計(jì)算教學(xué)滲透建模思想的時機(jī)

徐宏臻　陸兆芬

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》特別注重發(fā)展學(xué)生的模型思想，將其作為十大核心概念之一而明確地提了出來。計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)重要的教學(xué)內(nèi)容，蘊(yùn)涵著明確的建模思想，而建模思想需要學(xué)生在“做”的過程和“思”的過程中慢慢積淀，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中逐步感悟。為此，教師要高度重視數(shù)學(xué)建模，心中有強(qiáng)烈的建模意識;要精心設(shè)計(jì)有價(jià)值的教學(xué)活動，做實(shí)、做好教學(xué)過程，讓學(xué)生充分進(jìn)行“再創(chuàng)造”“再發(fā)現(xiàn)”;要重視回顧和反思，讓學(xué)生在有效的數(shù)學(xué)活動中逐步感悟和體驗(yàn)建模思想;要讓學(xué)生適當(dāng)嘗試建模，在計(jì)算時建構(gòu)新的模型?，F(xiàn)結(jié)合具體課例，談?wù)勅绾卧谡麛?shù)計(jì)算教學(xué)中滲透建模思想。

一、備課時領(lǐng)悟建模思想

教材往往是按建模的過程編寫的，即先把生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再用數(shù)學(xué)方法加以解決，并檢驗(yàn)和評價(jià)結(jié)果的意義，從中得到一般化的算法，最后加以推廣和運(yùn)用，以解決更多的類似問題。

如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》一年級下冊“兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)、一位數(shù)（不進(jìn)位）”時，教材提出的問題是：大客車和中巴車一共有多少座？如果把它抽象為數(shù)學(xué)問題，即為求45與30的和是多少，因此列式為45+30。接著，教材引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想和方法來解決這一問題。為了便于學(xué)生直觀地、形象地理解算理和算法，教材采用操作小棒、撥計(jì)數(shù)器或畫示意圖等方法進(jìn)行探究。在操作小棒、拔計(jì)數(shù)器的基礎(chǔ)上，教材給出抽象的算法：45+30，先算40+30=70，再算70+5=75。最后，把75個一還原成75座，從而解決了課始提出的問題。同樣，教材在教學(xué)45+3時，幾乎采用了同樣的編排過程。為了強(qiáng)化學(xué)生對算理和算法的理解，教材還進(jìn)行了對比，問：45+30與45+3有什么不同？讓學(xué)生在對比中進(jìn)一步理解具體算理，建構(gòu)具體算法，并逐步向一般化的算法進(jìn)發(fā)。

此外，教材在練習(xí)中也注重滲透建模思想，注重讓學(xué)生感悟建模過程和方法。它緊緊圍繞教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵，從具體的算理和算法出發(fā)，逐步向一般化的、抽象的算理和算法進(jìn)發(fā)，直到學(xué)生建構(gòu)一般化的算理和算法。在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用模型，形成運(yùn)算技能，并運(yùn)用到解決現(xiàn)實(shí)問題中去。

正因如此，教師在鉆研教材時，應(yīng)深刻領(lǐng)會編者意圖，并切實(shí)遵循建模過程進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而引領(lǐng)學(xué)生逐步經(jīng)歷這一數(shù)學(xué)化的過程，發(fā)揮過程的育人價(jià)值。

二、新授時做實(shí)建模過程

領(lǐng)悟到教材的建模思想后，具體教學(xué)時就應(yīng)該按建模的過程施教，要引導(dǎo)學(xué)生逐步從具體形象思維過渡到表象思維，再過渡到抽象思維，從而不斷提升建模的層次和水平。教材往往從具體的、特殊的例子出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生解決具體的一道算式的計(jì)算問題，從中探明算理和算法，但教師要適時引導(dǎo)學(xué)生從一例、幾題到一類，從特殊到一般，從具體到抽象，逐步建構(gòu)更具概括性的一般的算法模型?？刹扇〖杏^察和比較，逐步分析和歸納，不斷抽象和概括的策略，從而讓蘊(yùn)含在各種具體算式中的一般算法逐步顯現(xiàn)出來，并引導(dǎo)學(xué)生及時提煉。

如在教學(xué)上述“兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)、一位數(shù)”時，在比完45+30與45+3的不同算法后，一位教師充分利用書后的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)一般化的算法模型。他先讓學(xué)生在計(jì)數(shù)器上畫一畫計(jì)算23+20的過程，填出結(jié)果，并讓學(xué)生在頭腦中回憶剛才的撥珠過程，探尋計(jì)算方法。接著，讓學(xué)生想象23還可能加幾十，應(yīng)該怎樣撥珠，得數(shù)是多少。最后，引導(dǎo)學(xué)生集中觀察這些等式，思考：都是23加幾十，都是怎樣算的？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：都是把23十位上的“2”與幾十的“幾”相加，也就是把十位上的數(shù)與十位上的數(shù)直接相加。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)出兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)的一般化的算法模型。同樣，在計(jì)算23加一位數(shù)時，也是這樣設(shè)計(jì)的。這樣設(shè)計(jì)不但便于學(xué)生體悟算法模型建構(gòu)的一般過程和方法，實(shí)現(xiàn)對具體情境和算式的適時超越，而且便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)算式之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會在變中找不變，感受函數(shù)思想，還便于其學(xué)會分析、比較、歸納、抽象和概括，從而學(xué)會數(shù)學(xué)建模。

筆者認(rèn)為，在學(xué)生得出一般的算法后，教師不要急于讓學(xué)生運(yùn)用算法進(jìn)行計(jì)算，而要引導(dǎo)學(xué)生及時回顧和反思建模過程，如我們是如何逐步探究的？先干什么？再干什么？最后干什么？采用了哪些方法？……從而幫助學(xué)生體會建模過程和方法，積累建模經(jīng)驗(yàn)，感悟建模思想。

三、溝通時感悟建模方法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識和整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性……為此，在具體建構(gòu)了一類算式的算法模型后，教師還要注重溝通相關(guān)算法之間的內(nèi)在聯(lián)系，把新知識納入學(xué)生原有的知識體系中，從而整體地建構(gòu)一類算式的算法體系，并讓學(xué)生感悟建模方法、積累建模經(jīng)驗(yàn)。

如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級下冊“三位數(shù)乘兩位數(shù)”例1后，教師有必要對相關(guān)算式的算法進(jìn)行系統(tǒng)梳理，因?yàn)檫@是整數(shù)乘法最后一部分內(nèi)容。教師需要引導(dǎo)學(xué)生串點(diǎn)成線、連線成片、結(jié)片成網(wǎng)，形成整體的算法體系。一位教師是這樣設(shè)計(jì)的：他從本課所學(xué)的三位數(shù)乘兩位數(shù)開始，引導(dǎo)學(xué)生回顧和反思三位數(shù)乘兩位數(shù)的算法，再由乘數(shù)是兩位數(shù)，想到曾經(jīng)學(xué)過的兩位數(shù)乘兩位數(shù)是怎么計(jì)算的。照這樣推想，以后還會學(xué)習(xí)幾位數(shù)乘兩位數(shù)？學(xué)生說：四位數(shù)乘兩位數(shù)、五位數(shù)乘兩位數(shù)……這些新的乘法你會算嗎？學(xué)生認(rèn)為簡單，與之前的一樣，仍然是先分后合，即先用兩位數(shù)個位上的數(shù)去乘多位數(shù)，得到多少個一，積的末尾與個位對齊，再用兩位數(shù)十位上的數(shù)去乘多位數(shù)，得到多少個十，積的末尾與十位對齊，最后把兩層積相加。學(xué)生建構(gòu)了乘數(shù)是兩位數(shù)的算法模型后，教師又由三位數(shù)乘兩位數(shù)開始，引導(dǎo)學(xué)生類推出因數(shù)是三位數(shù)的算法模型。

四、運(yùn)用時增強(qiáng)建模意識

在建立算法模型后，要引導(dǎo)學(xué)生直接運(yùn)用模型解決相關(guān)的問題，使其在應(yīng)用中進(jìn)一步體會模型的好處和價(jià)值，從而親近模型、喜愛模型、自覺運(yùn)用模型。此外，為了讓學(xué)生在應(yīng)用中有新發(fā)現(xiàn)、新感悟和新提升，教師仍要引導(dǎo)學(xué)生主動思考，不斷探索和發(fā)現(xiàn)，適當(dāng)嘗試建立新的模型，如發(fā)現(xiàn)新的運(yùn)算規(guī)律和運(yùn)算性質(zhì)等，以增強(qiáng)學(xué)生的建模意識。

如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》一年級上冊“9加幾”的練習(xí)環(huán)節(jié)，為了促使學(xué)生有新的發(fā)現(xiàn)和提升，教師讓學(xué)生根據(jù)算式，思考孫悟空的身后藏著數(shù)字幾（圖1）。

在學(xué)生有序地一一算出9道算式的得數(shù)后，教師引導(dǎo)學(xué)生從中找規(guī)律，集中觀察所加的數(shù)與得數(shù)的個位上的數(shù)之間的關(guān)系。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：9加幾的得數(shù)個位上的數(shù)都比所加的那個數(shù)少1，十位上多了一個1。教師追問：那個少了的1到哪里去了？學(xué)生說：移到9那邊與9湊成1個十了，所以十位上多了1，也就是1個十。教師繼續(xù)追問：在這些算式中，你認(rèn)為哪道算式最重要？為什么？學(xué)生認(rèn)為9+1=10最重要，因?yàn)槠渌闶蕉际歉鶕?jù)它推算出來的。接著，教師單獨(dú)出示9+5=1□、9+□=17，問：現(xiàn)在你能運(yùn)用規(guī)律直接說出方框里的數(shù)嗎？是怎么想的？學(xué)生迅速說出分別是“4”“8”，并說出理由。學(xué)生找到新規(guī)律后，算得更快了，還可以逆向計(jì)算。他們更樂意找規(guī)律，更樂意數(shù)學(xué)建模了。

其實(shí)，在教學(xué)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算時，也可以這樣滲透，但要做到：有意、有序和有度，不任意拔高，不急于求成，不統(tǒng)一要求。只要我們堅(jiān)持不懈，久久為攻，就一定有效。當(dāng)然，上述四個方面不是相互獨(dú)立和截然分開的，而是密切聯(lián)系、相互交融的有機(jī)整體，在教學(xué)的不同階段既要相互兼顧，又要各有側(cè)重。

[責(zé)任編輯：陳國慶]