“數(shù)形結合”求二次函數(shù)最值

康葉紅

“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化，是數(shù)學的規(guī)律性和靈活性的有機結合。我們從形的直觀和數(shù)的嚴謹兩方面思考問題，便拓寬了解題思路，使問題得以更快解決。

原題呈現(xiàn) 蘇科版《數(shù)學》九年級下冊第17頁例題：

畫出二次函數(shù)y=-x²-4x-5的圖像，并指出它的開口方向、頂點坐標、對稱軸、最大值或最小值。

【解析】本題考查的是二次函數(shù)的圖像和性質。想要畫出二次函數(shù)y=-x²-4x-5的圖像，可先將函數(shù)表達式變形為y=a（x-h）²+k的形式。結合圖像，得出二次函數(shù)的圖像特征和函數(shù)最值。

二次項系數(shù)a=-1<0，函黝圖像開口向下，頂點坐標是（-2，-1）對稱軸是直線x=-2。

二次函數(shù)y=-x²-4x-5的圖像如圖1所示。

當x=-2時，y的值最大，最大值是一1。

【總結】借助函數(shù)圖像上點的位置的“直觀變化”，結合函數(shù)表達式確定的“數(shù)量變化”，可求二次函數(shù)的最大值和最小值。

因此，歸納如下：

二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖像是一條

繼續(xù)思考

【變式一】已知二次函數(shù)y=-x²-4x-5，當-3≤x≤0時，求函數(shù)的最大值和最小值。

【解析】由例題可知：y=-x²-4x-5=（x+2）²-1。與例題不同的是，自變量x的取值范圍：例題中x可取一切實數(shù)，但在變式一中，x的取值范圍是-3≤x≤0，即原來二次函數(shù)y=-x²-4x-5的圖像的一部分。畫出圖像，直觀判斷，從而求出最值。

解：y=-x²-4x-5=-（x+2）²-1。

二次項系數(shù)a=-1<0，函數(shù)圖像開口向下，頂點坐標是（-2，-1），對稱軸是直線x=-2。

當-3≤x≤0時，二次函數(shù)y=-x²-4x-5的圖像如圖2所示。

觀察圖像可知：當x=0時，y的值最小，y_最小值=-5;當x=-2時，y的值最大，y最大值=-1。

【變式二】已知二次函數(shù)y=x²-2x-3，當-1/2≤x≤3/2時，求函數(shù)的最大值和最小值。

【解析】此問題是求二次函數(shù)y=x2²-2x-3的最值，但自變量x的取值范圍是-1/2≤x≤3/2。畫出二次函數(shù)的圖像并觀察，我們不難發(fā)現(xiàn)最值與x的取值范圍有關。如圖3，當-1/2≤x≤1時，y隨x的增大而減小，當1≤x≤3/2時，y隨x的增大而增大。

即當-1/2≤x≤3/2時，頂點是函數(shù)圖像的最低點。當x=1時，y的值最小，y_最小值=-4;當x=-1/2時，y的值最大，y_最大值=-7/4。

鞏固提升

【變式三】已知二次函y=-x²+2x+2，當t≤x≤t+2時，求函數(shù)的最大值和最小值。

【解析】觀察題目，要求函數(shù)的最值，可畫出函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)圖像的性質進行判斷。題中給出的x的取值范圍含有參數(shù)，則需對其進行分類討論，根據(jù)原函數(shù)的對稱軸為直線x=1，試著進行分析。結合所學，我們可分對稱軸在所給范圍左側、之間、右側三種情況進行討論，畫出圖像，根據(jù)圖像性質求出最值。

（作者單位：江蘇省南京市致遠初級中學）