殘疾型,過O作OM⊥OG交AG于M,構(gòu)建 ΔMOF≌ ΔGOH,如圖12,可得三個(gè)結(jié)論:MF=GH,OM=OG,∠OMG=45°,再由MF+FG=GH+FG=GO,可證明結(jié)論④是正確的.

      由 ΔMOF和 ΔBFE組成的8字形可得:∠MOF=∠ABC.

      ∴tan∠GOH=tan∠AEB===2.

      又如:已知:如圖13,AB=1,BC=2,AC=DC,AC⊥DC,A為動(dòng)點(diǎn),求線段BD的最大值.

      本題同樣具備兩個(gè)顯著特征:

      特征一:AC=DC.

      特征二:AC⊥DC.

      又是一個(gè)手拉手殘疾型,如圖14,過C作CE⊥BC,連結(jié)AE易證ΔACE≌ ΔDCB(SAS).

      當(dāng)A,B,E三點(diǎn)共線時(shí),線段BD取得最大值2+1.

      數(shù)學(xué)的尋美之旅須回歸課本,應(yīng)追根溯源,觀其形,探其源,感其美,圖形深深處,我自探其美 ,而這一系列尋美悟美的動(dòng)作之后,終歸要回到實(shí)踐中,學(xué)生面對試題由“停杯投箸不能食,拔劍四顧心茫然”到“舉杯握箸盡入禳,提筆一揮解疑難”的完美解題境界. 數(shù)學(xué)課堂上引領(lǐng)學(xué)生對三角形的認(rèn)識與探究,能激發(fā)學(xué)生對幾何輔助線的探索熱情.加強(qiáng)審“美”體驗(yàn),提升審“美”情趣,喚起對圖形探究的欲望.引領(lǐng)他們?nèi)グl(fā)掘圖形背后的美,增強(qiáng)學(xué)生對圖形的關(guān)注與敏感,激發(fā)潛能,啟迪智慧,增強(qiáng)趣味,內(nèi)化圖形,直至吸引他們?nèi)ミ\(yùn)用,去尋找 .

      全等三角形是研究圖形的重要工具,手拉手模型又是近年中考常見模型,尋找共端點(diǎn)的兩條等長線段,尋找題目中隱含的60°、90°角,以其中的一條線段旋轉(zhuǎn)60°,90°度構(gòu)建全等三角形,可能就是有效解決問題的途徑.

      深挖題設(shè)中的隱含條件,發(fā)現(xiàn)圖形秘密,添加輔助線構(gòu)建特殊的等腰三角形全等,能快速解決線段相等、角相等問題,所以找準(zhǔn)觸點(diǎn),幾何也能令人怦然心動(dòng).

      總之,圖形的探究與學(xué)習(xí)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容,教師在幾何的教學(xué)中,注重方向的引領(lǐng),勿過多越俎代庖,多方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“趣”境,在熏陶感染中,加強(qiáng)學(xué)生對圖形的思考與體驗(yàn),讓學(xué)生受到啟迪,感受數(shù)學(xué)美,留足空間、留夠時(shí)間讓學(xué)生自己探究,讓學(xué)生自己去收獲成功的喜悅.

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