一線貫通看函數(shù)

何君青

近幾年來，各地中考加強(qiáng)了對(duì)函數(shù)的意義和性質(zhì)的考查，凸顯了數(shù)形結(jié)合思想，增強(qiáng)了對(duì)運(yùn)用函數(shù)模型解決問題的意識(shí)與能力的考查。這些試題不僅考查了函數(shù)的相關(guān)概念，還考查了函數(shù)與數(shù)學(xué)其他知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，如函數(shù)與方程的聯(lián)系、函數(shù)圖像與幾何圖形的聯(lián)系等。本文就以函數(shù)中幾個(gè)容易答錯(cuò)的問題為例予以剖析，以期對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)有所幫助。

一、借助函數(shù)圖像分析函數(shù)性質(zhì)

圖像以幾何直觀的方式體現(xiàn)量與量之間的關(guān)系，對(duì)揭示函數(shù)的性質(zhì)、探索幾何圖形特征、解決實(shí)際問題都具有較好的價(jià)值與意義。

例1 已知反比例函數(shù)y=1/x的圖像上有兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且x₁2，那么y₁、y₂的大小關(guān)系是（）。

A.y₁2 B.y₁>y₂

C.y₁=y₂D.不能確定

【錯(cuò)解】B。

【錯(cuò)因分析】反比例函數(shù)圖像的增減性是這樣描述的：當(dāng)k>0時(shí)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0時(shí)，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。做題時(shí)，很多同學(xué)容易忽視反比例函數(shù)增減性中“在每一象限內(nèi)”這一條件，故而做錯(cuò)此題。

【正解】D。

例2 “如果二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?！薄K科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)（下冊(cè)）P25。參考上述教材中的話，判斷方程x²-2x=1/x-2實(shí)數(shù)根的情況是（）。

A.有三個(gè)實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

C.有一個(gè)實(shí)數(shù)根

D.無實(shí)數(shù)根

【錯(cuò)解】B。

【錯(cuò)因分析】很多同學(xué)做此題時(shí)，不能將教材中二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)問題和相對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解的個(gè)數(shù)問幾題遷移至判斷方程x²-2x=1/x-2實(shí)數(shù)根的情況中，從而憑借感覺錯(cuò)選B。

【正解】解決本題，只需畫出二次函數(shù)y=x²-2x+2的圖像與反比例函數(shù)y=1/x的圖像，再數(shù)出圖像公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可，故選C。

二、利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題

應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題是各地?cái)?shù)學(xué)中考中必不可少的內(nèi)容。這類試題主要考查同學(xué)們運(yùn)用函數(shù)模型分析、解決實(shí)際問題的能力及建模思想。

例3（2018·浙江嘉興）小紅幫弟弟蕩秋千（如圖1），秋千離地面的高度h（m）與擺動(dòng)時(shí)間t（s）之間的關(guān)系如圖2所示。

（1）根據(jù)函數(shù)的定義，請(qǐng)判斷變量h是否為關(guān)于t的函數(shù)？

（2）結(jié)合圖像回答：

①當(dāng)t=0.7s時(shí)，h的值是多少？并說明它的實(shí)際意義。

②秋千擺動(dòng)第一個(gè)來回需多少時(shí)間？

【錯(cuò)解】第（1）小題中變量h不是t的函數(shù)。

【錯(cuò)因分析】由于我們?cè)诔踔须A段主要學(xué)習(xí)三種函數(shù)：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，故會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為函數(shù)的圖像不是直線就是雙曲線或是拋物線。這是對(duì)函數(shù)的實(shí)質(zhì)認(rèn)識(shí)不清晰所致。

【正解】（1）因?yàn)閷?duì)于每一個(gè)擺動(dòng)時(shí)間t，都有一個(gè)唯一的h的值與其對(duì)應(yīng)，所以變量h是關(guān)于t的函數(shù)。

（2）①h=0.5m。它的實(shí)際意義是秋千擺動(dòng)0.7s時(shí)，離地面的高度為0.5m。

②2.8s。

例4如圖3，AB=5，P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、BP為邊，在線段AB的同側(cè)作正方形APCD和正方形BPEF，連接CF，則CF的最小值是________。

【錯(cuò)解】2.5。

【錯(cuò)因分析】很多同學(xué)在做此題時(shí)，無從下手，憑直觀感覺猜測(cè)當(dāng)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)時(shí)，CF的值最小。

【正解】設(shè)AP=x（0≤x≤5），則EF=5-x，F(xiàn)C=5-2x。

CF²=EF²+EC²

=（5-x）²+（5-2x）²

=5（x-3）²+5。

所以當(dāng)AP=3時(shí)，CF有最小值，最小

三、運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決綜合問題

很多地區(qū)的壓軸題都以函數(shù)為主要知識(shí)載體，將眾多知識(shí)有機(jī)聯(lián)系，著重考查同學(xué)們的綜合能力，同時(shí)對(duì)所運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法提出了較高的要求。

例5如圖4，把函數(shù)y=x的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=2x的圖像;也可以把函數(shù)y=x的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/2，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=2x的圖像。

類似地，我們可以認(rèn)識(shí)其他函數(shù)。

（1）把函y=1/x的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腳_____倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=6/x的圖像;也可以把函數(shù)y=1/x的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腳_____倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=6/x的圖像。

（2）已知下列變化：①向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度;②向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度;③向右平移1/2個(gè)單位長(zhǎng)度;④縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變;⑤橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/2倍，縱坐標(biāo)不變;⑥橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變。

（i）函數(shù)y=x²的圖像上所有的點(diǎn)經(jīng)過④→②→①，得到函數(shù)__________的圖像;

（ii）為了得到函數(shù)y=-1/4（x-1）²-2的圖像，可以把函數(shù)y=-x²的圖像上所有的點(diǎn)（）。

A.①→⑤→③ B.①→⑥→③

C.①→②→⑥ D.①→③→⑥

【錯(cuò)解】第（1）小題給出解答6，1/6。

【錯(cuò)因分析】由于對(duì)題目中的閱讀材料理解不到位，認(rèn)為縱坐標(biāo)變成原來的6倍與橫坐標(biāo)變成原來的1/6意義一樣·這是將生活感受與本題結(jié)合的錯(cuò)解，從而導(dǎo)致第（2）小題也會(huì)出現(xiàn)類似錯(cuò)誤。

【正解】（1）6，6。（2）（i）y=4（x-1）²-2。（ii）D。

（作者單位：江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級(jí)中學(xué)）