逆用冪的運算性質(zhì)，巧比冪的大小

戴曉燕

在冪的大小比較問題中，很多時候被比較的冪的指數(shù)、底數(shù)并不相同，我們也不便求出被比較的數(shù)值的大小。這時，我們就要理解并逆用冪的運算性質(zhì)，巧比冪的大小。

一、巧用同指數(shù)比較法

例1 比較大?。?⁵⁰⁰、4⁴⁰⁰、5³⁰⁰。

【解析】我們不便求出3⁵⁰⁰、4⁴⁰⁰、5³⁰⁰的具體數(shù)值，但發(fā)現(xiàn)500、400、300的最大公因數(shù)是100，因此我們可以逆用冪的乘方性質(zhì)a^mn=（a^m）ⁿ，把上述三個數(shù)化成相同指數(shù)后，比較底數(shù)大小即可。

【總結(jié)】這三個數(shù)的底數(shù)不同，指數(shù)都是100的整數(shù)倍，所以在解題過程中，同學(xué)們可以先逆用冪的乘方的運算性質(zhì)，將這三個數(shù)化成相同指數(shù)的冪，然后比較底數(shù)的大小。

二、巧用同底數(shù)比較法

例2 比較大小81³¹、27⁴¹、9⁶¹。

【解析】我們不便求出81³¹、27⁴¹、9⁶¹的具體數(shù)值，但發(fā)現(xiàn)81³¹、27⁴¹、9⁶¹都可以寫成底數(shù)同為3的冪的形式。同樣逆用冪的乘方運算的性質(zhì)，把上述三個數(shù)化成同底數(shù)后，比較指數(shù)大小即可。

【總結(jié)】這三個數(shù)的指數(shù)不同，底數(shù)都可以化為3的乘方的形式，所以在解題過程中，同學(xué)們可以先將這三個數(shù)分別化為以3為底的冪，然后比較指數(shù)的大小。

三、巧用放縮比較法

例3 比較大?。?5¹⁶、33¹³。

【解析】要算出15¹⁶、33¹³的值，顯然很繁瑣，而且這兩個數(shù)不能化成同底數(shù)冪和同指數(shù)冪，這時我們可以巧用放縮的方法。

【總結(jié)】運用放縮法比較大小時要注意放縮的幅度，選擇的數(shù)應(yīng)盡可能與原數(shù)的大小接近，不能相差過大。放縮法的應(yīng)用對同學(xué)們的觀察能力要求很高，準(zhǔn)確找到接近的數(shù)很關(guān)鍵，這里也初步體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的逼近思想。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)華羅庚實驗學(xué)校）